例談高考數(shù)學(xué)試題中比較大小問題的求解策略

鄧善營

摘?要：以近幾年高考全國卷中比較大小問題為例，通過結(jié)構(gòu)分析、解析歸納，整理總結(jié)出比較大小的一些常用方法，提升學(xué)生解決問題的能力和核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：比較大小；中間值；放縮；構(gòu)造函數(shù)

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0068-03

近幾年，高考數(shù)學(xué)全國卷選擇題多次考查“利用函數(shù)性質(zhì)比較大小”這方面的內(nèi)容，這些題目有些較易但大部分較難，處于選擇題的壓軸或者次壓軸的位置，學(xué)生不易掌握.比較大小題型解法靈活多變，通過研究近幾年高考試題，筆者認(rèn)為解決這類問題的方法除了常用的差值比較、商值比較外，還有利用中間值比較法、同倍放大比較法、常見不等式放縮比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)比較法等.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性或者圖象比較大小

例1?若a=log52，b=log83，c=12，則（??）.

A.c

解析?因?yàn)閏=12=log55>log52=a，c=12=log88

例2?已知a=243，b=425，c=2513，則（??）.

A.b

解析?因?yàn)閍=243=423>425=b，c=2513>1613=a，所以b

故選A.

點(diǎn)評?對于指數(shù)結(jié)構(gòu)、對數(shù)結(jié)構(gòu)的數(shù)的大小比較，一般優(yōu)先考慮是否能化為同底數(shù)或者同指數(shù)（真數(shù)），若能則利用函數(shù)的單調(diào)性或者圖象比較大小.

2 同倍放大比較大小

對于本文例2中a與c的大小比較也可以采用“同倍放大”的方法比較，把a(bǔ)與c同時(shí)3次放大，將無理數(shù)a與c大小轉(zhuǎn)化為有理數(shù)24=16與25進(jìn)行比較.對于本文例1中的a，b，c的大小比較，我們可以同時(shí)放大2倍轉(zhuǎn)化為2a=log54<1，2b=log89>1，2c=1進(jìn)行比較.

點(diǎn)評?一般比較大小問題中不同數(shù)值的差異都不大，為了發(fā)現(xiàn)其差異性可以采用同倍放大到有明顯差異或把無理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行比較大小.

3 利用中間值比較大小

3.1 利用常見中間值0與1比較大小

例3?（2019年高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科第3題）已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，則（??）.

A.a

解析?因?yàn)閍=log20.220=1，0

3.2 利用12，14，34等中間值比較大小

例4?已知55<84，134<85，設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（??）.

A.a

解析?選擇從已知條件55<84入手，兩邊取以8為底的對數(shù)，得log855

又因?yàn)閎=log85，所以5b<4，可得b<45.

同理，由134<85，得log13134

即4<5log138.

又因?yàn)閏=log138，所以4<5c，可得45

故b<45

接下來可以比較a與b或a與c的大小.

觀察發(fā)現(xiàn)a，b都是0到1之間的數(shù)，類比二分法，嘗試把這兩個(gè)數(shù)與12比較.12=log55

嘗試將這兩個(gè)數(shù)與中間值34作比較，34=log5534與a=log53比較，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為534與3的大小比較.采用同倍放大比較，同時(shí)取4次方得53=125>81=34，所以534>3.所以log5534>log53，即34>a.

同理34=log8834與b=log85作比較，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為834與5的大小比較.采用同倍放大比較，同時(shí)取4次方得83=512<625=54，所以834<5，所以log8834

故選A.

點(diǎn)評?對于指數(shù)、對數(shù)等不同類型的數(shù)的大小比較，常用0，1，12，14，34等中間值比較大小.此題在運(yùn)用中間值比較大小時(shí)采用了同倍放大的比較方法，將指數(shù)型無理數(shù)的比較大小轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的有理數(shù)比較大小.

4 利用常見不等式放縮比較大小

4.1 利用均值不等式放縮比較大小

對于本文例4中a=log53與b=log85大小比較也可以采用均值不等式進(jìn)行放縮比較.

ab=log53log85=lg3lg5·lg8lg5<1（lg5）2·（lg3+lg82）2=（lg3+lg82lg5）2=（lg24lg25）2<1，所以a

點(diǎn)評?作差法、作商法屬于比較大小問題的通法，但是本題作商后放縮變形用到了均值不等式，這需要較強(qiáng)的邏輯推理能力.

4.2 利用糖水不等式放縮比較大小

對于本文例4中a=log53與b=log85大小比較也可以用糖水不等式aba>0，m>0）進(jìn)行放縮比較[1].

a=ln3ln5

=

ln5ln8log85=b.

所以a

4.3 利用切線放縮不等式比較大小

例5?（2022年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（??）.

A.a

解析?利用常用三個(gè)不等式①x+1

首先比較b與c的大小：因?yàn)閏=-ln0.9=

ln109=ln（1+19）<19，所以c

其次比較a與b的大小：a=0.1e0.1<0.1×11-0.1=19，所以a

最后比較a與c的大小：a=0.1e0.1>0.1×（1+0.1）=0.11，c=ln109=12（109-910）=19180<0.11[2]，所以a>c.

綜上所述，c

故選C.

點(diǎn)評?當(dāng)條件中出現(xiàn)以e為底數(shù)的對數(shù)、指數(shù)，可通過切線放縮，化超越式為有理式進(jìn)行比較大小，做題時(shí)要注意放縮的尺度，結(jié)合差比法、商比法綜合分析.

5 構(gòu)造函數(shù)比較大小

對于本文例5中比較a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9的大小也可以通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

解析?a=0.1e0.1，b=19=0.10.9=0.11-0.1，c=-ln0.9=-ln（1-0.1），從數(shù)值0.1尋找a，b，c之間的聯(lián)系.

令x0=0.1，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex，g（x）=-ln（1-x），m（x）=x1-x，將a=f（0.1），c=g（0.1），b=m（0.1）的比較大小問題轉(zhuǎn)化為f（x），g（x），m（x）在x=0右側(cè)的大小關(guān)系.

令h（x）=f（x）-g（x）=xex+ln（1-x），x∈（0，0.1］，則

h′（x）=（x+1）ex+1x-1=ex（x2-1）+1x-1.

令q（x）=ex（x2-1）+1，

q′（x）=ex（x2+2x-1）<0，x∈（0，0.1］，

即q（x）單調(diào)遞減.

所以q（x）

所以h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，所以h（0.1）>h（0）=0，即f（0.1）>g（0.1），即a>c[2].

用類似的方法可以比較出a

點(diǎn)評?本題從0.1入手，找到三個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模能力.

例6?（2020年高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)理科第12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（??）.

A.a>2b?B.a<2b?C.a>b2?D.a

解析?將已知化為同底數(shù)的等式2a+log2a=22b+log2b，發(fā)現(xiàn)等式兩邊結(jié)構(gòu)相似，同構(gòu)函數(shù)f（x）=2x+log2x，則f（a）=2a+log2a=22b+log2b=f（2b）-1

點(diǎn)評?在遇到雙變量的等式或者不等式時(shí)，利用同構(gòu)思想將兩邊化為結(jié)構(gòu)相同的兩部分，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)處理，往往能達(dá)到意想不到的效果.

6 結(jié)束語

函數(shù)中比較大小問題的情境多變，綜合性強(qiáng)，從近幾年的高考試題中不難發(fā)現(xiàn)比較大小趨向精細(xì)化的比較.粗略的估算只能比較一組數(shù)的大小，相對較難的一組數(shù)的比較大小對學(xué)生的觀察、抽象、推理、運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等能力提出了更高的要求.在教學(xué)中教師要以學(xué)生的思維為起點(diǎn)，分析題目的結(jié)構(gòu)特征，選擇適合的方法，滲透函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，這是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法，也是高考考查的核心內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

［1］

董逸婷.巧構(gòu)巧用函數(shù)妙解比較大小：一堂高三講評微課的實(shí)踐與反思[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（23）：5-7.

[2] 中國高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會.高考試題分析數(shù)學(xué)[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2021.

［責(zé)任編輯：李?璟］