基于“8”字模型的變式拓展

何勇

[ 摘 要 ]文章從教材上圖形簡單的習(xí)題切入，立足“8”字模型進行變式拓展、逐步探究、發(fā)散延伸、激發(fā)興趣，挖掘知識點之間的聯(lián)系，使學(xué)生熟練掌握全等三角形的判定.通過變式深挖教材習(xí)題的價值，跳出題海、尋找規(guī)律、減輕負擔(dān)、觸類旁通，能讓學(xué)生對“8”字模型融會貫通、靈活運用，并掌握基本模型、強化模型意識、豐富知識結(jié)構(gòu)、提升思維能力，提高分析問題、解決問題的能力.

[ 關(guān)鍵詞 ]習(xí)題變式；全等三角形；“8”字模型；模型思想

基金項目：中山市教育科研2023年度青年項目課題“新課標(biāo)下基于項目式學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)研究”（C2023042）.

徐利治教授的《數(shù)學(xué)方法論選講》一書談到，數(shù)學(xué)模型是指采用形式化語言反映特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，是運用數(shù)學(xué)的語言和工具對現(xiàn)實世界一些信息進行適當(dāng)?shù)暮喕?模型思想是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，模型的建立能幫助學(xué)生從具體到抽象、從抽象到本質(zhì)感悟數(shù)學(xué)思想.模型的感悟過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的動態(tài)過程.

幾何模型是指帶有明顯特征的典型圖形，它是我們快速找到突破口、作出輔助線、完成幾何構(gòu)圖從而解決綜合問題的關(guān)鍵.“8”字模型的結(jié)構(gòu)特征明顯，看似簡單，但在復(fù)雜幾何圖形的推導(dǎo)中往往有巧妙的作用，是連接知識的載體，承載著豐富的知識內(nèi)涵.它在全等與相似中應(yīng)用廣泛，是探究角相等、線段相等的一種工具，是初中階段最重要、最常見的幾何模型之一，有助于提高解題效率.

“8”字模型應(yīng)用廣泛、變式靈活，學(xué)生可在不同的情境中識別和構(gòu)建“8”字模型，從中體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類等數(shù)學(xué)思想方法；經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，從變中發(fā)現(xiàn)不變，從不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)中探究變的規(guī)律，可見其是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的良好載體.下面以一節(jié)全等三角形的復(fù)習(xí)課為例予以闡述.

內(nèi)容分析

全等三角形是初中幾何的重點，是證明邊或角關(guān)系的重要工具.全等三角形的學(xué)習(xí)不僅關(guān)系到三角形的學(xué)習(xí)，更關(guān)乎四邊形等眾多幾何的學(xué)習(xí)，所以其在整個初中階段具有承上啟下的作用.運用“8”字模型證明三角形全等的知識、方法和技巧更是研究幾何圖形的重要基礎(chǔ)，其應(yīng)用十分廣泛，在相似綜合性問題中識別、構(gòu)造“8”字模型更是歷屆教與學(xué)中的疑難問題，一直是中考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一.因此，在中考復(fù)習(xí)階段總結(jié)并提煉“8”字模型十分重要.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.觸類旁通，掌握全等三角形的判定方法，熟練運用“8”字模型解決綜合問題，增強應(yīng)用意識.

2.變式拓展，初步形成幾何直觀，強化模型意識，提升推理能力，獲得思考樂趣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

重點和難點

1.學(xué)習(xí)重點：獲得分析和解決問題的基本方法，快速識別出“8”字模型，體驗方法的多樣性.

2.學(xué)習(xí)難點：掌握構(gòu)建“8”字模型的作輔助線技巧，鍛煉利用“8”字模型解決綜合問題的意志，提高實踐能力.

教學(xué)實施

1.簡單習(xí)題做鋪墊——初步識別“8”字模型

教師出示題目和圖形，鋪墊課堂.題目：如圖1，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD，求證：AB∥DC（人教版教材八年級上冊第44頁練習(xí)10）.

教學(xué)說明 從教材簡單習(xí)題入手，圖形是常見“8”字模型的原型，學(xué)生熟悉判定全等三角形的數(shù)學(xué)語言表述，能為后面變式、挖掘習(xí)題價值做鋪墊.中考復(fù)習(xí)課應(yīng)該通過一些雖簡單但意義深遠的題目，來幫助學(xué)生深挖問題本質(zhì)，探究知識聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生通過學(xué)習(xí)，打開“8”字模型的大門，進入“8”字模型的知識領(lǐng)域，激發(fā)興趣，啟發(fā)思維，積極投入，實現(xiàn)知識的融會貫通.

2.問題開放增自信——進階認知“8”字模型

教學(xué)說明 教材例題、習(xí)題是學(xué)生發(fā)展的立足點，可借助習(xí)題中的簡單圖形，改變提問方式，讓學(xué)生先思考后回答，總結(jié)歸納“8”字模型成立的條件.添加的條件不一樣，依據(jù)的判定方法也不一樣，這樣能讓學(xué)生全面復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法.不同學(xué)生熟悉的全等三角形判定方法不一樣，營造輕松、愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境，能喚醒學(xué)生的知識記憶，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)自信.學(xué)生進階認知“8”字模型、鞏固內(nèi)化模型意識、增強主動參與學(xué)習(xí)的動力后，會樂意參與并積極投入到整節(jié)課的學(xué)習(xí)中.

3.變式練習(xí)拓思維——巧妙構(gòu)造“8”字模型

教師同時出示變式3和變式4兩道題及相應(yīng)圖形，并提問：題目條件有什么共同點？可以如何找“8”字模型？

變式3 如圖4，E是BC的中點，點A在DE上，且AB=CD，求證：∠BAE=∠D.

變式4 如圖5，在△ABC中，AB=AC.點E在AB上，點F在AC的延長線上，且BE=CF，EF與BC交于點N，求證：EN=FN.

變式3和變式4看似與我們熟悉的“8”字模型沒有關(guān)系，但條件或問題中出現(xiàn)中點時，實則隱藏著我們熟悉的“8”字模型.這是本節(jié)課的延伸.倍長中線是常見的輔助線，全等三角形對應(yīng)邊相等的代換是解決本題的關(guān)鍵.圖形在改變，但不變的依然是全等三角形的判定和性質(zhì)，本質(zhì)就是“8”字模型.“8”字全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，有時沒有全等三角形，此時可以借助輔助線，通過構(gòu)造我們熟悉的幾何模型來解決問題.證明全等三角形的方法很多，不同層次的學(xué)生熟悉的判定方法不同，思考方式也不同，所作輔助線也不同.

實際上兩道習(xí)題都還可以通過問題和條件互換等方式進行變式拓展，啟發(fā)學(xué)生思考探究，使學(xué)生樂意投入到探索性的數(shù)學(xué)活動中，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.上述過程能讓學(xué)生認識到“8”字模型的應(yīng)用價值，初步學(xué)會在具體情境中思考運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來分析、解決問題，提高實踐能力，增強“8”字模型的應(yīng)用意識.

接下來，教師出示變式5的題目和圖形，小組討論后看哪個小組說的思路和方法多.

變式5 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AN平分∠BAD，DN平分∠ADC，試探索AB，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生通過交流討論、猜想驗證、推理證明，感受“8”字模型在探究線段相等中的巧妙運用.一題多解不僅能使學(xué)生更牢固地掌握和運用所學(xué)知識，把學(xué)過的知識和方法使用自如、融會貫通；更能在分析、比較、尋找解題最佳途徑的過程中培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力.多一些一題多解的變式練習(xí)，能讓學(xué)生在變中求進、舉一反三，能幫助學(xué)生總結(jié)、提煉通性通法，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.循序漸進，對鞏固知識、增強解題能力、提高學(xué)習(xí)成績、培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有益處.學(xué)生經(jīng)歷從不同角度分析、解決問題，在研究圖形性質(zhì)、借助圖形思考問題的過程中，會發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)就是“8”字模型，進而融會貫通，初步建立“8”字模型的幾何直觀，強化邏輯推理，通過會一道題懂一類題，內(nèi)化模型意識，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.綜合探究促發(fā)展——融會貫通“8”字模型

題目 在矩形ABCD中，AB= 2BC.E是直線AB上一點，F(xiàn)是直線BC上一點，且滿足AE=2CF，連接EF交AC于點G.

（1）tan∠CAB= .

（2）如圖10，當(dāng)點E在線段AB上，點F在BC的延長線上時，

①求證：EG=FG；

②試探究CG與BE的關(guān)系.

（3）如圖11，當(dāng)點E在BA的延長線上，點F在線段BC上時，記AC與DF相交于點H.

①試說明EG=FG的結(jié)論仍然成立；

②當(dāng)CF=1，BF=2時，求出GH的長.

教學(xué)說明 無論“8”字模型身處何地，學(xué)生都能精準地識別出來，哪怕它的形態(tài)發(fā)生改變，學(xué)生也能抓住“8”字模型的本質(zhì)特征，通過添加輔助線靈活地重新構(gòu)造，讓問題通過轉(zhuǎn)化得到解決.

解題的時候選擇合適的模型，能夠讓解題事半功倍.全等三角形的“8”字模型在中考數(shù)學(xué)中往往是證明幾何綜合題的橋梁，時常和特殊四邊形的基本性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形、圓、函數(shù)等綜合考查.解決此題時，需要運用知識之間的密切聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)歷從條件和問題出發(fā)，猜想驗證、大膽嘗試，感受“8”字模型在全等三角形、相似三角形的拓展融合中的應(yīng)用，自主強化基本模型的靈活運用、綜合提升.教師要引導(dǎo)學(xué)生認清問題的核心，掌握作輔助線構(gòu)建“8”字模型的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與延展性，提高解題效率，助力學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系.

教學(xué)反思

1.反思積累，樹立模型意識

羅增儒教授曾說，“要善于對新問題展開聯(lián)想，辨別其是否屬于某個類型，如果不直接屬于則進行變化，使之屬于某個類型”.巧作輔助線構(gòu)造基本模型，或進行圖形分解識別隱含的基本模型，是解決幾何綜合問題的關(guān)鍵與橋梁.解幾何題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生積累所學(xué)的基本圖形，把圖形的基本特征和構(gòu)造方法進行加工提煉，得出通用的幾何模型.解題時選擇合適的模型，能夠讓解題事半功倍，進而提升解題能力.

強化幾何模型的總結(jié)和訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯思維和推理能力的重要方法和途徑.雖說得模型者得幾何，但是需要在幾何解題中不斷積累、總結(jié)，通過展開表征聯(lián)想、巧作輔助線構(gòu)造、圖形簡化重組等展現(xiàn)基本模型，使學(xué)生牢固掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，切實加強數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng).

2.整合優(yōu)化，強化思想方法

幾何綜合題是對學(xué)生綜合知識的應(yīng)用考查，對學(xué)生的邏輯思維和分析推理能力有著較高的要求.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要循序漸進，明確條件特點、圖形特征，巧作輔助線將幾何圖形轉(zhuǎn)化為自己熟悉的基本模型，滲透模型思想和轉(zhuǎn)化思想，靈活使用思想方法尋找解決問題的基本策略.解題的目的不在于解題本身，而在于學(xué)習(xí)其中的解題方法，然后將其上升到思想高度，獲得思想的提升.教師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)下探尋解題策略，反思解題過程，提煉解題思想.

將模型思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，有助于學(xué)生掌握運用數(shù)學(xué)知識解決問題的思路與方法，能促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的進一步提升.復(fù)習(xí)幾何綜合題時，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認知規(guī)律進行例題精練、系列變式，設(shè)計思考環(huán)節(jié)，深挖隱形模型，合理鋪墊搭建梯子，減緩解決問題的思維坡度，讓數(shù)學(xué)思想與思維方法在課堂上更好地生根發(fā)芽.學(xué)習(xí)并運用模型思想，是學(xué)生提高思維能力、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)必不可少的訓(xùn)練.

3.拓展應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

“8”字模型在從全等三角形到相似三角形的拓展融合中的應(yīng)用，通過變式優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，螺旋上升地理解和掌握一系列數(shù)學(xué)知識；以點帶面分析和解決一連串?dāng)?shù)學(xué)問題；多題歸一提煉和生成一系列通性解法.鼓勵學(xué)生模仿表達、創(chuàng)新變式，提升感官認識，嚴謹推理邏輯，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，延伸課程應(yīng)用，內(nèi)化滲透重要的思想方法，領(lǐng)悟萬變不離其宗的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生減輕學(xué)習(xí)負擔(dān)，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，獲得成功自信.

學(xué)習(xí)最好的方法是經(jīng)歷思索探究后的自我領(lǐng)悟、自主構(gòu)建、自然發(fā)展.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要確定教學(xué)主線貫穿課堂、整理知識、歸納題型，引導(dǎo)學(xué)生重回知識起點，在已有的認知水平上，挖掘知識間的本質(zhì)聯(lián)系，分析題目中的隱含條件，掌握問題的內(nèi)在特征.學(xué)生在變式拓展的學(xué)習(xí)中不斷深化探究，加強思維的滲透和方法的提煉，真正做到活學(xué)活用、融會貫通、循序漸進、拓展提升；在一題多解的思考中激活認知結(jié)構(gòu)，激發(fā)求知欲望，主動體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程，豐富知識體系，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展；在多樣、全面的探索中強化幾何直觀，提煉熟悉模型，掌握思想方法，學(xué)會思考，嚴謹推理邏輯，提升思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).