求解三角函數最值問題五策略

王春娥

［摘 要］三角函數最值問題歷來是三角函數中的熱點問題之一。文章結合幾道例題，探討求解三角函數最值問題的策略，旨在拓寬學生思維，發展學生核心素養。

［關鍵詞］三角函數；最值問題；策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0021-03

三角函數最值問題歷來是三角函數中的熱點問題之一，其涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強。解答這類問題時要注意三角函數值正負號的選取、角的范圍的確定、各種情況的分類討論及各種隱含條件等。求解這類問題有哪些基本策略呢？

一、化“一”策略

所謂化“一”，就是對于形如[f（x）=asin2x+bcos2x+csinxcosx+d]的三角函數，可運用倍角公式、三角恒等變換等將其化為形如[y=Asin2x+Bcos2x+C]的形式，進而利用輔助角公式[Asinx+Bcosx=A2+B2sin（x+φ）+C]化為只含有一個函數名的形式，最后利用正弦函數或余弦函數的有界性來確定三角函數的最值。

［例1］函數[f（x）=-2cos2x-π4+6sinxcosx-2cos2x+1]，[x∈R]。

（1）把[f（x）]的解析式改寫為[f（x）=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]）的形式；

（2）求[f（x）]的最小正周期并求[f（x）]在區間[0，π2]上的最大值和最小值。

分析：（1）由三角恒等變換公式，即可化簡函數[f（x）]的解析式為[f（x）=22sin2x-π4]。（2）由（1）知[f（x）=22sin2x-π4]，求得[f（x）]的最小正周期為[T=2π2=π]，結合三角函數的性質，即可求得函數的最大值和最小值。

解：（1）由題意，函數[f（x）=-2cos2x-π4+] [6sinxcosx-2cos2x+1=-222cos2x+22sin2x+][3sin2x-（2cos2x-1）=2sin2x-2cos2x=22sin2x-π4]，即[f（x）]的解析式為[f（x）=22sin2x-π4]。

（2）由（1）知[f（x）=22sin2x-π4]，所以函數[f（x）]的最小正周期為[T=2π2=π]，

因為[x∈0，π2]，則[2x-π4∈-π4，3π4]，所以當[2x-π4=-π4]，即[x=0]時，函數取得最小值，最小值為[f（x）=22sin-π4=-2]。當[2x-π4=π2]，即[x=3π8]時，函數取得最大值，最大值為[f（x）=22sinπ2=22]，即函數的最小值為[-2]，最大值為[22]。

點評：本題給出的三角函數的解析式是關于[sinx]與[cosx]的二次齊次式，故可利用二倍角公式和輔助角公式將其化為[f（x）=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]）的形式。

二、換元策略

對于含有[sinα±cosα]和[sinαcosα]的三角函數值域問題，可利用[（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα] 并通過換元轉化為熟悉的函數（如一次函數、二次函數和分式函數）的最值問題來解答。

［例2］本市某路口的轉彎處受地域限制，設計了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設計如圖1所示，每條車道寬為4米，現有一輛大卡車，其水平截面圖為矩形[ABCD]，它的寬[AD]為2.4米，車廂的左側直線[CD]與車道中間的分界線相交于[E]、[F]，記[∠DAE=θ]。

（1）若大卡車在里側車道轉彎的某一刻，恰好[θ=π6]，且[A]、[B]也都在車道中間的直線上，直線[CD]也恰好過路口邊界[O]，求此大卡車的車長。

（2）若大卡車在里側車道轉彎時對任意[θ]，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長的最大值。

分析：（1）通過解直角三角形，分別求出[OE]，[OF]，[ED]，[CF]，即可求得本題答案。（2）用[θ]表示[AB]，利用換元法并結合函數的單調性，求出[AB]的最小值，即可得到大卡車車長的最大值。

解：（1）如圖2所示，作[EM⊥OM]，垂足為[M]，作[FN⊥ON]，垂足為[N]，因為[∠DAE=π6]，所以[∠MEO=∠NOF=∠BFO=π6]，在[Rt△ADE]中，[ED=2.4×tanπ6=435]，在[Rt△BCF]中，[CF=2.4tanπ6=1235]，在[Rt△OME]中，[OE=4cosπ6=833]，在[Rt△ONF]中，[OF=4sinπ6=8]，所以[CD=OE+OF-ED-CF=833+8-435-1235=8-8315]。

（2）因為[∠DAE=θ]，所以[OE=4cosθ]，[OF=4sinθ]，[ED=2.4tanθ]，[CF=2.4tanθ]，

所以[AB=CD=OE+OF-ED-CF=4cosθ+4sinθ-2.4tanθ-2.4tanθ=4sinθ+4cosθ-2.4sin2θ-2.4cos2θsinθcosθ=4（sinθ+cosθ）-2.4sinθcosθ0<θ<π2]。

令[sinθ+cosθ=t]，則[t=2sinθ+π4]，[∵0<θ<π2]，[∴θ+π4∈π4，3π4]，所以[10]。

故[AB=8kk+352-1=8k-1625k+65]在[25，2-35]上單調遞減，所以當[k=2-35]，即[t=2]時，[AB]取最大值[82-245]，故要使大卡車在里側車道轉彎時對任意[θ]，此車都不越中間車道線，大卡車的車長的最大值為[82-245]。

點評：本例題雖然屬于三角函數實際問題，但最終探討的是含有[sinα+cosα]和[sinαcosα]的三角函數值域問題，我們可以通過換元轉化為熟悉的函數（如二次函數、分式函數）來解答。這類問題的易錯點是忽視新元的取值范圍。

三、數形結合策略

對于含有根式和絕對值符號的三角函數，可以通過挖掘它的幾何意義，利用數形結合的方法來求解。

［例3］函數[f（x）=5cos2x-4sinx+5-3cosx]的最大值為? ? ? ? ? ?。

分析：利用三角函數的平方關系將[fx]轉化為點[P]到點[A、B]的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結合三角函數的值域即可求得答案。

解：因為[5cos2x-4sinx+5=9cos2x-4cos2x-4sinx+5][=9cos2x+4sin2x-4sinx+1=（3cosx）2+（2sinx-1）2]，所以[f（x）=5cos2x-4sinx+5-3cosx=（3cosx）2+（2sinx-1）2-（3cosx）2]，故[f（x）]的最大值轉化為點[P（3cosx，2sinx）]到[A（0，1）]與[B（0，2sinx）]的距離之差的最大值，因為[-1≤sinx≤1]，[-2≤-2sinx≤2]，[-1≤1-2sinx≤3]，所以[PA-PB≤AB=（1-2sinx）2=1-2sinx≤3]。當且僅當[sinx=-1]時，等號成立，則[PA-PB≤3]，經檢驗，此時[cosx=0]，[f（x）=5×02-4×（-1）+5-3×0=3]，所以[f（x）≤3]，即[f（x）]的最大值為[3]。

點評：解答本題的精妙之處在于把[f（x）]的最大值轉化為點[P（3cosx，2sinx）]到[A（0，1）]與[B（0，2sinx）]的距離之差的最大值，從幾何意義入手，問題迎刃而解。

四、基本不等式策略

基本不等式可以用來求函數的最值，當然也可以用來求三角函數的最值，但需注意基本不等式應用的前提條件和靈活配湊技巧。

［例4］求函數[f（x）=32sin2x+1+83cos2x+2（x∈R）]的最小值。

分析：先將函數變形為[f（x）=96sin2x+3+166cos2x+4]，然后乘以[6sin2x+3+6cos2x+4]，結合基本不等式解決。

解：[f（x）=32sin2x+1+83cos2x+2=96sin2x+3+166cos2x+4=6sin2x+3+6cos2x+413·96sin2x+3+166cos2x+4=11325+9（6cos2x+4）6sin2x+3+16（6sin2x+3）6cos2x+4≥11325+29×16=4913]，當且僅當[6sin2x+33=6cos2x+44]時取等號，即[tanx=±32]時取等號，所以當[tanx=±32]時，函數[f（x）]取得最小值[4913]。

點評：利用基本不等式求三角函數最值的難點在于原三角函數式的合理配湊，同時還需注意等號能否取到。

五、求導策略

導數可以用來求函數的最值，當然也可以用來求三角函數的最值。當函數解析式中含有的三角函數并不統一，且不是齊次式時，求導是最好的方法，但計算量比較大。

［例5］修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段。如圖3所示，某水庫有一個半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為[C]且直徑[MN]平行壩面。壩面上點[A]滿足[AC⊥MN]，且[AC]長度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點[A]到小島建三段棧道[AB]、[BD]與[BE]，水面上的點[B]在線段[AC]上，且[BD]、[BE]均與圓[C]相切，切點分別為[D]、[E]，其中棧道[AB]、[BD]、[BE]和小島在同一個平面上。此外在半圓小島上再修建棧道[ME]、[DN]以及[MN]，則需要修建的棧道總長度的最小值為? ? ? ? ? ? ? ?百米。

分析：連接[CD]、[CE]，設[∠CBE=∠CBD=θ]，建立出需要修建的棧道的函數關系式，利用導數求出最小值。

解：連接[CD]、[CE]，由半圓半徑為1得[CD=CE=1]。由對稱性，設[∠CBE=∠CBD=θ]，又[CD⊥BD]，[CE⊥BE]，所以[BE=BD=CDtanθ=1tanθ]，[BC=CDsinθ=1sinθ]，易知[∠MCE=∠NCD=θ]，所以[ME=ND=θ]。又[AC=3]，故[AB=AC-BC=3-1sinθ∈（0，2）]，故[sinθ∈13，1]，令[sinθ0=13]且[θ0∈0，π6]，則[f（θ）=5-1sinθ+2tanθ+2θ]，[θ∈θ0 ，π2]，故[f（θ）=-cosθ（2cosθ-1）sin2θ]。

[[θ] [θ0 ，π3] [π3] [π3，π2] [f（θ）] - 0 + [f（θ）] 單調遞減 極小值 單調遞增 ]

所以棧道總長度的最小值[f（θ）min=fπ3=2π3+5]。

點評：本題屬于實際問題中的三角函數最值問題，但建立的三角函數是非常規三角函數[f（θ）=5-1sinθ+2tanθ+2θ]，無法經過三角變換化成[f（x）=Asin（ωx+φ）+B]的形式，也無法用換元法轉化為其他函數的最值問題，這時就要想到用導數法求最值。利用導數法求三角函數的最值，是新課標高考命題的重要考點。

從以上五種情形可以看出，求三角函數的最值并非“雜亂無章”，而是有規律可循的，在遇到具體問題時，我們必須認真分析其特點，從而合理選擇化一法、數形結合法、換元法、基本不等式法和導數法等。其實，當方法選對，解決這類問題并不難。

（責任編輯 黃桂堅）