類比推理　創(chuàng)新求解　提升素養(yǎng)

陶漢斌

［摘 要］類比是一種極具啟發(fā)性、創(chuàng)造性和靈活性的推理方法。每當(dāng)學(xué)生缺乏可靠論證的思路時，類比這一方法往往能使他們厘清思路，指引他們進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。2024年1月浙江選考物理第20題通過類比設(shè)置問題情境，情境設(shè)計(jì)既熟悉又新穎；巧妙借用光學(xué)知識類比電磁場知識，通過調(diào)控磁場或電場實(shí)現(xiàn)質(zhì)子束的“反射”和“折射”；從知識、方法到能力，問題的設(shè)計(jì)由易到難，全面考查了學(xué)生的綜合分析能力。

［關(guān)鍵詞］類比；情境；反射；折射；電磁場

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0040-03

類比是一種邏輯推理形式，是一種極具啟發(fā)性、創(chuàng)造性和靈活性的推理方法。當(dāng)物理學(xué)研究陷入困境時，通過類比方法往往能打開一片新天地。每當(dāng)學(xué)生缺乏可靠論證的思路時，類比這一方法往往能使學(xué)生厘清思路，指引他們進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。2024年1月浙江選考物理第20題通過類比設(shè)置問題情境，類比光學(xué)中的反射和折射現(xiàn)象，用磁場或電場調(diào)控實(shí)現(xiàn)質(zhì)子束的“反射”和“折射”。同時，由易到難設(shè)計(jì)問題，全面考查學(xué)生的綜合分析能力。

一、試題呈現(xiàn)

類似光學(xué)中的反射和折射現(xiàn)象，用磁場或電場調(diào)控也能實(shí)現(xiàn)質(zhì)子束的“反射”和“折射”。如圖1所示，在豎直平面內(nèi)有三個平行區(qū)域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。Ⅰ區(qū)寬度為[d]，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B]、方向垂直平面向外的勻強(qiáng)磁場，Ⅱ區(qū)的寬度很小。Ⅰ區(qū)和Ⅲ區(qū)電勢處處相等，分別為[φⅠ]和[φⅢ]，其電勢差[U=φⅠ-φⅢ]。一束質(zhì)量為[m]、電荷量為[e]的質(zhì)子從[O]點(diǎn)以入射角[θ]射向Ⅰ區(qū)，在[P]點(diǎn)以出射角[θ]射出，實(shí)現(xiàn)“反射”；質(zhì)子束從[P]點(diǎn)以入射角[θ]射入Ⅱ區(qū)，經(jīng)Ⅱ區(qū)“折射”進(jìn)入Ⅲ區(qū)，其出射方向與法線夾角為“折射”角。已知質(zhì)子僅在平面內(nèi)運(yùn)動，單位時間發(fā)射的質(zhì)子數(shù)為[N]，初速度為[v0]，不計(jì)質(zhì)子重力，不考慮質(zhì)子間相互作用以及質(zhì)子對磁場和電勢分布的影響。

（1）若不同角度射向磁場的質(zhì)子都能實(shí)現(xiàn)“反射”，求[d]的最小值；

（2）若[U=mv202e]，求“折射率”n（入射角正弦與折射角正弦的比值）；

（3）計(jì)算說明如何調(diào)控電場，實(shí)現(xiàn)質(zhì)子束從[P]點(diǎn)進(jìn)入Ⅱ區(qū)發(fā)生“全反射”（即質(zhì)子束全部返回Ⅰ區(qū)）；

（4）在[P]點(diǎn)下方距離[3mv0Be]處水平放置一長為[4mv0Be]的探測板[CQD] （[Q]在[P]的正下方）， [CQ]長為[mv0Be]，質(zhì)子打在探測板上即被吸收中和。若還有另一相同質(zhì)子束，與原質(zhì)子束關(guān)于法線左右對稱，同時從[O]點(diǎn)射入Ⅰ區(qū)，且[θ=30°]，求探測板受到豎直方向力[F]的大小與[U]之間的關(guān)系。

二、考情分析

此題利用學(xué)生熟悉的光學(xué)中的反射和折射現(xiàn)象，類比推理電磁場中的“反射”和“折射”，設(shè)計(jì)巧妙新穎。很多學(xué)生以為這是一道光學(xué)題，但它只是利用光學(xué)中的反射場景類比質(zhì)子在磁場中的勻速圓周運(yùn)動；利用光學(xué)中的全反射情境類比質(zhì)子在電場中斜拋后運(yùn)動到最高點(diǎn)又在電場中返回（逆平拋）；以光學(xué)中熟悉的折射類比質(zhì)子穿越電場的斜拋運(yùn)動。本題的最后一個問題涉及利用臨界條件進(jìn)行分析的分段函數(shù)，常考常新，非常精彩。

三、詳細(xì)解答

（1）在磁場中的勻速圓周運(yùn)動——類比反射

質(zhì)子射入磁場后在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)豎直方向上射出的質(zhì)子恰好打到上極板時有：

[Bev0=mv20r]

[2r=d]

[d=2mv0Be]

（2）在電場中的斜拋運(yùn)動——類比折射

質(zhì)子束從[P]點(diǎn)以入射角[θ]射入Ⅱ區(qū)中的電場，在電場中做斜拋運(yùn)動，有[U=mv202e]，設(shè)質(zhì)子射出Ⅱ區(qū)時的速度為[v]，由動能定理可得：

[eU=12mv2-12mv20]

解得[v=2v0]

射出時質(zhì)子的水平速度為[vx=v0sinθ]

通過類比可得折射率為[n=sinθv0sinθ2v0=2]

（3）在電場中做減速運(yùn)動后返回——類比全反射

質(zhì)子從[P]點(diǎn)射入時，設(shè)電場的間距為[L]，在質(zhì)子剛好在Ⅱ區(qū)減速到0時，應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式有：

[0-（v0cosθ）2=2U0emLL]

[U0=-mv02cos2θ2e]

即當(dāng)? [U≤-mv02cos2θ2e] 時發(fā)生“全反射”

（4）利用臨界值求解分段函數(shù)——常規(guī)考點(diǎn)

第（4）問需要根據(jù)隱含條件進(jìn)行分析，判斷臨界邊際，多個角度討論各種情況，物理模型的構(gòu)建與數(shù)學(xué)處理有一定難度。我們可利用臨界值進(jìn)行求解，由于[θ=30°]，質(zhì)子恰好不能進(jìn)入Ⅲ區(qū)的電壓為[U1]，在豎直方向上應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式有：

[0-（v0cos30°）2=2U1emLL]

[U1=-3mv208e]

考慮探測板上的C點(diǎn)，當(dāng)電壓為[U2=0]時，由于[tan30°=CQPQ=33]，左側(cè)的質(zhì)子經(jīng)過Ⅱ區(qū)時做勻速直線運(yùn)動，恰好打在C點(diǎn)。

考慮探測板上的D點(diǎn)，當(dāng)電壓為[U3]時恰好打在D點(diǎn)，右側(cè)的質(zhì)子經(jīng)過Ⅱ區(qū)，由動能定理得：

[eU3=12mv0sin30°cos30°2-12mv20]

[U3=-mv203e]

①當(dāng)[U<-mv203e]時，[F=0]

②當(dāng)[-mv203e≤U<0]時，左側(cè)質(zhì)子打不到探測板，設(shè)打到探測板的右側(cè)質(zhì)子的速度為[v]，則有：

[eU=12mv2-12mv20]

解得[v=v20+2eUm]

而右側(cè)質(zhì)子的水平速度為[vx=v0sin30°=0.5v0]

因此打到探測板時右側(cè)質(zhì)子的豎直速度為[vy=34v20+2eUm]

豎直方向應(yīng)用動量定理有：

[F·Δt=N·Δtm34v20+2eUm]

解得豎直方向上的力[F=Nm34v20+2eUm]

③當(dāng)電壓[U>0]，左、右兩側(cè)質(zhì)子都打到探測板，同理可得[F=2Nm34v20+2eUm]

綜上所述，探測板受到豎直方向上的力[F]的大小與電壓[U]之間的關(guān)系如下：

當(dāng)[U<-mv203e]時，[F=0]

當(dāng)[-mv203e≤U<0]時，[F=Nm34v20+2eUm]

當(dāng)[U>0]時，[F=2Nm34v20+2eUm]

四、教學(xué)反思

此題學(xué)生普遍反映難度很大，這是因?yàn)樗麄內(nèi)狈︻惐韧评淼哪芰ΑＭㄟ^此題，學(xué)生知道原來類比光學(xué)中的反射和折射現(xiàn)象，通過磁場或電場調(diào)控也可以實(shí)現(xiàn)質(zhì)子束的“反射”和“折射”。類比是一種邏輯推理形式，是一種極具啟發(fā)性、創(chuàng)造性和靈活性的推理方法。應(yīng)用兩種物理現(xiàn)象和兩種物理規(guī)律之間的相似或相同，而推出其他方面也相似或相同的方法就是類比法，類比法貫穿物理學(xué)的研究過程。

類比法往往能指引學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。比如“電場”這一章中庫侖定律與萬有引力定律的類比，電場與重力場的類比，重力場中的平拋與電場中的類平拋的類比。

其中，萬有引力定律與庫侖定律的類比如表1所示。

電場與重力場的類比如表2所示。

學(xué)生應(yīng)該具有這樣的意識——考試中的失分都應(yīng)該歸結(jié)到自身素養(yǎng)欠缺上，而素養(yǎng)除物理觀念、科學(xué)探究、科學(xué)推理、科學(xué)論證、模型建構(gòu)外［1］，還包括對自身思維過程進(jìn)行的監(jiān)控——“對自己的思維方式、思維過程進(jìn)行質(zhì)疑”。教師在向?qū)W生傳授知識的同時，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)重要的科學(xué)研究方法，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究能力。科學(xué)研究是學(xué)生終身受用的本領(lǐng)。只有讓學(xué)生積極主動地開展科學(xué)研究，才能更好地提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 梁旭.基于核心素養(yǎng)的學(xué)·教·評：浙江省近幾年高中物理教學(xué)的探索與實(shí)踐［J］.中學(xué)物理，2021（21）：2-6.

（責(zé)任編輯 黃春香）