初中數學解題教學中“三角形”相關定理的解題策略研究

于欣

【摘要】本文圍繞初中數學解題教學中“三角形”相關定理展開，提出一系列教學策略和相關理論.強調通過組織實踐活動和討論的方式，將理論知識與實際問題相結合，培養學生解決實際問題的能力.論述問題分析在學生解題過程中的關鍵作用，包括理清問題背景、識別問題類型、構建數學模型等步驟.最后，通過糅合實例展示如何運用這些理論和策略，解決涉及“三角形”相關定理的實際問題，強調培養學生數學思維和解決問題的綜合能力.

【關鍵詞】初中數學；三角形；解題教學

1 引言

在初中數學解題教學中，深入探討“三角形”相關定理是學生建立堅實數學基礎的關鍵.問題分析作為解題的核心步驟，通過理清問題背景、識別問題類型、運用已學知識、構建數學模型、推理和證明等環節，能夠培養學生深刻的數學思維和問題解決能力.通過組織實踐活動、小組討論、案例分析等形式，將理論知識與實際情境相結合，能夠提升學生對三角形相關定理的理解和應用水平.這一綜合的教學策略旨在通過實際問題的解決、合作學習、案例分析等多層次手段，培養學生深入理解和運用三角形相關定理的能力.通過這樣的教學方法，學生不僅能在理論層面有所掌握，更能在實際情境中熟練應用，為數學學科的深入學習打下堅實基礎.

2 初中數學解題教學中“三角形”相關定理的問題分析

在初中數學解題教學中，問題分析是學生培養解題能力的關鍵步驟，尤其在涉及“三角形”相關定理的情境下.學生應理清問題的背景，包括角度、邊長等基本信息，以建立清晰的問題認知.學生需識別問題類型，明確所屬的定理范疇，為選擇合適的解題策略奠定基礎.在運用已學知識時，學生需要靈活運用相關定理，將問題信息與數學概念有機結合，形成解題思路.構建數學模型是問題分析的關鍵一環，將實際問題抽象為數學表達式，為后續的計算提供方向.推理和證明的運用則有助于確保所得結論的準確性，培養學生的邏輯推理能力.此外，學生在問題分析時應特別關注可能存在的特殊情況，以深入理解定理的適用范圍.通過全面深入的問題分析，學生能夠更有針對性地運用三角形相關定理，提高解題效率，同時培養學生的數學思維和問題分析能力［1］.

3 一些初中數學解題中“三角形”相關例題

3.1 三角形的基本性質題型

這類題型通常涉及三角形的內角和、邊長關系、等腰三角形和等邊三角形的特性等，考查學生對三角形性質的掌握程度［2］.

例1 如圖1所示，在直角△ABC中，AB=AC.點D在邊BC上，BD=2DC.點E在延長線上，使得DE=AD.求BE和CE的長度關系.

解析

由題可知，△ABC是一個等腰直角三角形，而BD=2DC，利用賦值法，令BC=6，

得BD=4，DC=2.

作垂線AF和EG分別交BC于F，G兩點，由等腰直角三角形的性質可以得到AF=3，

而DE=AD，∠CDE=∠ADB，

∠AFD=∠EGD=90°，

故△AFD≌△EGD，

AF=EG=3，FD=DG=GC=1.

已知了這些邊的長度，根據勾股定理，

可得BE=BG2+GE2CE=CG2+GE2，

解得BE=52+32=34CE=12+32=10.

最終可以得到BE和CE的長度關系為

BECE=175.

3.2 三角形的相似與全等題型

這類題目要求學生理解和應用三角形全等的判定條件（SSS、SAS、SAS、AAS）和相似的判定條件（AA、SSS）.

例2 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC上一點，BD⊥AC，求證：△ABC與△BDC相似.

解析

分析已知條件：△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.

D點在AC上，BD⊥AC.

令△ABC中的∠BAC為α，由于△ABC是直角三角形，因此∠ACB=90°－α.

在△BDC中，由于BD⊥AC，

所以∠BDC=90°.

證明相似性

在△ABC中，已知∠BAC=α，∠ABC=90°，∠ACB=90°－α.在△BDC中，我們知道∠BDC=90°，∠DBC=α（因為它是∠BCA的余角）.因此，∠BAC與∠DBC相等.

應用相似三角形的原則：根據角角角相似（AA）原則，當兩個三角形的兩對角分別相等時，這兩個三角形相似.在此情況下，∠BAC=∠DBC和∠ABC=∠BCD，因此△ABC與△BDC相似.

3.3 三角形的面積和高度題型

此類題目涉及計算三角形的面積、高度，以及應用海倫公式和其他相關公式［3］.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm.點D在邊AC上，使得AD=3cm.求△ABD的面積.

解析

先使用海倫公式計算△ABC的面積.

首先計算半周長s：s=12+9+152=18cm.

然后，應用海倫公式：

S△ABC=ss－12s－9s－15，代入s，

解得：S△ABC=2916=54cm2.

作CE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F.

由于共用∠CAB，且∠CEA=∠DFA=90°，故△CEA與△DFA相似，

而AC=3AD，得CE=3DF.

根據三角形面積公式，△ABD和△ABC以AB為底時，△ABC的高是△ABD的高的3倍，

故S△ABD=13S△ABC=18cm2.

4 結語

在初中數學解題教學中，以“三角形”相關定理為核心的問題分析策略顯得至關重要.通過理清問題背景、識別問題類型、運用已學知識、構建數學模型以及推理和證明等步驟，學生能夠更深入、更靈活地運用相關定理解決各類問題.實踐活動和討論的引入，如實際問題解決活動、小組討論和數學游戲，不僅培養了學生的團隊協作和交流能力，也增加了解題的趣味性.通過這一教學模式，學生在問題分析中能夠更全面、深刻地理解三角形相關定理，提高解題效率，同時培養了數學思維和問題分析能力.

參考文獻：

［1］羅志山.利用數形結合思想巧思妙解幾何問題［J］.數理化解題研究，2023（26）：29-31.

［2］唐麗.基于數學核心素養之“數學抽象”下的初中數學解題教學策略——以“探索三角形全等條件”為例［J］.數理化解題研究，2023（26）：32-34.

［3］劉曉晴.初中二次函數動點問題的解題策略與教學研究［D］.廣州：廣州大學，2023.