利用幾何法妙解最值問題

張源

［摘 要］文章結合例題，探討幾何法在最值問題中的運用，旨在拓寬學生的解題路徑，培養學生思維的靈活性和深刻性。

［關鍵詞］幾何法；最值問題；截距；斜率

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0034-03

最值問題的解法頗多，如配方法、圖象法、函數單調性法、基本不等式法等，而幾何法是一種不可忽視的重要方法。深挖目標代數式的幾何意義，利用幾何法求最值，往往能取得“四兩撥千斤”的效果。

一、截距型問題

形如 [t=ax+by]的最值問題，通常可轉化為動直線截距的最值問題，最常見的方法是把原問題轉化為動直線與定圓有交點的問題。

［例1］若實數[x]，[y]滿足[x2+y2-4x-2y-4=0]，那么[x-y]的最大值為? ? ? ? ? ?。

分析：整理出圓的方程，設[x-y=k]，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可求解。

解：由[x2+y2-4x-2y-4=0]可得[（x-2）2+（y-1）2=9]，半徑為3。設[x-y=k]，則圓心到直線[x-y=k]的距離[d=2-1-k2≤3]，解得[1-32≤k≤1+32]，故[x-y]的最大值為[1+32]。

點評：本題還有其他解法，如令[x-y=k]，利用判別式法求解。還可以通過整理原方程得[（x-2）2+（y-1）2=9]，利用三角換元法將原問題轉化為求三角函數最值的問題，但本解法最直觀。

變式：已知實數[x]，[y]滿足方程[x2+y2-4x-2y+4=0]，則[x+y]的最大值為? ? ? ? ? ?。

解析：因為實數[x]，[y]滿足方程[x2+y2-4x-2y+4=0]，所以[（x-2）2+（y-1）2=1]，得圓心為[（2，1）]，半徑為1。設[x+y=a]，則直線[x+y=a]與圓有公共點，所以[2+1-a2≤1]，解得[3-2≤a≤3+2]，故[x+y]的最大值為[3+2]。

二、斜率型問題

形如 [u=y-bx-a]的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題，通過數形結合求解。

［例2］已知實數[x]，[y]滿足[（x-1）2+（y-2）2=2]，則[3x+2y+74x+2y+8]的最小值為? ? ? ? ? ? ? 。

分析：根據斜率公式理解[y+2x+1]，利用直線與圓的位置關系求[y+2x+1]的取值范圍，進而求[3x+2y+74x+2y+8=11+13+2×y+2x+1]的最小值。

解：[（x-1）2+（y-2）2=2]表示圓心為（1，2），半徑為[2]的圓，注意到[1-2≤x≤1+2]，故[2-2≤x+1≤2+2]，即[x+1≠0]，則[y+2x+1=y-（-2）x-（-1）]表示圓[（x-1）2+（y-2）2=2]上一點[（x，y）]與定點（-1，-2）連線的斜率，令[y+2x+1=k]，則[y+2=k（x+1）]，即[kx-y+（k-2）=0]，則直線[kx-y+（k-2）=0]與圓[（x-1）2+（y-2）2=2]有公共點，則[d=k-2+（k-2）k2+1=2k-4k2+1≤2]，整理得[k2-8k+7≤0]，解得[1≤k≤7]，即[1≤y+2x+1≤7]，注意到[x+1≠0]，[3+2×y+2x+1≠0]，故[3x+2y+74x+2y+8=3（x+1）+2（y+2）4（x+1）+2（y+2）=3+2×y+2x+11+3+2×y+2x+1=11+13+2×y+2x+1]，所以求[3x+2y+74x+2y+8]的最小值轉化為求[y+2x+1]的最小值。因為[y+2x+1]的最小值為1，所以[3x+2y+74x+2y+8]的最小值為[11+13+2×1=56]。

點評：將已知式子[3x+2y+74x+2y+8]變形為[11+13+2×y+2x+1]，即將所需解決的問題轉化為求[y+2x+1]的最小值，這一轉化是解答本題的關鍵。

變式：已知[a>0]，[b>0]，且[a+b2=1]，則[ab-2]的最小值為? ? ? ? ? ? 。

解析：因為[a>0]，[b>0]，且[a+b2=1]，所以令[a=sin2θ]，[b=cosθ]，其中[θ∈0，π2 ]。設[P（cosθ，sinθ）]，則動點[P]在單位圓（第一象限弧[MN]）上，[A（2，0）]，如圖1所示。[ab-2=sinθcosθ-2]表示[P]、[A]兩點連線的斜率，由圖可知，當連線[PA]與[MN]相切時，斜率最小，此時[PA]的傾斜角為[5π6]，其斜率為[tan5π6=-33]，即[ab-2]的最小值為[-33]。

三、距離型問題

（一）兩點之間的距離

形如[m=（x-a）2+（y-b）2]的最值問題，通常可轉化為已知曲線上的點[（x，y）]到點[（a，b）] 的距離平方的最值問題，或位于兩條曲線上的兩個動點距離的平方的最值問題。

［例3］已知實數[a]，[b]，[c]，[d]滿足[a2-ab+4=0]，[c2+d2=1]，則當[（a-c）2+（b-d）2]取得最小值時，[abcd=]? ? ? ? ? 。

分析：將[（a-c）2+（b-d）2]轉化為[（a，b）]與[（c，d）]兩點間距離的平方，進而轉化為[（a，b）]與圓心（0，0）的距離，結合基本不等式求得最小值，進而分析求解即可。

解：可將[（a-c）2+（b-d）2]轉化為[（a，b）]與（c，d）兩點間距離的平方，由[a2-ab+4=0]，得[b=a+4a]，而[c2+d2=1]表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓，（c，d）為圓上一點（如圖2），則（a，b）與圓心（0，0）的距離為[a2+b2=a2+a+4a2=2a2+16a2+8≥22a2·16a2+8=82+8]，當且僅當[2a2=16a2]，即[a=±84]時等號成立，此時（a，b）與圓心（0，0）的距離最小，即（a，b）與（c，d）兩點間距離的平方最小，即[（a-c）2+（b-d）2]取得最小值。當[a=84]時，[ab=a2+4=4+22]，因為[dc=ba=aba2=4+2222=2+1]，即[d=（2+1）c]，所以[cd=cdc2+d2=dc1+dc2=2+11+（2+1）2=2+14+22]，所以[abcd=（4+22）×2+14+22=2+1]。同理，根據對稱性可得，當[a=-84]時，[ab=a2+4=4+22]，[cd=2+14+22]，即[abcd=2+1]。

點評：本題的解題關鍵是能夠將問題轉化為求圓[c2+d2=1]上的點到[b=a+4a]上的點的距離的最小值。

變式：若[a>0]，[b>0]，則[（a-2b）2+（lna-b）2+b]的最小值是? ? ? ? ? ? ? ?。

解：記[T=（a-2b）2+（lna-b）2+b]，[P（a，lna）]，[Q（2b，b）]，[H（2b，0）]，[F（0，1）]，G（[2b]，-1），則[T=PQ+QH=PQ+QG-1=PQ+QF-1]，即原問題轉化為求拋物線[x2=4y]上點[Q]到定點[F（0，1）]與[y=lnx]上點[P]（如圖3）的距離之和的最小值，[PQ+QF-1≥PF-1]，當且僅當[P]、[Q]、[F]共線時等號成立。令[f（a）=PF2=a2+（lna-1）2] [（a>0）]，則? [f（a）=2a+2（lna-1）a=2a（a2+lna-1）]，由于[y=a2+lna-1]單調遞增，則[a=1]是[f（a）]的唯一零點，即有[f（a）]在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，則[f（a）≥f（1）=2]，即[PF]的最小值為[2]，則[T≥PF-1≥2-1]，所以原式的最小值為[2]-1。

（二）點到直線之間的距離

當目標函數帶有絕對值符號，且絕對值內的表達式是關于兩個變量的一次型代數式時，可以嘗試將它“改裝”成點到直線之間的距離公式的形式，然后求出最值。

［例4］已知實數[x1]，[x2]，[y1]，[y2]滿足[x21+y21=4]，[x22+y22=9]，[x1x2+y1y2=0]，則[x1+y1-4+x2+y2-9]的最大值是? ? ? ? ? ? ?。

分析：利用數形結合法，將所求問題轉化為[A]、[B]兩點到直線[x+y-4=0]和[x+y-9=0]的距離和的[2]倍，再利用三角函數求出其最大值即可。

解：由[x21+y21=4]，[x22+y22=9]可知，點[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]分別在圓[x2+y2=4]和圓[x2+y2=9]上，如圖4所示，作直線[l：y=-x]，過[B]作[BD⊥l]于[D]，過[A]作[AE⊥l]于[E]，而[x1+y1-4+x2+y2-9=2x1+y1-42+x2+y2-92]，其中[x1+y1-42]表示點[A]到直線[x+y-4=0]的距離[d1]，[x2+y2-92]表示點[B]到直線[x+y-9=0]的距離[d2]，因為直線[y=-x]與直線[x+y-4=0]、直線[x+y-9=0]平行，直線[y=-x]與直線[x+y-4=0]的距離為[d3=0-412+12=22]，直線[y=-x]與直線[x+y-9=0]的距離為[d4=0-912+12=922]，要使[x1+y1-4+x2+y2-9]取最大值，則點[A、B]需在第三象限，所以[d1=AE+22]，[d2=BD+922]，由[x1x2+y1y2=0]得[OA⊥OB]，設[∠DOB=θ]，[θ∈0 ，π2]，因為[OA⊥OB]，所以[∠AOE=π2-θ]，從而[BD=BO·sinθ=3sinθ]，[AE=AO·sinπ2-θ=2cosθ]，故[BD+AE=3sinθ+2cosθ=13313sinθ+213cosθ=13sin（θ+φ）]，其中[φ∈0 ，π2]，[tanφ=23]，故當[θ=π2-φ]時，[BD+AE]取最大值[13]，從而[x1+y1-4+x2+y2-9=2（d1+d2）=2AE+BD+1322≤26+13]，即[x1+y1-4+x2+y2-9] 的最大值為[26+13]。

點評：本題的解答關鍵是將代數問題轉化為幾何問題，將所求代數式的值表示成兩個點到直線的距離之和的[2]倍，數形結合，再借助三角函數的性質求出最值。

變式：已知實數[x1]，[x2]，[y1]，[y2]滿足[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，則[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10]的最大值為? ? ? ? ? ? ?。

解：設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，則[OA=（x1，y1）]，[OB=（x2，y2）]。因為實數[x1]，[x2]，[y1]，[y2]滿足[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，所以[A、B]兩點在圓[x2+y2=3]上，且[OA·OB=3×3×cos∠AOB]。又[OA·OB=x1x2+y1y2=32]，所以[cos∠AOB=12]，所以[∠AOB=60°]，所以[△AOB]為等邊三角形，[AB=3]。點[A]到直線[3x+4y-10=0]的距離[d1=3x1+4y1-105]，點[B]到直線[3x+4y-10=0]的距離[d2=3x2+4y2-105]，所以[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10=5（d1+d2）]。要使[5（d1+d2）]最大，只需點[A]、[B]在第三象限。設直線[3x+4y-10=0]為直線[l]，過[A]作[AD⊥l]于[D]，過[B]作[BE⊥l]于[E]，取[AB]的中點[F]，過[F]作[FG⊥l]于[G]（如圖5）。由梯形的中位線性質可知：[AD+BE=2FG]，即[d1+d2=2FG]，所以只需[F]到直線[l]的距離最大，即直線[AB]與直線[3x+4y-10=0]平行。設直線[AB的方程為3x+4y+t=0（t>0）]，由圓心到直線[AB]的距離為[d=t5=t5]，可得[d2+322=3]，即[t52+322=3]，解得[t=152]，所以兩平行線間的距離為[152-（-10）32+42=72]，所以[d1+d2=3x1+4y1-105+3x2+4y2-105≤72+72=7]，所以[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10=5（d1+d2）≤5×7=35]。

綜上所述，當遇到多元最值問題時，我們要善于挖掘題目中隱含的幾何意義，把原最值問題轉化為解析幾何最值問題，讓數形結合思想“大放異彩”。

（責任編輯 黃桂堅）