巧用函數性質 推理演繹解題

摘? 要：在初中數學函數解題中，函數的性質是解題切入的關鍵，而巧用函數性質輔助分析函數問題則可以幫助學生更為迅速地找到解題的突破口，從而實現函數問題的高效求解.文章以反比例函數問題為例，簡述函數性質的應用策略，以充分發揮函數性質求解函數問題的效能，以期為初中數學函數問題的解題提供一定的參考.

關鍵詞：初中數學；反比例函數；函數性質；解題技巧

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0061-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：莊素慧（1982.1—），女，福建省南靖人，研究生，一級教師，從事中學數學教學研究.

反比例函數是初中數學中重要的知識板塊，其具有獨特的性質.在解題過程中，巧用反比例函數的性質能引導學生對試題進行精準推理，實現對問題的精準求解.

1 反比例函數的性質

反比例函數的函數表達式為y=kx（k為常數，且k≠0）的函數［1］.當k＞0時，函數圖象位于一、三象限內，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0時，函數圖象在二、四象限內，在每一象限內，y隨x的增大而增大［2］.同時反比例函數圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，并且反比函數的圖象關于直線y=x或y=-x成軸對稱圖形.此外，過反比例函數圖象上任意兩點P、Q分別作坐標軸的垂線，垂線段與坐標軸所圍成的矩形面積相等.

2 巧用函數性質，推理演繹解題

2.1 充分利用函數圖象性質

在初中數學函數解題過程中，函數圖象可以起到很好的輔助思考作用，幫助學生更為直觀地進行問題的分析，掌握問題切入處理的方向，最終確定所使用的解題手段.而反比例函數的圖象性質較為特殊，故在涉及反比例函數的圖象性質的問題求解中，學生便可以此為問題切入的方向，實現反比例函數圖象問題針對性處理.

例1? （2022年綿陽市中考數學第22題）如圖1，一次函數y=k1x+b的圖象與反比例函數y=k2/x

的圖象在第一象限交于兩點，NA垂直x軸于點A，O為坐標原點，四邊形OANM的面積為38.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）點P是反比例函數第三象限內圖象上的一動點，請簡要描述使△PMN的面積最小時點PO的位置，并求出點P的坐標和△PMN的面積最小值.

分析? （1）根據反比例函數的圖象過點M（2，8）可直接求出反比函數的函數解析式為y=16/x.故可直接設點N的坐標為（m，16/m），因為四邊形OANM的面積為38，但四邊形為不規則四邊形，所以需要將四邊形進行分割.如圖1，過點M作x軸的垂線，垂足為點C，易知點C的橫坐標為2，從而將四邊形OANM分割成△OCM和梯形MNAC.根據可以計算出△OCM的面積為8，所以梯形MNAC的面積為30，再根據梯形的面積計算公式可以得到SACMN=AC（MC+AN）/2=1/2×（m-2）（8+16/m）=30，解得m1=8，m2=2（舍去）.又因為點N的坐標為（8，2），將點M，N的坐標代入到一次函數y=k1x+b中就能夠得到一次函數的解析式為y=-x+10.

（2）這里需要計算△PMN的最小面積，易知線段MN的長度是不變的，故將求三角形面積問題轉化為求點P到直線MN的最小距離問題.這樣，問題便轉化為求解與直線MN平行的直線與反比例函數y=16/x在第三象限內有且只有一個交點的情況.設與直線MN平行的直線方程為y=-x+n，與y=16/x聯立可得x2-nx+16=0，由于其有且僅有一個交點，故可得△=（-n）2-64=0，繼而解得n=8或者n=-8.又因為函數圖象在第三象限內，所以n=-8，所以交點坐標為P（-4，-4）.過點P作AN的垂線，交點為Q，延長MC與PQ交于點E，則SPQNM=S△MCP+S梯形MNQE=S△PMN+S△PQN，從而可得出△PMN的面積為54.

評析? 例1是一次函數圖象與反比例函數圖象的相交問題，主要考查學生對反比例函數的圖象性質以及數形結合思想的掌握情況.所以，在進行反比例函數解題教學以及其他函數解題教學中，教師應引導學生側重性分析函數的圖象性質，充分利用函數圖象的性質尋找解決問題的方案，并在此過程中提升學生運用數形結合思想處理函數問題的思想意識，使學生能將函數圖象性質與數形結合思想進行有效結合，進而找到問題的求解策略.

2.2 巧用函數的單調性

對反比例函數而言，其函數值會隨著k的取值變化而在象限內表現為單調遞增或者單調遞減的特性.所以在一些反比函數問題的求解過程中，可以通過反比函數的單調性的特殊性找到解決問題的切入點，從而實現對問題進行快速求解.

例2? （2022年南京市中考數學第16題）函數y1=x與y2=4/x的函數圖象如圖2，以下關于函數y=y1+y2的結論：①函數的圖象關于原點中心對稱；②當x＜2時，y隨x的增大而減小；③當x＞0時，函數圖象的最低點的坐標是（2，4），其中正確結論的序號是.

分析? 由于函數y1=x與y2=4x的圖象都是中心對稱圖形，故復合函數也是中心對稱函數，且對稱中心為原點，所以①正確；根據題意可知y=y1+y2函數為y=x+4/x，該函數在（-SymboleB@，－2）上單調遞增，在（-2，0）與（0，2）上單調遞減，在（2，+SymboleB@）上單調遞增，故②錯誤，③正確，所以正確選項為①③.

評析? 例2重點考查了學生運用函數的單調性分析問題和解決問題的能力.為更好地提升學生的解題能力，教師可在教學過程中開展函數單調性的解題訓練，使學生充分理解和掌握反比例函數單調性的特殊性，以提升學生基于反比例函數單調性進行相關函數單調性分析的能力.

2.3 巧用函數的對稱性

反比例函數具有中心對稱性和軸對稱性，此性質是反比例函數問題考查的熱點和重點.

例3? （2023年綿陽市中考數學第21題）如圖3，反比例函數y=k/x（k＞0）與正比例函數y=ax相交于點A（1，k），B（-k，-1）兩點.

（1）求反比例函數與正比例函數的解析式；

（2）將正比例函數y=ax的圖象平移得到一次函數y=ax+b的函數圖象與反比例函數y=k/2（k＞0）的圖象相交于點C（x1，y1），D（x2，y2），且x1-x2·y1-y2=5，求b值.

分析? （1）易知A（1，k），B（-k，-1）兩點關于原點對稱，從而易得k=1，所以反比例函數的解析式為y=1x，正比例函數的解析式為y=x.

（2）由（1）可知，平移后的一次函數解析式為y=x+b，與y=1/x聯立可得x2+bx-1=0，所以x1=-b+b2+42，x2=-b-b2+42.將C（x1，y1），D（x2，y2）代入y=x+b可得y1=x1+b，y2=x2+b，所以y1-y2=x1-x2，即x1-x2=y1-y2，因為x1-x2·y1-y2=5，所以x1-x2=5，由x1=-b+b2+42，x2=-b-b2+42可得x1-x2=b2+4=5，所以b=±1.

評析? 本題問題（1）主要考查了反比例函數圖象關于原點對稱的性質，利用這一性質能夠快速求解出反比例函數的解析式.問題（2）則考查了反比例函數圖象與一次函數圖象相交的相關知識.在反比例函數教學中，教師應當強調反比例函數對稱的特殊性，突出其圖象軸對稱性且關于原點中心對稱的特點，幫助學生快速找到解決問題的突破口，從而高效地完成問題的求解.在潛移默化的訓練中，不僅可以提高學生運用反比例函數的性質分析問題和解決問題的能力，還可以提升學生的數學核心素養.

3 巧用函數性質解題的教學反思

3.1 注重函數性質的掌握

基礎知識是解決函數問題的根本，學生對基礎知識的有效掌握及熟練運用直接影響其解決數學問題能力的有效提升.在初中數學解題教學過程中，教師應當重視提升學生對基礎知識掌握程度，同時采取針對性解題訓練鞏固強化基礎知識，加深學生對函數性質的理解和認識.在反比例函數中，反比例函數的性質作為學生解題不可或缺的知識內容，全面提升學生對反比例函數的性質掌握程度，可有效提升學生處理反比例函數問題的效率，最終達到掌握函數性質，提升其解題能力的目的.

3.2 注重知識體系的建構

在反比例函數問題的求解過程中，往往需要學生綜合運用反比例函數知識遷移、轉化、處理不同類型的函數問題，而建構反比例函數知識體系能幫助學生更為高效地進行知識的整合轉化，對于提升反比例函數解題能力有著積極的促進作用.基于此，在初中數學教學中，教師應重視指導學生建構反比例函數知識體系，促使學生不斷完善反比例函數知識體系，以此提升反比例函數問題的解題能力.

4 結束語

通過以上具體實例可以看出，反比例函數的性質在解題中有著廣泛的應用.在初中數學教學中，教師應積極引導學生建構數學知識體系，幫助學生透徹理解函數的特殊性質，并切實運用于函數問題解題中，借此幫助學生將所學的知識融會貫通，從而提升函數問題的解題效率.

參考文獻：［1］ 朱琛.融合數學思想促進解題教學：“用對稱性解決反比例函數問題”專題教學［J］.中學數學月刊，2021（8）：31-34.

［2］ 張俊麗.數學教學是玩概念還是玩技巧：探討反比例函數的解題教學［J］.中學課程輔導（教學研究），2012，6（23）：36-38.

［責任編輯：李? 璟］