基于包絡線的防風垃圾桶空間凸輪弧面設計

張貝

摘要：針對目前凸輪的設計方法不能實現某些特殊零部件從動件空間準確動作的設計要求，提出采用包絡線方法的凸輪輪廓弧面設計方法，該設計方法可實現凸輪準確控制垃圾桶蓋因風力大小改變開度的能力。首先基于凸輪的設計原則，建立簡單平面凸輪的包絡曲線模型，對包絡線方程進行求解，然后利用感風桶風力方向的所在平面建立相應包絡線曲線模型，形成相交空間包絡曲線簇，而后組集凸輪輪廓點數據，建立平行空間包絡曲線簇，通過隨后的輪廓點擬合建立平行空間包絡曲線簇方程，并考查空間包絡曲線擬合方程參數隨曲線簇垂直方向坐標的變化，而后通過兩組擬合參數建立曲面求解數值方程。該空間凸輪輪廓弧面設計方法可準確設計凸輪的空間輪廓，并能實現凸輪的準確控制。該空間凸輪輪廓弧面設計方法過程連續，求解規范可實現程序移植推廣。

關鍵詞：空間凸輪設計；包絡線方程；防風垃圾桶；感風桶

中圖分類號：TH112.2??????????????? 文獻標志碼：A?????????????????? doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2024.05.009

文章編號：1006-0316 （2024） 05-0064-10

Design of Spatial Cam Surface Used on Windproof Refuse Bin with Envelop Method

ZHANG Bei1，2

（ 1. School of Oceanography， Shanwei Institute of Technology， Shanwei 516600， China;

2. College of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology，

Guangzhou 510000， China ）

Abstract：The present cam design method cannot meet the requirements for accurate spatial movement of certain spatial components and followers. An envelope-based cam design method is proposed， which can make the cam to accurately control the openning of refuse bin cover due to changes in wind force. According to cam design principles， cam envelop curve is modeling in simple plane and the envelop equation is solved. Then a corresponding envelop curve is modeling in other plane where the wind direction of the wind sensing bracket is located.. Thus clusters of intersecting spatial envelope curves are formed. To organize cam profile point data， parallel spatial envelop curve clusters are built. With regression of profile point the parallel spatial envelop curve clusters equation is built. The regression parameter is observed with coordinate variation which is vertical to curve clusters. Furthermore the numerical equation is observed. The design mehtod can accurately build cam spatial profile and realize accurate control of the cam. The design method has a process and the solution specification can achieve program portiing and promotion.

Key words：spatial cam design；envelop equation；windproof refuse bin；wind sensor

目前，針對垃圾桶的研究主要是基于應用方面，大部分垃圾桶的研究主要集中在垃圾分類[1]、提升垃圾桶智能化水平[2]、以及特殊功能的垃圾桶設計[3]。垃圾分類主要采用圖像識別技術，垃圾桶智能化和特殊功能垃圾桶的設計則需要借助一些傳感器等硬件進行系統設計。對于特殊功能垃圾桶的設計采用硬件系統的方法固然自動化程度高，但是這些硬件系統在污染介質里長期使用會生成較高的運維成本。另外，所設計系統包含電源，是耗能產品，在潮濕污染物盛放和戶外工作的多粉塵條件下可靠性會顯著減小。在多風多雨且存在污染介質的環境中使用硬件系統可靠運行是比較困難的。

在南方臨海地區的垃圾桶一般存在于多風的環境中，清潔人員一般需要將垃圾桶蓋關閉，以防止因風力較大而產生較多的垃圾飄散。這對使用垃圾桶的居民或行人造成了不便，他們會因為厭惡撥弄垃圾桶蓋的操作而隨意在附近的地面上丟棄垃圾，造成了垃圾清潔的困難。如果采用以往的硬件系統，不但需要額外的運維人員，而且可靠性非常低，因此需要一種機械式自動防風垃圾桶的產品設計。

通過風力的大小改變垃圾桶蓋的開度更能使防風垃圾桶適應南方臨海多風地區的氣候環境。這種垃圾桶的設計需要一個關鍵零件，就是控制垃圾桶蓋的凸輪。

凸輪輪廓曲線的求解是凸輪設計的關鍵。凸輪輪廓曲線的求解主要有圖解法[4]、擬合法[5]和解析法[6]，大部分凸輪研究主要聚焦凸輪的某些特征值如曲率半徑[7]、壓力角[8]，有些是凸輪的特殊應用[9]，還有些關注非凸輪廓的凸輪設計[10-11]，凸輪輪廓難以用較準確的數學刻劃。因此很少有針對凸輪輪廓本身的數學形式研究。

凸輪輪廓本身的數學形式研究對于這種防風垃圾桶的凸輪設計非常重要，因為這種凸輪設計不是從以往從動件的運動規律推算凸輪的升程變化規律，而是根據風力大小擺動凸輪作用于垃圾桶蓋的逆向設計過程。按照以往的圖解法逐點描述升程曲線將會造成空間凸輪弧面設計的困難，逐點圖解難以準確描述凸輪的空間輪廓，進而對后續凸輪產品的工程繪制和加工生產帶來困難。

本文采用垃圾桶蓋運動形成的直線簇方程求解凸輪輪廓的包絡線方程，從平面的凸輪輪廓曲線的數學描述拓展到空間平面的凸輪輪廓曲線上，然后建立平行空間包絡曲線簇方程，最后通過兩向擬合參數計算出曲面方程組的數值解，形成滿足設計要求的空間凸輪輪廓弧面。

1 簡單平面凸輪的包絡曲線模型

依據風力大小控制垃圾桶蓋開度的方法如圖1所示。這里只考慮迎面風，背向風由于對垃圾的擾動較小，可暫時不予考慮。圖1所示為防風垃圾桶機械系統。感風桶是感受風力的元件，由圓形桶體構成，以保證迎面風180°內的風力對垃圾桶蓋具有同等的作用，桶體表面可設計成小孔洞結構以增加風力的感知能力[12]。感風桶由擺桿支撐，擺桿的一端固定感風桶，另一端固定有控制凸輪，擺桿的中間設有擺桿支點，擺桿支點與垃圾桶桶體通過桿架固定連接。擺桿支點兩側的臂長比可設定合適數值，以保證感風桶的迎風面積小于垃圾桶蓋面積仍能靈活關閉和開啟垃圾桶蓋，這樣所設計的機械系統總體尺寸會非常小。擺桿在感風桶和擺桿支點之間設有擺桿復位拉壓彈簧，以保證大風過后感風桶和擺桿能恢復到初始位置，這時垃圾桶蓋達到所設定的最大開度。垃圾桶蓋下面設有復位壓縮彈簧，它是保證凸輪與垃圾桶蓋從動件力鎖合的元件。

圖1的工作原理為：如果有迎面180°內的大風超過所設定的風力閾值，則感風桶通過風力的傳遞壓縮擺桿復位彈簧，帶動擺桿繞擺桿支點轉動，擺桿另一端控制凸輪旋轉而壓縮垃圾桶蓋復位壓縮彈簧，從而準確控制垃圾桶蓋的開度，使垃圾桶蓋在風力較大時關閉垃圾桶蓋，風力中等時垃圾桶蓋停留在小開度狀態，風力較小和無風時垃圾桶蓋維持在最大開度狀態。

凸輪輪廓線依據凸輪圖解反轉法設計[13]。所謂反轉法就是在設計凸輪輪廓線時，可假設凸輪擺桿靜止不動，而使垃圾桶蓋相對于凸輪擺桿作反轉運動，同時又繞垃圾桶鉸鏈做旋轉的關閉運動，作出垃圾桶蓋在這種復合運動中的一系列位置（圖2中1～6，相應的擺桿位置為1～6），則能夠內包絡所有的垃圾桶蓋所在直線的曲線即為凸輪的輪廓線。

1～6為垃圾桶蓋的位置；1～6為擺桿凸輪的徑向位置。

首先建立平面坐標系，因為后續的解析推導非常復雜，所以采用具體數值進行參數擬合，結果形式較為直觀，且該方法采用python編程計算，設定參數的改變不影響程序流程。如圖3所示，不妨設垃圾桶蓋的最大開度為75°，垃圾桶蓋被y軸所截斷的長度AB為100（這里的100和后面圖3里的120等數字不代表具體的長度，而是一個相對參考量，不具有毫米或厘米等具體長度單位的測量屬性，角度數字除外），以垃圾桶蓋所截左端點A對應x軸零點位置，這樣可以保證包絡線的x坐標基本上在正值范圍，垃圾桶蓋接觸面右端點B坐標為（100sin 15°， 0）。設擺桿支點的橫坐標與B相同，即100sin 15°。

由圖3、圖4所示垃圾桶蓋反轉法運動關系可知，設擺桿上O1B的長度為120，則垃圾桶蓋反轉法運動時垃圾桶蓋所在直線上一點B位于以擺桿支點O1為圓心以120為半徑的圓上。如圖4所示，設擺桿等速旋轉75°時凸輪將垃圾桶蓋等速關閉，垃圾桶蓋最大開度也是75°。在整個反轉的運動過程中，垃圾桶蓋一方

面繞擺桿支點O1作逆時針旋轉運動，這時要求垃圾桶蓋旋轉75°；一方面又要完成垃圾桶蓋關閉到垃圾桶上的動作，垃圾桶蓋關閉需要完成75°的逆時針旋轉角度；所以完成整個動作，擺桿需要逆時針旋轉75°，垃圾桶蓋需要旋轉2×75°。同理，凸輪擺桿逆時針旋轉角度為α，垃圾桶蓋所在直線會逆時針旋轉2α。α的范圍為0～75°。表1為所設計機構的預設參數。

根據以上建立的直角坐標系和預設參數利用直線的點斜式方程（點的坐標可采用B點的運動坐標，斜率可根據垃圾桶蓋所在直線旋轉的角度進行計算）可以推出垃圾桶蓋所在直線的通式為式（1）。

將式（1）整理為標準形式得到式（2）。將式（2）對α求導可得式（3）。

聯立式（2）（3）消去α即可得出包絡線的方程[14-16]，但解析式非常復雜，因此從式（3）可得出x與α的關系如式（4）所示。

再根據式（1），利用四次多項式python擬合，可得出x、y的函數關系式為：

（5）

其中參數如表2所示。該曲線顯示的平面凸輪輪廓如圖5所示。圖5的凸輪輪廓曲線光滑連續且凸函數特性好，證明擬合精度適當。

2 相交空間包絡曲線簇

由于風向并不總是正面吹向垃圾桶，所以需要考慮風向與垃圾桶正面存在一定角度的情況。這時就有若干個平面凸輪輪廓曲線，它們所在的平面是一簇相交平面。如圖6所示，不妨設這一簇平面中每一個平面的y軸為yt軸，x軸為xt軸，平面中的坐標原點為Ot。相交平面的交線設為z軸，z軸經過擺桿支點，y軸為垃圾桶正面反方向，空間坐標系的原點為O。這樣平面凸輪輪廓曲線的所有平面關系均能應用于空間凸輪輪廓設計。

角度的關系如圖7所示。角度說明見表3。垃圾桶蓋正面的最大開度設為75°，垃圾桶蓋在xtOyt平面中的最大開度為β。凸輪擺桿在xtOyt平面內的擺角行程為φ，垃圾桶蓋從最大開度到關閉行程為β，凸輪擺桿每旋轉α角，即走完總行程的α/φ，垃圾桶蓋也需要旋轉α/φ倍的總行程，對應垃圾桶蓋旋轉角度為α·β/φ。xtOyt平面與垃圾桶正面方向（y方向）的夾角即xtOyt平面與yOz平面的夾角設為θ。

根據圖7中的位置關系，僅研究風向所在平面xtOyt的擺桿與垃圾桶蓋的相對位置變化。可得出角度關系為：

（6）

風向所在平面內的垃圾桶蓋所在直線通式為如式（7）所示。

將式（7）寫成標準形式可得式（8）。將式（8）對求導可得式（9）。由式（9）推出xt的表達式為式（10）。

（7）

（8）

（9）

（10）

通過圖7的坐標變換為：

（11）

式中：x的定義域為（-48.04， 48.04）。其具體的散點圖形如圖8所示。

3 平行空間包絡曲線簇

由得出的凸輪弧面數據雖然能看出凸輪弧面的大致形狀，但其數據對于三維直角坐標而言不夠整齊，不能明確顯示數據點空間位置關于x、y的變化關系，不利于總體曲面方程式的擬合。因此需要將相交空間的包絡線簇轉變為平行空間的包絡曲線簇。

具體方法為：把圖8中的散點數據用平行于xOz平面的平面簇進行均勻分割，兩個平行

平面之間的散點數據通過以下方程形式擬合：

（12）

由式（12）生成的擬合曲線如圖9所示，可以看出凸輪在接近中央平面（x＝0）處的曲線平順性較好，x值越大的地方會出現曲率較大的點，甚至出現凹函數特征。這說明凸輪在x值較小時控制垃圾桶蓋開度的平順性較好，在x值變大時凸輪控制垃圾桶蓋開度的平順性變差，其壓力角和曲率半徑的校核會接近臨界值，有可能造成沖擊，但對于垃圾桶蓋的使用場合，其動態特性還是可以接受的。擬合參數μ0、μ1、μ2、μ3、μ4隨x的變化如圖10所示。

從圖10可以看出，μ0、μ1、μ2、μ3、μ4參數的絕對值依次減小，μ0常數項系數為正值，μ1一次項系數為負值，且常數項和一次項系數出現較大的波動，μ2、μ3、μ4絕對值都很小且變化非常微弱，因此擬合方程的高次項對函數值的貢獻急劇減小，由于曲面關于x＝0平面對稱，所以有些擬合參數呈現雙峰形狀，如只看x＞0一側的曲面，擬合方程一定程度上更接近于拋物線方程，但在計算曲面網格點具體數值時高次項因為x、y值的高次冪數值較大而無法忽略。

4 凸輪弧面的數值求解

如果將參數μ0、μ1、μ2、μ3、μ4視為x的函數，則凸輪弧面將會有含兩自變量的完整表達，形成了較為完整的數值曲面解。由此可得：

（13）

根據圖10中的數據，按四次多項式函數進行擬合，可得：

（14）

其中系數矩陣A為：

（15）

式（15）中的數值以MATLAB格式寫出，如9.1596e1表示為9.1596×101。將式（14）和式（12）聯立可得曲面方程為：

（16）

也可以寫成如下形式：

（17）

根據式（15）代入x、y的具體坐標值，可繪制出如圖11所示凸輪輪廓外形，可以看出其

數值曲面與圖9所示的曲線簇非常接近。

式（15）中的第i行第j列元素aij參數有些數值絕對值很小，其中第二行和第四行都非常小，這一點與凸輪關于x＝0對稱有關，凸輪輪廓是關于x＝0平面的偶函數，所以奇次項應省略取0，則式（15）可簡化為式（18）。

根據式（18）可得圖12所示凸輪弧面的數值解，可以看出圖12與圖11基本形狀一致，它們之間的差值較小。

（18）

5 討論

從圖11和圖12的凸輪曲面形狀來看，在凸輪的底部x方向有馬鞍形的不平整誤差，這不是擬合精度不足造成。對于相交空間曲線簇，形成這種誤差的主要原因是不同θ的平面凸輪輪廓曲線并不能保證都相交于一點，甚至有些凸輪曲線可能不相交。但它們都幾乎交于一點，因為這些凸輪輪廓曲線都幾乎經過這一點。θ較大的凸輪輪廓曲線有可能位于θ較小的凸輪輪廓曲線下側，這樣擬合出來的曲線會形成較大的馬鞍形誤差，這一點也可以從圖10的擬合參數μ0、μ1的變化趨勢得到證明。y方向平行的凸輪輪廓曲線也有一定的微凹性，但是不明顯，幾乎不影響凸輪的運行，為了提高擬合的精度，保留四次的擬合曲線形式，而x方向的馬鞍形誤差較為明顯，又因為凸輪曲面是關于x＝0平面的偶函數，所以改用二次函數進行擬合，即：

（19）

其中系數矩陣A可以表示為式（20）。

式（20）中第二行由于絕對值很小且曲面方程是關于x＝0的偶函數，因此可設第二行所有元素為0，可得式（21）。

式（22）為凸輪輪廓曲面方程。將式（21）代入式（22）可消除馬鞍形誤差。

根據式（22）計算得出凸輪弧面的數值解如圖13所示。

6 結論

在凸輪輪廓的包絡線模型求解基礎上建立空間包絡曲線簇，該包絡曲線簇可用于凸輪加

工時的平行刀具軌跡規劃，而后利用曲線簇求出數值曲面解。

（20）

（21）

（22）

所設計的凸輪輪廓曲線簇準確刻劃了凸輪弧面的空間形狀，形成了凸輪因風力大小和方向變化而準確控制垃圾桶蓋開度的實用功能，為南方臨海多風環境中的特殊功能垃圾桶產品提供了設計依據。

該空間凸輪輪廓弧面設計方法過程連續，求解規范可實現程序移植推廣。

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