數學抽象理解及解題技巧

胡新華

摘要：三角形是具有性質特征的最簡單的幾何圖形，盡管圖形是直觀的，但將圖象概括為數學概念卻是一個抽象化的過程，因為三角形包含有邊的長短、角的大小等“數字化”的要素.換句話說是將“形”轉化為“數”的過程，是數學概念抽象概括的過程.“探索三角形全等的條件”就是對兩個邊長、角度一一對應的三角形，結合前面學過的線段和兩角相等的知識進行探究，找出它們中一一對應的邊、角相等的條件，是數學抽象理解與應用的過程.因此，在“探索三角形全等的條件”的課堂教學中，采用“實踐活動中構建方法”的探究發現法最合適不過，既可以激活課堂氣氛，又可以驅動學生的探究熱情.

關鍵詞：三角形全等的條件；抽象理解；解題技巧

“探索三角形全等的條件”是蘇科版數學八年級上冊第一章的內容，是繼認識三角形之后，了解全等圖形和全等三角形之后的知識拓展，體現了抽象的“數形轉換”的數學基本思維方法［1］.基于此，在課堂教學中，教師需要精心創設適合學生探究的教學情境，讓學生自主在實踐活動中得到原理和結論，親歷解決質疑情境問題的過程，從而構建釋疑的方法，并內化為解決問題的基本技能、技巧.

1 創設實踐案例，激發學生去思考

有人說“好奇是致勝的魔杖”，的確如此.好奇心強、探索心強是初中生的基本特征，根據這一點，教師可以創設能夠吸引學生眼球的案例，引導學生存疑，再通過實踐活動探究，找到釋疑的途徑.例如，在“探索三角形全等的條件”的課堂導入環節，可以這樣精心創設情境.

師：教室后面的小組評比欄目需要進行周期性清理，然后重新記錄評估，欄目中張貼的小紅旗（紙質）不可能完整揭下來，需要重新用紅紙剪裁出相同的小紅旗（三角形）.若某小紅旗揭下來時，撕成下列三塊，你認為用其中的哪些碎片就可以重新用紅紙剪裁相同的小紅旗呢？

教師課前給每位學生分發小紅旗的碎片，如圖1所示，讓學生自己剪裁出小紅旗的三塊碎片.

學生選擇不同的碎片進行探究，嘗試利用不同的碎片或者碎片的組合重新用紅紙剪裁相同的小紅旗.

活動預案：取①②③中的一塊碎片，不能用紅紙剪裁出相同的小紅旗（三角形），這說明只知道一個角相同時，不能確定兩個三角形全等；取①②③中的任意兩塊碎片無縫對接，都能用紅紙剪裁出相同的小紅旗（三角形）（可以提醒學生注意，若有縫隙，或者碎片有部分重疊，則情況又會怎樣？），這說明只知道兩個角和其夾的一條邊相同時，能確定兩個三角形全等.

通過活動，教師及時.兩個三角形的兩邊及其夾角相等時即全等，簡稱“ASA”.

創設目的：“用紅紙剪裁相同的小紅旗”的實踐活動實質就是探究三角形全等條件的過程.開展這樣的課堂活動，可以滿足學生的好奇心和探究知識的欲望，在親歷嘗試的過程中認知三角形全等的條件.因此，探究發現法的是利用學生的好奇心發現生成知識的過程，是求知欲的體現，是可以實現的目標［2］.

2 設置經典問題，驅動學生去挑戰

從八年級學生的學情可知，他們對幾何知識的認知還是瘠薄的，部分學生對探究幾何問題的方法、經驗不足，達不到“數形轉換”的思維水平，使得獨立完成數學問題的探究成為空中樓閣.為了能讓這部分學生迎頭趕上，最有效的方法就是在課堂上生成新知之后及時設置課堂練習，通過小組合作的形式進行探究、交流，在活動過程中領會知識扎實的學生的思維方法，并內化為自己解決數學問題的能力.例如，在探索得到“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”后，要求學生分組探究這一基本事實的具體形式.

師：請同學們用兩個相同的三角板，使其一邊緊靠在一起，且不完全重合，觀察這兩個三角板的位置，編寫一道利用本節課所學知識證明三角形全等的題，并寫出證明過程.

生：用兩個相同的三角板嘗試滿足教師設置的問題的要求，可以得出眾多的位置.

活動預案：常見的兩個相同的三角板位置形式如圖2.

其中，用圖2（2）的形式編寫的數學證明題的成功案例如下：

如圖3，在△ABC和△A′B′C′中，A，B，A′，B′四點在同一直線上.

證明過程都是利用課堂學習的新知：兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等，可以簡稱為“SAS”.

創設目的：通過用兩個相同的三角板的組合位置，編寫一道利用本節課所學知識證明三角形全等的題目的課堂活動是開放性的，因此采用了小組合作交流的方式.因為還未學習直角三角形的概念，不用考慮三角板的具體角度.課堂活動中，學生設計的兩個三角板的位置是五花八門的，如圖2中的（4），當然也可以編寫其他數學問題，但已知條件就復雜得多，對學生應用知識的能力有更高的要求.因此，本活動采用小組合作探究的形式，有利于幫助學生克服探究過程中出現思維障礙導致無法獨立解決的困難，同時，在合作中內化知識、優化構建、積累方法、激活思維、形成技巧.

3 內化生成知識，強化學生去拓展

課堂上學生對如何探究知識有了清晰的脈絡之后，就需要將所獲取的新知進行提煉與內化，真正了解數學問題的奧妙之處，這是課堂教學的重要環節，也是學生發展能力、形成學科素養不可或缺的組成部分.換句話說，就是驅動學生充分思考，獲取感悟，深入探究，掌握技能方法.

如，可以采用近年的中考試題來內化所學的新知.

典例 （2021年福建中考題改編）如圖4，已知D是BC的中點，F為AD的延長線上一點，作BE∥CF交AD于點E，求證：BE=CF.

學生根據已知條件找到△BED≌△CFD，即可得出BE=CF.

活動預案：在探究后的展示環節中，有學生給出這樣的證明過程.

在△BED和△CFD中，因為D是BC的中點，故BD=CD；∠EDB=∠FDC；又由BE∥CF，得出∠DEB=∠DFC.所以△BED≌△CFD，故BE=CF.

展示之后有學生提出異議：本節“探究出的兩個三角形全等的條件”是“ASA”，而該學生給出的卻是“AAS”，兩個三角形能全等嗎？

于是，該學生進行反駁：因為三角形的內角和是180°，在△BED和△CFD中有兩個角相等，那么，它們的第三個角必定也相等，因此“AAS”也可以作為判斷兩個三角形全等的條件.

創設目的：在探索問題的時候，初中生時常會力不從心，分類探討時丟三落四是常見現象.因為他們正處于從直觀思維到邏輯思維的過渡期，討論問題時難免會出現思維跳躍等情況.本例旨在引導學生看問題時要注意養成全面思考的習慣，不斷提升思維水平，進而內化成數學思維、數學能力、數學素養.

總之，只要在數學課堂教學中做到“創設實踐案例，激發學生去思考；設置經典問題，驅動學生去挑戰；內化生成知識，強化學生去拓展”，那么，數學抽象理解及解題技巧就會生根于學生的腦海中，內化成自身的素養［3］.

參考文獻：

［1］尚衛成，譚曉玲.初中數學核心素養“數學抽象”理解及解題技巧——以"探索三角形全等條件"為例［J］.數學之友，2022，36（23）：34-36.

［2］梁大胤.探索三角形全等條件案例分析［J］.試題與研究（教學論壇），2021（1）：122.

［3］魏凱，陳捷，張龍娟.基于數據采集與分析的課堂互動教學模式研究——以《探索三角形全等條件》一課為例［J］.中國信息技術教育，2020（2）：71-74.