例析初中數(shù)學代數(shù)推理的類型及教學啟示

何勇

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出“增加代數(shù)推理，加強幾何直觀”的主張，體現(xiàn)了通過幾何建立直觀、通過代數(shù)予以表達的現(xiàn)代數(shù)學的基本特征.2023年全國各地數(shù)學中考試題對代數(shù)推理的考查全面而充分，厘清代數(shù)推理的不同類型，對日常教學具有較強的指導意義.代數(shù)推理的類型大致分為代數(shù)運算型、結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化型、代數(shù)說理型三種.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；代數(shù)運算；結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化；代數(shù)說理

1 代數(shù)推理的含義

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022版）》）指出“要關(guān)注基于代數(shù)的邏輯推理；能在比較復雜的情境中，提升學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及有邏輯地表達與交流的能力”［1］.代數(shù)推理側(cè)重數(shù)與代數(shù)的運算和變形、數(shù)量關(guān)系、代數(shù)模型（方程、不等式、函數(shù)等），比較抽象.它是從條件出發(fā)，根據(jù)代數(shù)定義、代數(shù)公式、運算法則和運算律進行的運算，指向特定的目標結(jié)構(gòu)（或關(guān)系）的代數(shù)變形與轉(zhuǎn)化或進行的一種證明（說理），符合一般推理的特點.代數(shù)推理主要應(yīng)用于數(shù)與代數(shù)的運算與變形，方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容.

2 2023年中考數(shù)學試題對代數(shù)推理的考查

2023年全國各地數(shù)學中考試題的命制較好地貫徹和落實了《課標（2022版）》的要求，對代數(shù)推理的考查更是全面而充分.通過對全國各地2023年初中數(shù)學中考試題的研究，不難發(fā)現(xiàn)代數(shù)推理的考查主要集中在數(shù)與代數(shù)的運算與變形，方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容.代數(shù)推理的類型大致分為代數(shù)運算型、結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化型、代數(shù)說理型三種.

2.1 代數(shù)運算型

數(shù)學的思維是什么？主要是邏輯推理，這是數(shù)學發(fā)展所依賴的基本思維形式.邏輯推理分為演繹推理和歸納推理，而數(shù)學運算屬于演繹推理.

案例1 （2023＼5武漢）皮克定理是格點幾何學

中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積S＝N＋12L－1，其中N，L分別表示這個多邊形內(nèi)部與邊界上的格點個數(shù)，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點為格點.已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），則△ABO內(nèi)部的格點個數(shù)是（? ）.

A.266

B.270

C.271

D.285

分析：根據(jù)公式S＝N＋12L－1，先計算出S和L的值，即可求出N的值.由A（0，30）可知

邊OA上有31個格點（含點O，A），因為直線OB的解析式為y＝12x，所以當x為小于或等于20的正偶數(shù)時，y也為整數(shù)，即OB邊上有10個格點（不含端點O，含端點B）；由直線AB的解析式y(tǒng)＝-x+30可知，當0＜x＜20且x為整數(shù)時，y均為整數(shù)，故邊AB上有19個格點（不含端點），所以L＝31＋19＋10＝60.又S△ABO＝12×30×20＝300，故300＝N＋12×60-1，所以N＝271.故選項C正確.

點評：本題考查了學生在復雜的情境中分析、解決問題的能力.代數(shù)運算是“童子功”，根據(jù)定義、公式、運算法則和運算律進行推理活動，代數(shù)推理通過代數(shù)運算得以實現(xiàn)，既有推理的特征，也具有運算的特征.

2.2 結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化型

結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化型就是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），目標結(jié)構(gòu)（或關(guān)系）就是代數(shù)模型.

案例2 （2023·浙江杭州）設(shè)二次函數(shù)y1＝2x2＋bx＋c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點.若函數(shù)y1的表達式可以寫成y1＝2（x－h(huán)）2－2（h是常數(shù)）的形式，求b＋c的最小值.

分析：由題意，得y1＝2x2－4hx＋2h2－2，又因為y1=2x2+bx+c，所以b＝－4h，c＝2h2－2.于是b＋c＝2h2－4h－2＝2（h－1）2－4，因此當h＝1時，b＋c取得最小值，且最小值是－4.

點評：本題考查了二次函數(shù)的兩種不同表達式，通過將頂點式y(tǒng)1＝2（x－h(huán)）2－2化為一般式y(tǒng)1＝2x2－4hx＋2h2－2后，分別得到b，c關(guān)于h的表達式，建立b＋c的數(shù)學模型，則b＋c是h的二次函數(shù)，即b＋c＝2（h－1）2－4，且該二次函數(shù)開口向上，所以當h＝1時，b＋c的最小值是－4.

2.3 代數(shù)說理型

案例3 （2023＼5重慶）如果一個四位自然數(shù)abcd的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足ab-bc=cd，那么稱這個四位數(shù)為“遞減數(shù)”.例如：四位數(shù)4 129，∵41-12＝29，∴4 129是“遞減數(shù)”.又如：四位數(shù)5 324，∵53-32＝21≠24，∴5 324不是“遞減數(shù)”.若一個“遞減數(shù)”為

a312，則這個數(shù)為______.

分析：根據(jù)遞減數(shù)的概念，列方程求a的值.由

題意，可得10a＋3-31＝12，解得a＝4，所以這個數(shù)為4 312.

點評：在初中數(shù)學中，圖形與幾何領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明內(nèi)容，因此在日常教學過程中，要增強代數(shù)推理教學的意識，讓學生進一步提升符號意識，形成用數(shù)學符號論證問題的習慣，養(yǎng)成有條理做事的習慣.

3 教學啟示

3.1 代數(shù)推理教學要關(guān)注階段性與合理性

代數(shù)推理的教學要求階段性與合理性相結(jié)合.其中，階段性是指根據(jù)學生的思維與認知，逐步提高要求.如：七年級側(cè)重數(shù)式或圖形，從特殊到一般尋找規(guī)律，代數(shù)運算的說理；八年級側(cè)重從圖形出發(fā)或借助圖形直觀滲透代數(shù)推理，結(jié)合圖象，用代數(shù)說理方式研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)；九年級側(cè)重以代數(shù)式或關(guān)系（方程、不等式、函數(shù)）為載體，通過歸納與演繹、分析與綜合研究代數(shù)推理.合理性是指合理有度，即關(guān)注代數(shù)推理教學內(nèi)容、范圍和思維要求，不揠苗助長，圍繞代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)性質(zhì)、基本數(shù)式運算和基本數(shù)學思想方法設(shè)計教學.

在教學過程中，需要關(guān)注學生認知發(fā)展階段、教學內(nèi)容層次劃分、推理步驟的合理性、邏輯思維的培養(yǎng)、教學方法的適應(yīng)性、反饋與評估的及時性以及情感態(tài)度的引導等方面，以提高代數(shù)推理教學的效果和質(zhì)量.

3.2 代數(shù)推理教學要關(guān)注抽象性與直觀性

由于代數(shù)推理具有抽象性，因此在日常教學中要以現(xiàn)實為背景，借助經(jīng)驗加深對代數(shù)推理的理解，借助圖形（圖象），通過直觀尋求代數(shù)推理方法，從圖形（圖象）出發(fā)，將圖形問題代數(shù)化，將代數(shù)推理結(jié)論借助直觀解釋，使抽象性與直觀性相結(jié)合.

如講授“完全平方公式”時，借助多項式相乘的法則，從特珠到一般歸納推理得到完全平方公式，繼續(xù)因勢利導展開公式的代數(shù)推導過程，加強代數(shù)推理.同時通過幾何背景的構(gòu)造，加強學生對“完全平方公式”的理解.

通過深入理解抽象概念、引入直觀表示、結(jié)合圖形與符號、應(yīng)用實際案例、靈活運用教學策略以及保持抽象與直觀的平衡，這種平衡的教學方式不僅能降低學習難度，還能培養(yǎng)學生的抽象思維能力和空間想象力.要認識到代數(shù)推理的抽象性是其核心特征，但過于抽象的內(nèi)容容易使學生感到困惑.因此，教師應(yīng)引導學生從直觀感知出發(fā)，逐步深入理解代數(shù)推理的本質(zhì)，實現(xiàn)抽象思維與直觀感知的有機結(jié)合，提升數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力.

3.3 代數(shù)推理教學要關(guān)注差異性與合理性

代數(shù)推理的教學要根據(jù)學生認知和思維差異，因材施教，不能“一刀切”；要回歸初中數(shù)學基本要求，緊扣初中數(shù)學教學內(nèi)容，鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，提升數(shù)學探究、思維和表達能力，滲透數(shù)學基本思想方法，實現(xiàn)代數(shù)推理的有效教學，不能“為推理而推理”，而應(yīng)是差異性與合理性相結(jié)合.

如講授“因式分解”時，要關(guān)注學生的基礎(chǔ)差異和思維差異.由于學生對因式分解的基本概念掌握程度不同，在推理教學時要設(shè)計不同維度的練習題，以適應(yīng)不同學生的需求.不同的學生在解決問題時可能采用不同的思維方式，推理時需引導他們討論不同方法的優(yōu)缺點，以培養(yǎng)學生的多元化思維.另外，要關(guān)注方法和邏輯的合理性，在因式分解中，存在多種方法，如公式法、分組法等，不同的方法可能適用于不同的多項式.要引導學生理解在因式分解的過程中，每一步都需要有明確的邏輯基礎(chǔ).關(guān)注差異性與合理性是代數(shù)推理教學的關(guān)鍵所在.只有充分考慮學生的個體差異和實際需求，選擇合適的教學內(nèi)容和方法，注重培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，才能提高代數(shù)推理教學的質(zhì)量和效果.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022，8.