數學建模教學的實踐與思考

何紅清

新課改對初中數學教學提出了新的要求，更加重視對學生學習能力，以及靈活利用所學知識解決實際問題的能力的培養.由于初中階段數學的學習內容更加豐富、多元，學習難度加大，為了讓學生解決實際問題的能力得到提升，有必要引入數學建模，使學生具備更好的數學模型意識，有利于激發學生學習數學的興趣和主動性，同時通過學生對知識的靈活運用，實現創新能力與學習能力的提升.

1 初中數學建模教學的意義

數學建模教學可以使學生學到有用的數學，提高對生活中的數學的理解和運用.大多時候我們的數學教學注重的是學生知識與思維的練習，而忽略了對學生運用數學解決實際問題的能力的培養，從而導致學生花大量的時間學習數學知識及方法，但在生活中不會加以運用或根本用不上.

數學模型思想是數學學科的重要思想，是提高學生分析和解決實際問題，強化應用意識的重要的、有效的思想方法［1］.數學思想方法的滲透應該始終與課堂教學緊密結合起來.

建模教學可以培養學生多方面的能力.（1）表達能力.把實際問題用數學語言表達出來轉化為數學問題，對學生的表達能力是一種鍛煉和提高.（2）運用數學的能力.體現在用所學的數學知識解決實際問題.（3）合作交流的能力.對于一些較為復雜的實際問題，往往需要以小組合作的方式進行，需要小組成員分工合作、相互交流、密切配合.這種合作交流的精神與團隊意識也是社會生活中所必須的.

數學模型就是對實際問題的一種數學描述.數學模型就是通過抽象、簡化、假設變量等數學方法，把實際問題的主要變量關系用適當的數學工具描述出來.建立數學模型的過程稱為數學建模.它主要有以下三個步驟：（1）根據實際問題建立相應的數學模型；（2）對數學模型進行數學上的推理、運算，求出結果；（3）把結果反饋到實際問題中，檢驗結果是否符合實際意義.

2 數學建模教學的實踐

數學模型思想的建立是學生認識和體會數學與實際生活關系的重要橋梁，也為解決現實問題提供了重要的理論依據.實際上是對學生數學應用能力的培養.在初中數學教學活動中，教師應采取有效措施，加強數學模型思想的滲透，激發學生的學習興趣，培養學生靈活運用數學知識解決實際問題的能力.下面就幾個主要的數學模型在教學中的應用來舉例說明，以作探討.

2.1 方程模型

方程是含有未知數的等式，是描述現實生活中等量關系的重要模型.解決方程問題的關鍵是找到等量關系，然后設定適當的未知數，最后檢驗解的合理性.

例1 有一列數，按一定的規律排列：1，-2，4，-8，16，……其中三個相鄰數的和為48，問這三個數分別是多少？這三個相鄰數的和是否可以是-768？說明理由.

分析：對于第一個問題可以通過列舉法把三個數16，-32，64找出來，但對于第二個問題則行不通.此時要分析這一列數的規律.

根據后面一個數是前一位數的-2倍，可設第一個數為x，則后面兩個數分別為-2x，4x.由三個數的和為48或-768，建立方程模型x-2x+4x=48或x-2x+4x=-768，解得x=16或x=-256.

驗證結果發現，16在數列中，所以16，-32，64的和為48；而-256在數列中不存在，所以數列中任何三個相鄰數的和都不可能是-768.

根據實際情況提出問題，引導學生建立方程求解，并說明所構建方程模型的合理性和必要性.

例2 一艘小船在河里航行，小明坐在船頭看風景.一不小心，食物袋從船頭滑落水中，3分鐘后，小明才發現食物袋滑落水中，于是開船返回去追.試問小明需要幾分鐘才可能追上落水的食物袋？

分析：要解決這個問題，就要把它放在一個理想化的情形下——（1）水的流速、船速是均勻的.（2）食物袋沒有沉入水中，且食物袋在水面上與水的流速一致.分析船與食物袋之間的數量關系，利用路程=速度×時間，構造方程模型.

設追上食物袋的時間為t min，船的速度為a m/min，水的流速為b m/min.

（1）假設開始時船是順流航行，則船向前航行路程為3（a+b）m，食物袋向前航行路程為3b m，二者相距3a m，相對速度為a m/min，所以3a=at，t=3.

（2）假設開始時船是逆流航行，則船向前航行路程為3（a-b）m，食物袋向后漂流路程為3b m，二者相距3a m，相對速度為a m/min，所以3a=at，t=3.

所以小明需要3 min才可能追上落水的食物袋.

2.2 不等式模型

不等式是表達現實世界中不等關系的一種有效的數學模型.不等式模型可以有效解決現實生活中不需要精確值只需要大致范圍的決策問題.

例3 某平價商店經銷某種商品，商品進價為120元，售價為200元.為了促銷，商家決定打折銷售，為了使利潤不低于25%，問最多打幾折進行銷售？

分析：需要分析幾個量的數量關系.利潤=賣價-進價.不低于、至多、至少、不高于等等表示的是一種不等關系，所以此題應用不等式模型來求解.

設打x折，則200×x/10-120≥120×25%，解得x≥7.5，所以至多打7.5折.

對于這一類不等關系的問題，一般解題步驟是：先正確理解問題情境，分析其中的不等關系，然后設定未知數，列不等式（組）求解.

2.3 函數模型

函數是一種具有普遍意義的數學模型，是研究運動變化規律的數學模型.函數思維可以拓展學生對運動變化事物的研究空間，還可以發展與完善學生的認知結構，讓學生認識和體會現實世界中運動變化的普遍性和規律性.

例4 某商場將進貨單價為30元的小商品，按每件40元售出時，每天可以賣200件.如果每件漲價1元，日銷售量就要減少10件.那么該小商品如何定價，可以使每天獲得最大利潤？每天的最大利潤是多少？

分析：商品漲價后每件小商品利潤增加了，但銷售量減少了.售價和銷售量這兩個變量有某種內在的聯系.而總利潤與這兩個變量之間的關系構成了函數關系，因而建立二次函數模型.

設每件小商品的售價為x元，利潤為w元，則

w=（x-30）［200-10（x-40）］.

化簡，得w=-10（x-45）2+2 250.

當x=45時，w有最大值，且最大值為2 250.

所以，售價定為45元時，每天的最大利潤是2 250元.

運用函數模型分析變量之間的對應關系和變化規律，通過函數圖象和性質確定函數的變化規律和變化趨勢，是應用函數模型解決問題的重要方法.

2.4 概率統計模型

隨著信息技術的發展，數據已經成為人們日常生活中非常重要的一部分，在作決策時比以前更加依賴來自外界的信息.因此，統計與概率的知識和方法對大數據時代的人們而言是十分重要的.

例5 甲、乙、丙三位球迷爭奪一張球票.三人決定用抓鬮的方式來決定：用三張一樣大小的紙，一張寫上“票”字，另外兩張空白，然后捏成一樣大小的紙團.誰抓到票字的紙團，誰得球票.誰先抓？先抓是不是機會更大些？

分析：可以假設一人先抓，把各種可能性都列舉出來，再分析誰的機會大.

畫樹狀圖，如圖1所示.

一共有6種可能性，甲、乙、丙的勝出的概率相同，所以不管誰先抓，機會一樣大.

中學階段，統計與概率模型的研究有助于學生理解和表達事件發展的規律，感知數據分析的重要性.目的在于培養學生感悟數據中蘊含的事物特征，將數據作為判斷和預測的依據，形成數據意識與數據觀念.

3 教學反思

數學學科是義務教育階段的重要科目之一，通過有效教學，可以提升學生的數學思維，培養學生的理性邏輯能力.而在數學教學中，運用數學模型思想，有利于幫助學生構建數學知識網絡，促使學生運用模型思想解決問題，從而全面提升學習能力［2］.

教師在滲透數學建模思想的過程中，要根據學生的實際情況，采取適當策略.

（1）充分利用教材資源，應用數學建模思想.義務教育階段教材中的許多知識情景問題和數學活動問題都是很好的教學資源，這些問題需要結合數學思想和方法來教學.

（2）根據知識點，列舉生活中應用數學建模思想的問題.大多數學生往往對枯燥的數字或數學問題興趣不大，但對一些生活實例比較感興趣，在解決實際問題的過程中體會到學以致用的快樂和成就感，提高學習數學的興趣.

（3）通過創設問題情境，激發學生學習的興趣.教師可以充分利用教材內容，將一些枯燥的數學問題改編成適合學生的生活實例，在調動學生積極性的同時，滲透數學建模思想.

（4）注重跨學科的聯系.初中數學中有部分題目與物理、化學有聯系.如自由落體，入射角、反射角，濃度等問題，學生理解有困難，需要教師及時講解.

總之，教師在教學過程中應積極滲透數學建模思想和培養學生的模型意識.這樣既可以調動學生的積極性和主動性，提高學習興趣，也可以培養學生分析問題和解決問題的能力，對培養學生的邏輯思維、創造性思維大有益處的.

參考文獻：

［1］李海波.初中數學“模型建構”的實踐與思考［J］.數學教學通訊，2022（5）：28-29.

［2］趙方欣.教學環節中數學模型思想的巧妙滲透［J］.新課程教學（電子版），2021（5）：29-30.