拋物線中“玃A+kPB”型最值問題的探究與思考

王飛

最值問題長(zhǎng)期以來都是初中數(shù)學(xué)各種考試中常見的題目類型，主要以壓軸題的方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行考查.最值問題所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，同時(shí)具有較強(qiáng)的靈活性，因此學(xué)生對(duì)這類問題的求解往往存在一定的困難.其中，拋物線與最值問題有較為密切的聯(lián)系，以拋物線為載體設(shè)置最值問題是近幾年常見的一種考查方式.通過對(duì)最值問題的研究，可以發(fā)現(xiàn)“PA+kPB”型最值問題是初中數(shù)學(xué)中常見的一種最值問題，所以有效提升學(xué)生解決這類問題的能力是提升學(xué)生數(shù)學(xué)水平的關(guān)鍵.

1 “PA+kPB”型最值問題

“PA+kPB”型最值問題是指定點(diǎn)A，B到動(dòng)點(diǎn)P所形成的線段和的最值問題.如果k=1，則可以將這類問題轉(zhuǎn)化為PA+PB的最值問題；而當(dāng)k＞0且k≠1時(shí)，則需要根據(jù)題意來進(jìn)行相關(guān)的構(gòu)造轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解.同時(shí)在“PA+kPB”型最值問題中，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡可以將其分為“胡不歸”問題和“阿氏圓”問題.其中，“胡不歸”問題是指點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，這類問題可以通過構(gòu)造三角函數(shù)的方式來求解；“阿氏圓”問題則是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，可以通過構(gòu)造相似進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

本題是以拋物線為基礎(chǔ)構(gòu)建的“阿氏圓”問題，在解決問題的過程中需要通過構(gòu)建相似關(guān)系對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.本題利用線段的比值關(guān)系進(jìn)行相似三角形的構(gòu)建，從而得到QN=22QB，將22BQ+B′Q轉(zhuǎn)化為NQ+B′Q，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的求解.通過這個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn)，掌握這類問題的解題模型之后，在解題過程中正確進(jìn)行相似的構(gòu)建是非常關(guān)鍵的，如何快速根據(jù)題目的相關(guān)信息構(gòu)建相似是最主要的問題.因此，教師在“阿氏圓”問題的教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握問題模型，還要教會(huì)學(xué)生如何快速構(gòu)建相似三角形，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力.

4 教學(xué)反思

通過上述兩個(gè)例題的解題分析可知，拋物線中的“PA+kPB”型最值問題通常可轉(zhuǎn)化為“胡不歸”問題或“阿氏圓”問題.解題過程中要

充分利用幾何知識(shí)與拋物線的相關(guān)性質(zhì)通過數(shù)形結(jié)合構(gòu)建對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.因此，教師在教學(xué)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生掌握這類問題的數(shù)學(xué)模型，將“PA+kPB”問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型問題，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.

同時(shí)，通過例2可以發(fā)現(xiàn)，在掌握這類問題數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，還需要掌握相似的構(gòu)建方式，才能快速實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的解決.所以在教學(xué)中需要通過典型例題對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面能力的培養(yǎng).通過解題訓(xùn)練，學(xué)生能夠在解題的過程中掌握構(gòu)建相似三角形的關(guān)鍵，當(dāng)然這里的解題訓(xùn)練不能采用題海戰(zhàn)術(shù)的模式，而是需要通過如例題1～2這樣的經(jīng)典例題進(jìn)行練習(xí).同時(shí)，在練習(xí)過程中教師要及時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況對(duì)學(xué)生的解題思路進(jìn)行引導(dǎo)，從而讓學(xué)生能夠掌握“PA+kPB”型問題的構(gòu)建策略.

綜上所述，本文通過“胡不歸”問題和“阿氏圓”問題來對(duì)拋物線中的“PA+kPB”型最值問題的求解策略進(jìn)行了說明.通過這兩類問題的解題分析可以發(fā)現(xiàn)，掌握“PA+kPB”型最值問題的數(shù)學(xué)模型是解題的基礎(chǔ)，而掌握有效的構(gòu)建策略則是解題的關(guān)鍵.因此，教師在這類問題的教學(xué)中需要從以上兩個(gè)方面入手對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到有效的提升.