一題一課：將思維引向深處

居素琴

1 一題一課的概述

所謂“一題一課”就是指教師深度研究一道試題或一個材料，充分挖掘或者拓寬其中隱含的學科本質，并引導學生在課堂教學過程中科學探究，以建構新知、生長能力、發展素養.“一題一課”是夯實“四基”及達成目標的有效教學方式，其最終目標是將學習者的思維引向深處，提升關鍵能力及發展數學核心素養.下面筆者以“正方形的性質”的教學為例，談談如何借助“一題一課”，將思維引向深處.

2 課前慎思

2.1 分析教材

本節課的知識基礎是平行四邊形、矩形及菱形.而實際教學過程中，我們常常發現在運用正方形性質解決實際問題時極易出錯，唯有深度鉆研教與學的方法，才能真正意義上將學生的思維引向深處，提升數學核心素養.“一題一課”教學方式的運用，可以在類比矩形、菱形的探究歷程之后達成知識與方法的融會貫通；同時，在對正方形本身特殊性質的探索中掌握探究幾何圖形的一般路徑，培養邏輯推理、類比遷移、直觀想象、數學抽象等數學素養.

2.2 教學目標

（1）在設問、追問、質疑等一系列活動中理性認識正方形，切實理解其概念本質；

（2）探究正方形的性質，掌握運用正方形性質解決問題的方法，并在探究中培養邏輯推理、類比遷移等能力，提升數學素養.

2.3 教學片段再現

片段1：有效導入，引發思考.

問題1 回憶已學的平行四邊形、矩形和菱形，三者共有的一個研究思路是什么？

追問：先分別說一說三者的概念，再說一說它們之間的特殊關系，最后想一想它們有何共同特點.

學生活動：學生在自主探究與合作討論后清晰生成了共同研究思路，即“概念—性質—判定—應用”.后續對于教師的追問，學生思考并探究這些概念的異同點，剖析概念的條件和結論，切實厘清了三個概念之間的關系.在這個過程中，學生還形成了概念思維導圖（如圖1），讓概念的關系得以動態呈現.

設計意圖：教師從學生的已有知識經驗著手，關注到當前學習內容的有機聯系，尤其是注重從數學教學建立內在聯系，而非牽強附會，讓昨天的舊知為今天的所學服務，有效促進概念的快速建構.

片段2：巧妙設問，概念建構.

問題2 從圖1中我們可以發現矩形與菱形均是特殊的平行四邊形，且沿襲平行四邊形的定義來定義了矩形與菱形.那么，這樣的研究思路對正方形有何影響，如何讓它成為更為特殊的平行四邊形呢？

追問：正方形與前面探究的矩形和菱形有何特殊關系？請試著以多種方式描述正方形概念.

學生活動：問題2拋出后，學生很快展開了一系列類比探究活動，最終嘗試組織語言進行表述，并在教師的點撥和啟發下規范而完整地描述了正方形的概念，生成了概念思維導圖（如圖2），此處極好地培養和發展了抽象概括能力.

進一步的追問引發了學生的深度思考，學生自然而然地以三種形式描述正方形的概念，并收獲了圖3所示的概念思維導圖，使得正方形的概念逐步清晰起來，為后續正方形判定方法的探究打下基礎.

設計意圖：學生在發現與解決問題的過程中，體會知識的探索，在冥思苦想中走向數學學習最興奮的時刻.這里，正是因為教師為學生提供了一種探究氛圍和學習機會，才使得他們大顯身手，在獨立探究、自主思考和主動參與中建構知識.

片段3：探索性質，思維生長.

問題3 在獲悉概念后，下一步你打算從哪些方面研究正方形？

問題4 正方形的性質有哪些？你準備怎樣研究？

追問：正方形還有什么性質？內部是否會出現特殊三角形？

設計意圖：在這一環節，教師繼續以問題＋追問促進學生思維的靈動生長.問題3則是引領學生在再回顧一般探究路徑后，根據之前的經驗直接將目標定位到對其性質的探究.問題4是需要學生基于矩形、菱形性質的研究經驗，本著從一般到特殊的探究思路多角度、多方位地探究正方形的性質.進一步地，教師以追問促進數學思維的深化，讓學生的思維自然生長.

片段4：解決問題，拓展認識.

問題5 如圖4，已知動點E在正方形ABCD的對角線BD上，試著說一說在動點E的運動中線段AE，CE的數量關系.

變式1 將題設中的“對角線BD”改為“對角線BD所在的直線”，其余不變.

變式2 如圖5，若動點E在邊BC的反向延長線上運動至點E1，使BE1=BD，連接DE1，試求∠E1的度數.

變式3 將變式2中的“邊BC的反向延長線”改為“邊BC的延長線”，其余不變.

變式4 如圖6，已知正方形ABCD的對角線BD上有兩點E，F，且BE=DF，連接AE，AF，CE，CF，試猜測四邊形AECF的形狀，并予以驗證.

變式5 如圖7，將變式4中的“對角線BD”改為“對角線BD的延長線”，其余不變.

延伸1：問題5中的題設不變，試求點E運動至何處，該正方形內部有兩個等腰三角形？

延伸2：已知正方形ABCD，能否在其內部找到一點E，在連接點E及各頂點后將該正方形分割為4個等腰三角形？若能，請作圖說明共有幾個這樣的點E；若不能，請闡明原因.

延伸3：將延伸2中的“內部”改成“外部”，其余不變.

設計意圖：從問題到變式旨在發散思維，在延伸拓展中培養高階思維能力.進一步地，教師以開放性的拓展題拾級而上地促使學生經歷觀察、探索、作圖、驗證等探究活動，獲得思維的進階.

片段5：課堂小結，概括深化.（略）

3 一題一課的教學反思

3.1 類比思維是激活數學思考、優化知識結構的內在活力

基于定義去構建研究幾何圖形性質的基本思路，可以引領學生層層遞進地有序研究.問題引領，學生思想上產生的自覺的類比思維才是激活數學思考、優化知識結構的內在活力.在本課中，正方形的定義是類比矩形和菱形得到的，正方形的性質亦是如此.就這樣，學生在類比思維中砥礪前行，積極主動地建構和生成，極好地孕育了數學核心素養.

3.2 一題一課是刺激思維進階、提升核心素養的不竭動力

變式是“一題一課”中的重要一環.精選好題進行變式訓練，不僅可以促進知識的鞏固與整合，還能促進完整認知體系的建構，更重要的是刺激思維的進階，提升學生的數學核心素養.本課以動點問題為例進行變式，促進了正方形性質的鞏固，并指引學生發現了“變中的不變”.之后的延伸題則引領學生獲得數學探究的必要能力與方法，極好地發展了幾何直觀、數學推理等關鍵能力.

總之，想要將學生的思維引向深處，讓學生的數學學習更有思維，需要順應學生的思維，從一題一課展開，引導學生深度探究.在這個過程中，學生不僅能習得知識，發展主動探究的意識和精神，還能實現學力的生長，發展數學核心素養.