關注概念生成，培養數學素養

杜瑩

1 問題提出

章建躍博士指出，數學核心概念的理解對數學素養的提高有關鍵作用，能從與核心概念的聯系作出具體分析，并給出不同角度解釋概念的具體例子是數學素養高的具體表現.因此，要發展數學能力需要著重指導學生對數學核心問題的探索與對數學核心概念的理解.

數學概念是數學思想的凝結，數學思想是數學概念的升化.數學概念的教學通常要經歷觀察與實驗、聯想與類比、比較與分類、抽象與概括、記憶與應用等階段.函數作為數學的核心概念，其教學意義非同一般，筆者以一節“函數”概念研討課的教學設計為例展開論述“注重概念生成，培養學生數學素養”的具體做法.

2 教學設計

2.1 創設情境，提出問題

觀看短視頻，揭示萬物皆變，變化過程中往往蘊含著量的變化，把握了變量之間的關系就能掌握變化規律.

設計意圖：通過大自然中的實例，學生能夠感受到萬物皆變.利用2020年新冠疫情每天新增確診人數的短片勾起學生的回憶，引導學生關注數據的變化.通過社會熱點及每位學生感同身受的生活實例，復習“變量”的內容，提出本節課要學習的內容，引起合理的注意.

2.2 觀察思考，分析變化

問題1 在以下變化過程中，各有幾個變量？

（1）全國同胞捐贈醫療急需物資馳援武漢，貨車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛時間為t h，行駛距離為s km.

（2）每包口罩售價為20元，某口罩制造商每天售出x包，該日銷售收入為y元.

（3）水中漣漪，圓形水波慢慢擴大，圓的半徑為r，面積為S.

（4）用10 m長的繩子圍一個矩形，矩形的一邊長為x m，另一邊長為y m.

追問：你能用其中一個變量表示另一個變量嗎？

2.3 觀察思考，分析歸納

追問：在（1）這個變化過程中，s是怎樣隨著t的具體變化而變化的呢？完成表1，用數值加以說明.

師生活動：教師引導學生取定t的一些值，計算s的對應值，通過動畫展示，并填寫表格.引導學生對變化過程（2）（3）（4）作出類似于變化（1）的變量關系分析，小組展示，并總結表述.

問題2 請用自己的語言說說這些變化過程中變量之間關系的共同特征.

2.4 觀察思考，再次歸納

問題3 在我國人口數統計表（PPT呈現）中，人口數隨著年份的變化而變化，這個變化過程符合剛才總結的共同特征嗎？

問題4 2020年初我國新冠新增確診統計圖中，新增確診人數隨著日期的變化而變化，這個變化過程符合剛才總結的共同特征嗎？

問題5 上述實際問題中，有兩個變量，當一個變量確定后，可以通過關系式、表格、圖象確定另一個變量唯一的值.你能歸納出它們的共同特點嗎？請大家相互討論.

師生活動：學生分組討論，歸納出如下共同特征——（1）在一個變化過程中；（2）有兩個變量；（3）當一個變量取定一個值時，另一個變量有唯一確定的值與之對應.最后，整理出函數的概念.

追問：其實函數就是變量間的一種對應關系，那么s=120、人口數為13.71億、新增確診人數為14 109例是什么含義？

師生活動：學生發言，生生互評，并順勢得出函數值的概念.

問題6 比較問題1、問題3與問題4，在一個變化過程中獲取函數值的方式有哪些？

師生活動：學生觀察思考，總結函數的不同表現形式.

觀看視頻，了解函數的發展史.

問題7 請用函數的定義闡釋問題1中的4個變化過程.

2.5 初步應用，鞏固知識

練習1 下列式子中的y是x的函數嗎？說明理由.

（1）y=3x－5；

（2）y=x－2x－1；

（3）y=x－1；

（4）|y|=x.

練習2 調出今天早上7時至下午4時的氣溫變化圖，氣溫是時間的函數嗎？

練習3 圖1各曲線中哪些表示y是x的函數？

練習4 請舉一個函數的實例.

2.6 小結

（1）請說說函數的概念和表示方法；

（2）從數學思想方法角度，說說本節課你的收獲.

2.7 布置作業

課本習題19.1第1～5題；舉一個函數的實例.

3 教學感悟

3.1 精心創設情境，提高觀察能力

數學概念不是憑空想象出來的，它來源于生活，脫胎于實際需要，抽象化而得來，比如函數，也有一些數學概念是從既有的數學概念衍生或發展而來.由此可見，數學概念和生活密切相關，教師精心創設問題情境，可以讓學生通過現實的例子初步形成感性認識.

本節課情境導入設計的4個變化過程，具有以下三個特點：（1）時效性的情境讓課堂一開始便具有代入感，也是家國情懷的無聲滲透，體現數學教學的德育作用；（2）貼近生活、簡單具體的問題，問題來源于生活實際，運算簡便，便于學生觀察、思考和計算，節省計算和思考的時間，充分提高課堂效率；（3）形式多樣化，

有行程問題、銷售問題、面積和周長問題，也有正比例函數、二次函數和一次函數的實例.多樣的實例可以凸顯函數概念的本質特征，淡化非本質特征.

創設好問題情境，為學生的學奠定基礎，讓學生在具體的實例中觀察，發現問題，形成認識.觀察能力是科學探究與發現的基本能力，巴甫洛夫曾將“觀察，觀察，再觀察”寫在實驗大樓正面.所以，在進行數學概念教學時，教師要精心設計情境，為學生觀察提供有效基礎，為學生觀察能力的提升創造契機.

3.2 體驗與反思并行，提升思維能力

數學概念的形成和發展不是一蹴而就的，是一個動態過程，數學思想在這些探索與發現過程中熠熠生輝，正是數學魅力之所在，所以教師在組織概念教學時不可和盤托出，應根據教學需要有選擇地還原其發展歷史，讓學生體驗知識的形成過程，從中體會數學思想.函數發展在300年的時間長河中，經過多位數學家的不懈探索和反思逐漸發展完善.函數概念從依賴到對應，由圖象到表達式，表達形式逐步廣泛和豐富，其發展與完善的過程在課堂教學中再現，讓學生更深刻地理解函數概念的內涵和本質.

通過視頻整體把握函數發展歷史，引領學生經歷概念的發生發展過程，幫助學生深刻理解概念，形成知識架構，培養嚴謹生動、廣泛深刻的思維品質.

3.3 優化問題設計，提升概括能力

該教學設計中有多個問題與追問，問題具體、有梯度，給學生的觀察與思考指明方向，體現學生主體地位和教師主導作用.函數是一個非常抽象的概念，遵循人的認知規律，教師有必要提供大量具體的實例讓學生觀察，歸納概括它們的共同點即本質特征，才能較為準確地獲得函數的概念.因此，教師提問要明確、有層次，逐級深入，才能引導學生的思維逐步深入概念的內核，準確把握知識內涵，這個過程也是鍛煉學生抽象概括能力的好時機.

3.4 注重概念應用，培養應用能力

數學概念的學習具有二重性的特征，概念的形成是由特殊到一般，其運用則表現為從一般到特殊.學生若能準確應用概念則一定是理解了該定義，因此應用練習是檢驗課堂教學效果的標準之一.本“函數”教學設計的一大亮點在于讓學生舉函數實例，并表述分享.學生的回答有：每日測溫表，某位學生每日午測的體溫是時間的函數；物理書中的物體熔化的溫度隨時間變化的圖象，物體的溫度是時間的函數；地理課本中平均降水量隨緯度變化的圖象，平均降水量是緯度的函數；等腰三角形頂角為α，底角為180°-α2，底角是頂角的函數.學生列舉的都是身邊或已有知識的例子，還有多學科融合.學生不禁總結道“生活處處皆函數”，也充分感受到數學廣泛的應用價值.學生列舉的這些實例形式多樣，有表格、圖象和解析式，表述準確，實現了理解函數概念的目標，并發展了學生應用知識和遷移運用的能力.

常言道：“溫故而知新”，“學以致用”.進行數學概念教學時，適當的鞏固練習、辨析運用和設計的開放性問題，是對學生學習情況的摸底，也是對教學效果的檢測，更是讓課堂教學在各個環節實現教學目的，深化概念理解，使思維更具靈活性和廣泛性，培養遷移和應用數學知識的能力.