“一題一課”型微專題課的教學與思考

陳晨 趙軍 徐琳琳

“一題一課”是指教師通過對一道題或一個材料作深入研究，挖掘其內在的學習線索和數學本質，自然、合理和有序地組織學生進行相關的數學探究活動，以達成多維目標的過程［1］.

“圓”是初中幾何中一個重要的章節，和圓有關的問題中難度較大的要屬“隱圓問題”，究其原因在“隱”字上.學生看不到動點的運動軌跡，很難解決好此類問題，因此教師需要結合數學理論引導學生看清它.筆者擬借助“一題一課”授課方式，帶領學生對“隱圓問題”進行分類研究，幫助學生歸納總結.

1 教學目標

（1）了解“隱圓問題”的常見類型及解決方法，為后期學習打下基礎；

（2）通過“一題一課”的教學方式，培養探究和解決問題的能力.

2 教學過程

2.1 前置問題

如圖1，已知⊙O與圓外一點P，求作點P到圓上最近的點A和最遠的點B，請作圖說明并證明.

分析：通過對圓外一點到圓上的最短距離和最長距離的證明，歸納它們的計算公式，為后面例題的講解打下基礎.證明所得的結論，對解決“隱圓問題”中的最大（小）值非常實用.

解析：如圖2，設A′是⊙O上任意一點，r為⊙O的半徑.

在△OA′P中，由

OP

OP－OA′

因為OA=OA′，所以

OP－OA

所以A是⊙O上距離點P最近的點，且最近距離=OP-r.

如圖2，在△OA′P中，因為

OP+OA′>A′P，OA′=OB，所以

OP+OB>A′P，即BP>A′P.

所以B是⊙O上距離點P最遠的點，且最遠距離=OP+r.

2.2 模型探究

第一類模型：“定點+定長=定圓”.

模型依據：根據圓的定義，聯系“到定點的距離等于定長的點的集合是圓”.

模型重現：如圖3，已知線段AB和點O，試在平面內找到符合條件的所有點M，使得MO=AB.（點M的軌跡就是以點O為圓心，AB長為半徑的⊙O，如圖4.）

例1 如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB的中點，F是邊BC上任意一點，將△EFB沿著EF所在的直線折疊得到△EFB′，連接B′D，求B′D的最小值.

分析：這是一個“定點+定長=定圓”的問題，經過分析首先引導學生使隱圓的題顯出“圓”形，其次考慮求最小值，最后套用“DE-r”求解即可.

解：如圖6，因為點B到點E的距離不變，所以點B′的軌跡為以點E為圓心，EB長為半徑的圓弧.

因此可得DB′最小值=DE-EB=22+62－2=210－2.

變題1 如圖7所示，正方形ABCD的邊長為4，將長為4的線段EF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動（即兩個端點始終落在正方形的邊上）.點E從點A出發，按逆時針方向滑動一周，在整個過程中，求線段EF的中點M所經過的路線圍成的圖形面積.

分析：此題的解題關鍵是畫出點M的運動軌跡，再分析其圍成圖形的特點，最后計算面積即可.

解：如圖8，點M運動所經過的軌跡圍成的圖形是正方形挖去4個14個圓.因此，所圍成的圖形面積是16－4π.

變題2 如圖9，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，現有一條長為4的線段EF，緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），點E從點A出發，按逆時針方向滑動一周.在整個過程中，求線段EF的中點M所經過的路線圍成的圖形面積.

分析：此題也是先畫出點M的運動軌跡，再分析其圍成圖形的特點，最后計算面積即可.

解：如圖10，點M運動所經過的軌跡圍成的圖形還是矩形挖去4個14個圓，因此所圍成的圖形面積是24－4π.

第二類模型：“直徑+直角=定圓”.

模型依據：根據圓周角定理的推論，尋找“90°的圓周角所對的弦是直徑”.

模型重現：如圖11，已知線段AB=4，試在平面內找到符合條件的所有點P，使得∠APB=90°.（如圖12）

例2 如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是一個動點，且AE⊥BE，求線段CE的最小值和最大值.

分析：這是一個“定長（直徑）+定角（90°）=定圓”的問題，首先還是讓“隱圓問題”顯出“圓”形，其次考慮求最小值和最大值，最后分別套用DE-r和DE+r即可.

解：如圖14，由∠AEB=90°，可知

點E在以AB為直徑的⊙O上.

故CE最小值=CO-r=210－2；

CE最大值=CO+r=210+2.

變題1 如圖15所示，正方形ABCD的邊長為2，若點E從點B運動到點C，同時點F從點C運動到點D，且BE=CF，AE與BF交于點M.（1）求點M的運動軌跡長；（2）求MC的最小值.

分析：這里聯系了正方形的“十字架”模型［2］，容易證明BF⊥AE，從而得到點M的運動軌跡是圓弧，再套用公式求最小值.

解：（1）如圖16，在

正方形ABCD中，有

AB=BC，∠ABC=∠C.

又BE=CF，所以

△ABE≌△BCF，則

AE=BF.

易證AE⊥BF，則點M的軌跡是半徑為1的14圓弧，所以l=90×π×12180=π2.

（2）取AB中點S，則MC最小值=SC－r=5－1.

變題2 如圖17，正方形ABCD邊長為2，若點E在線段CB延長線上任意移動，點F在線段DC延長線上任意移動，且BE=CF，AE與BF交于點M.（1）求點M的運動軌跡長度；（2）求MC的最小值.

分析：本題還是聯系正方形的“十字架”模型，易證直線BF和AE是垂直關系，從而得到點M的運動軌跡是圓弧，再套用公式求最大值.

解：（1）如圖18，證明過程同變題1，點M的軌跡是半徑為1的34圓弧，

則

l=270×π×12180=3π2.

（2）取AB中點S，MC最大值=SC+r=12+22+1=5+1.

第三類模型：“定弦+定角（非直角）=定圓”.

模型依據：根據“同弧所對的圓周角相等”及“圓的內接四邊形對角互補”得到圓.

模型重現：如圖19，已知AB=4，試在平面內找到符合條件的所有點P，使得∠APB=60°.點P的軌跡如圖20所示.

例3 如圖21，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E，F，G分別在邊AB，AD，BC上，∠FEG=60°，

EF=EG=22，現想從矩形中剪出一個四邊形EFMG，使得∠FMG=60°，求四邊形EFMG面積的最大值.

分析：這是一個“定長（弦）+定角（60°）=定圓”的問題，首先讓隱圓問題顯出“圓”形，其次考慮求最大值即可.

解：如圖22，由∠FMG=60°知點M在以O為圓心，OF為半徑的⊙O上.要使四邊形EFMG的面積最大，則點M在點O的正上方.

所以S四邊形EFMG的最大值為S△EFG+S△FGM=4+43.

變題 如圖23，正三角形ABC邊長為2，若點D從點B運動到點C，點E從點C運動到點A，且BE=AD，AD與BE交于點M，求點M的運動軌跡長度.

分析：仿照正方形的“十字架”模型設計此變題，希望學生能融會貫通.

解：如圖24、圖25，類似例3，可知點M的軌跡是半徑為233的13圓弧，l=120×π×233180=43π9.

2.3 課堂小結

解題步驟：現“圓”形，找最值，套公式.

解題方法：勤作圖，聯模型，重細節.

解題思想：分類討論，數形結合，轉化類比.

3 教學反思

（1）“一題一課”讓知識整合起來

“隱圓問題”的特點是知識零碎，雖然各模型之間是相互關聯的，但學生學習起來卻很難一手抓.因此，教師的教學一定要“化零為整，突破難點”，這樣學生的學習才能更加系統，教學效果也能更佳.

（2）“一題一課”讓圖形關聯起來

本教學課例中，筆者在設計變題中，聯系了“瓜豆原理”“將軍飲馬模型”“十字架模型”和相似三角形等.這些關聯知識點，可以讓靜態的圖形模型靈動起來.

（3）“一題一課”讓學習輕松起來

在現實解題時，學生沒有幾何畫板，所以根本無法動畫演示整個圖形的形成過程.這就需要教師教導學生進行特殊值的選取，然后連線找到點的軌跡.適當的時候，幫學生總結解決“隱圓問題”的步驟，即現“圓”形，找最值，套公式.

但教師也需清楚，所有的總結不是牽絆學生的思考，而是為了更好地引領學生去探索難題的解題方法，也希望學生能結合教師的講解總結出自己的心得.

參考文獻：

［1］張哲.中考微專題復習課的設計與思考——以“隱圓問題”為例［J］.中學數學研究，2022（3）：9-11.

［2］陳晨，朱建良.巧用題源 多向變題——一道教材習題的改編及反思［J］.數學通訊，2022（7）：48-50.