玩轉體積測量之項目式學習教學模式探究

蔣鼎年

摘要：體積測量項目式學習之前，學生已經學習過“密度”“浮力”等計算體積的物理知識，具備完成體積測量項目學習任務的知識儲備.通過計算及估算，引導學生發現祖暅原理，同時在此基礎上，引導學生證明球體體積公式.學生在學習過程中，體驗數學知識間環環相扣的邏輯關系，感受數學美和中華民族深厚的文化內涵，培養數學建模能力、邏輯推理能力和愛國情懷.

關鍵詞：人體體積；祖暅原理；球體體積

1 學習內容分析

“體積的測量”建議作為人教版（2013年）九年級上冊第二十四章“圓”的內容完成后的數學拓展課.本節課教學內容涉及到八年級物理中的“密度”“浮力”和八年級數學的“勾股定理”等基本知識，在此基礎上螺旋上升到“祖暅原理”的發現和球體體積公式的證明，是一節多學科融合的數學項目式教學課，是以體積為基礎玩轉數學的深化和拓展.

2 教學目標分析

根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》的要求，結合九年級學生的認知心理特征，本節課教學目標定為：

（1）學會調動多學科知識儲備，經歷多種方法探究自己身體體積的過程，感受學科知識間的融合應用，掌握利用所學知識解決身邊問題的能力.

（2）通過小組合作，從估算自己身體體積的過程，探究發現并掌握祖暅原理，體會知識間的邏輯聯系，感受中華民族深厚的文化內涵.

（3）通過小組合作探究或教師引導，在祖暅原理的基礎上，經歷球體體積的證明過程，感受數學的嚴密性和關聯性，在此探究過程中學會勤于思考、樂于合作、善于發現、善于總結等數學品質.

3 教學過程設計

3.1 問題引入

用盡可能多的方式測量自己身體的體積（包括估算），并在小組內交流，談談自己的感受.

設計意圖：通過課前設置的研學問題，引導學生調動自己的知識儲備，尋找測量自己身體體積的方式方法，體驗多學科知識融合運用的過程.不同層次的學生都會有自己的感受和發現，入手低，平臺廣，有充分的發揮空間.

3.2 測量自己身體體積的方法展示

方法1：結合物理知識，利用電子秤得到自身的質量為m kg，通過查閱資料得知人體的平均密度ρ=1.02 g/cm3，根據V=mρ，可準確計算出人體體積.

方法2：利用“當物體浸沒或懸浮在液體中時，V排=V物”的物理知識，將人體浸沒在容器中，并計算排出的水的體積，即可得到人體的體積.

方法3：以人體肚臍眼位置的橫截面面積S為參照基準（如圖1），乘人體身高h，以此估算人體體積V.

設計意圖：以小組為代表，展示測量自己身體體積的多種方式方法，讓學生感受同學之間的智慧以及學科知識的融合應用.

3.3 談感受

某學生：我在小組成員的幫助下，利用方法1，計算到我的體積是54 dm2；利用方法2，計算到我的體積是50 dm2；而利用方法3的操作方式，測量了我肚臍眼位置的腰圍和站立時相應高度的手臂的臂圍，將腰圍和臂圍類比為圓的周長可計算出橫截面面積，乘我的身高算出來的體積56 dm2.從中我發現與方法1的結果相比，方法2的計算結果誤差較大，反思的原因是方法2的操作過程中，溢出來的水難以完全收集，導致誤差較大；方法3的估算結果誤差較小，說明此方法具有一定的科學性，有研究價值.

方法1和方法2的優點是能準確計算出人體體積.缺點是：方法1需要通過查閱資料得到人體平均密度數據，才能計算出人體體積；而方法2需要用到容器、水、刻度尺等多種輔助工具.方法3的優點是計算方便，缺點是存在一定誤差.

設計意圖：總結歸納，感受方法3的科學性，為下一個探究任務作鋪墊.

3.4 觀察與思考

如圖2，兩摞硬幣都是40個規格一樣的一元硬幣，左邊為不規則幾何體，右邊為圓柱體，二者的高度一樣，每一個位置的橫截面積一樣，其體積也一樣.

發現：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則二者體積相等［1］.

引申出祖暅原理：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等［2］.（如圖3.）

設計意圖：通過方法3的估算和硬幣擺放的設計，引導學生探究發現祖暅原理，并介紹祖暅原理的歷史背景，讓學生感受中華民族深厚的文化內涵［3］，便于理解和接受“祖暅原理”，為下一個知識設計作鋪墊.

3.5 總結與思考

已知V圓錐=πr2h3，V圓柱=πr2h.下面我們推導半徑為R的球體的體積公式.

如圖4所示，若圓柱半徑為R，高度為R，根據與圓柱等底同高的圓錐（倒立放置）和半球同時在任意高度h位置橫截面的關系，容易證明“球體的橫截面面積+圓錐橫截面面積=圓柱的橫截面面積”［4］.

證明：

∵S球體橫截面=πr2=π（R2－h2）=πR2－πh2，S圓錐橫截面=πh2，S圓柱橫截面=πR2，

∴S球體橫截面+S圓錐橫截面=S圓柱橫截面.

∴S圓環橫截面=S球體橫截面.

根據祖暅原理，得

V半球=V圓柱-V圓錐=πR3－πR33=2πR33.

∴V球=2V半球=4πR33.

體積測量之項目式學習分成三個教學模塊，模塊一是測量學生自己的身體體積，通過小組合作探究和展示，引領學生經歷多種測量方法的對比和驗證，使學生感受項目式學習中，跨學科融合的特點，感悟不規則的圖形計算可利用可視化的數學方法去精確計算.模塊二是通過多個硬幣的不同疊放方式，利用數學模型形象直觀地引出“祖暅定理”，有效突破教學難點.模塊三是通過圓錐和圓柱的體積公式，利用前面的教學知識成功推導出球體體積公式.整個教學過程經歷了探究—猜想—發現—驗證的過程，是對體積測量之項目式教學的升華.

設計意圖：經歷利用祖暅原理探究球體體積公式的過程，在體積測量教學中培養數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養，感受數學美［5］.

4 教學反思

本節課以知識發展為基礎，以測量自己身體體積為支點，利用小組合作探究出祖暅原理，在此基礎上引導學生證明球體體積公式.將多學科知識融合應用，讓簡單問題螺旋上升，使得復雜的球體體積公式能在玩數學的過程中，層層遞進而導出，過渡自然，環環緊扣，邏輯性強，學生接受良好.

本節課，以玩轉數學之項目式教學形式展開，時間是最大的問題.要在課前布置研學問題，在課堂上引導學生進行小組展示和探究，最困難的是時間的把控.還有一點遺憾是圓錐的體積公式直接給出來了，若時間充足的話，先證明圓錐體積公式再升華到證明球體體積公式，邏輯性會更強.

數學分析貫穿整節課堂，邏輯性強，水平中下的學生會感到吃力，所以利用幾何畫板軟件進行建模演示，希望利用數學模型盡量化解難度.

參考文獻：

［1］張偉.祖暅原理的由來及證明［J］.重慶教育學院學報，2010（3）：113-115.

［2］袁志玲，陸書環.基于HPM的探究式數學教學設計——從祖暅原理與球體積談起［J］.中學數學教學參考，2007（21）：57-60.

［3］張楚廷.數學文化［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］柳笛.高中“數學史選講”的教學案例設計——古代數學瑰寶之求體積原理［J］.中學數學教學參考（上半月高中），2010（3）：16-18.

［5］盧軍萍.巧用“問題串”活化高中數學課堂教學［J］.數學教學通訊，2017（36）：59-61.