平行線間“百變蝴蝶型”面積問題的思考

張國川 任曉紅

為體現義務教育數學課程的整體性與發展性，根據學生數學學習的心理特征和認知規律，將九年義務教育數學學習時間劃分成四個學段.小學生在一所學校完整地學習完六年一貫制的整體課程，初高中由于升學原因導致中學課程割裂明顯.隨著國家對拔尖創新人才培養的探索，發現割裂數學學段之間的聯系對學生的發展極為不利，因此必須整合中學數學課程，有序推進一體化教學.本文中以一道中考數學壓軸題為例，談談如何根據一體化教學要求開展解題教學，依據不同學段學生認知水平的差異，給出同一試題的不同解法，引導學生用整體觀、統一觀正確看待中學數學一體化教學［1］.

3 解法提煉

本題在動點E移動的過程中，線段CE，BE的長度比恰好等于△ABE與△CEF的相似比，很自然聯想到線段的定比分點，因此得到解法1；運動的兩個三角形始終保持CE+BE=4，基于此可設單變量t，并用t表示線段CE，BE的長度，再聯立方程得到點F的坐標，從而求出△ABE與△CEF面積之和，得到解法2；本題是三角形面積問題，觀察圖形發現，求面積選用△ABE與△CEF的對頂角作為夾角比較合適，設∠AEO=θ，則夾角就是π－θ，計算面積時約去未知量θ實現設而不求，這是解法3.

解法1～3用坐標法求面積，將幾何問題代數化；解法4利用“共邊定理”和相似三角形的性質，是幾何直觀解法［2］；解法5基于《大學先修課程》用行列式計算三角形的面積［3］，根據解法1求出的三角形的頂點坐標，用行列式求面積水到渠成.

4 結束語

上述中考壓軸題很接地氣，非常契合當下高中教學的需要，以函數為載體，以拋物線為背景，設置“蝴蝶型”面積計算問題，充分考查學生分析問題和解決問題的能力.試題為學生進一步學習高中數學打牢基礎，避免初高中教學脫鉤，實現不同學段教學一體化.

文中給出的解法將高中直線平行的充要條件、基本不等式、三角形的面積等內容適時進行初等化處理，合理等價化歸.作為教學探索，筆者希望引導學生自主思考，從不同視角研究問題，聚焦幾何直觀等關鍵能力，發展分析問題和解決問題素養，創新性地給出問題解決的方案.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］任曉紅，張國川.高觀視角賞勝景 直觀教學能致遠［J］.福建中學數學，2022（4）：20-22.

［3］張國川，任曉紅.解三角形“圓”來如此精彩［J］.福建中學數學，2022（9）：38-40.