基于“做數學”理念 再識平行四邊形

王華中 顧香才

1 教學背景

八年級學生在平行四邊形的學習過程中，已經知道平行四邊形可以看成是一個三角形繞某一邊的中點旋轉180°所形成的中心對稱圖形，并在此基礎上按照“定義—性質—判定—應用”的過程完成了相關學習.但筆者感覺學生在學習過程中有一種被牽著鼻子走的感覺，并沒有打通平行四邊形的判定條件與中心對稱圖形之間的關系，對平行四邊形的判定條件缺乏理性的思考和本質的認知，只能稀里糊涂地走進記憶、模仿的巢臼.因此，教師有必要設計一些活動讓學生去操作、驗證、發現、感悟，進而從本質屬性上再識平行四邊形的判定條件.

2 教學過程

2.1 活動一：基于尺規作圖，積累活動經驗

尺規作圖，用不同的方法作一個平行四邊形.

預設：教師根據學生作圖情況主要展示平行四邊形的四種不同作圖方法，如圖1～4所示.

問題1 四種作法的依據分別是什么？

教學實施：教師引導學生分析尺規作圖的條件并分別回答作圖依據，目的是復習平行四邊形的四個判定定理（包含定義）.

問題2 連接圖中的對角線AC（如圖1～4），根據尺規作圖的條件，△ABC與△CDA全等嗎？如果全等，全等的依據分別是什么？

教學實施：根據作圖的條件，學生不難得到三角形全等的依據，其中圖4的證明可以轉化為圖2的證法，即先通過證明△AOD與△COB全等得到AD與BC平行且相等，從而與圖2的條件一致，圖4的證明也為后面活動三的探究積累了活動經驗.

問題3 因為△ABC≌△CDA，所以四邊形ABCD可以看成是由△ABC如何運動得到的？

預設：學生已有旋轉和中心對稱圖形的知識和學習經驗，所以不難得到四邊形ABCD可以看成是由△ABC繞AC的中點旋轉180°得到的中心對稱圖形，這樣相對的邊一定平行且相等，所以四邊形ABCD一定是平行四邊形.

教學說明：此活動以基本作圖為基礎，起點較低，在讓學生動腦、動手的同時，也讓平行四邊形“動”了起來，既復習了平行四邊形的判定方法，又從本質上理解了平行四邊形的判定條件，在實踐探究活動中將幾何直觀和邏輯推理相結合，發展推理能力.同時讓學生進行理性的思考——平行四邊形的一條對角線能夠將平行四邊形分割成兩個全等的三角形，這兩個三角形關于對角線的中點中心對稱.因此，我們可以得到，只要一條對角線把四邊形分成的兩個三角形一定全等，則該四邊形一定是平行四邊形，從而讓學生從中心對稱的本質屬性上重新認識平行四邊形的判定定理.

2.2 活動二：基于活動經驗，識別平行四邊形

問題1 尺規作圖，作一個“一組對邊相等且一組對角相等的四邊形”.

預設：學生根據平行四邊形的性質，可以想到作出一個平行四邊形即可滿足題目條件，如圖5所示.

問題2 作出的四邊形一定是平行四邊形嗎？為什么？

教學實施：教師引導學生重新審視題目的條件（AB＝CD，AC＝CA，∠B＝∠D），如圖5所示（注：∠B與∠D為銳角），對角線AC分成的兩個三角形△ABC與△CDA滿足的條件是“邊邊角”，所以兩個三角形不一定全等，其中一個三角形的形狀可以改變，根據活動一的經驗可知，構成的四邊形不一定是平行四邊形.

問題3 根據“邊邊角”的條件，你能想到如何構造反例嗎？

預設：根據前面學習全等三角形“SSA”的經驗，學生想到只需改變△ABC或△CDA的形狀，同時與另一個三角形滿足“邊邊角”的條件即可.

問題4 如何改變其中一個三角形的形狀呢？請拿出提前準備好的△ABC與△CDA紙片（∠B與∠D相等且為銳角），你能通過“剪拼”的方式，構造出反例嗎？

教學實施：本活動對學生的思維和動手能力要求較高，所以通過小組合作、交流的形式開展.教師應給予充足的時間讓學生去操作、交流、驗證，并在巡視過程中適時給予幫助，最后請小組代表匯報“剪拼”的方法，展示“剪拼”的過程，

如圖6所示.讓學生在探究活動中將幾何直觀和邏輯推理相結合，發展推理能力，從而達到降低尺規作圖難度的目的，體驗成功的喜悅.

問題5 你能通過尺規作圖構造出反例嗎？

教學實施：在“剪拼”的基礎上，學生想到只需在原來平行四邊形ABCD的基礎上，通過“邊邊邊”的條件作△AB′C與已裁剪出來的三角形全等即可.學生直接在給出的平行四邊形ABCD基礎上作出反例并板書展示，如圖7所示.

教學說明：通過剪紙、拼圖和尺規作圖等一系列“做數學”活動，促使學生去體驗、感悟構造反例的有效方法，再通過尺規作圖加深對這個假命題的認識，積累構造平行四邊形反例的經驗，滲透類比、化歸、轉化等數學思想，提升表達交流、分析和解決問題的能力，體驗成功的喜悅，增強自信心，體現了“做數學”的學習理念.這樣的活動對學生來說具有曲折性和創造性，既體現了數學的發現，又體現了數學的應用，在探究活動中培養應用和創新意識，提升幾何直觀、模型觀念、抽象能力與邏輯推理能力等數學素養.

2.3 活動三：基于本質屬性，再識平行四邊形

“一組對邊相等且一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形”是真命題還是假命題？如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請用尺規作圖作出反例.

為降低探究難度且方便學生分析與操作，將此問題用符號語言描述如下.

已知在四邊形ABCD中，AB＝CD，BO＝DO，四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？如果是，請給出證明；如果不是，請用尺規作圖作出反例.

教學實施：本活動的難點是沒有給出圖形，教師可以引導學生根據活動二中構造反例的經驗，先從平行四邊形出發去分析已知條件，發現構造的平行四邊形中仍然存在兩個三角形（△ABO與△CDO）滿足“邊邊角”的條件，當圖中∠AOB與∠COD為銳角時，與活動一的圖4進行比較可知，這兩個三角形不一定全等，

從而得到這是一個假命題，并作出反例，如圖8所示.

教學說明：引導學生從另一種中心對稱的角度（8字型全等）關注平行四邊形的本質屬性和圖形結構，滲透類比、轉化等數學思想，提升分析問題和解決問題的能力，體驗成功的喜悅，增強學習的自信心.

2.4 總結反思

通過本節課的學習，你對平行四邊形的判定條件有哪些認識？

教學說明：學生可以從三角形全等和中心對稱圖形兩個方面進行回答.只要學生回答得有道理，教師都應給予肯定.教師在學生回答的同時，完成如圖9所示的板書，歸納平行四邊形的判定條件與中心對稱圖形之間的本質關系.

3 幾點反思

3.1 重視對平行四邊形判定條件的理性思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求以中心對稱為主線，探究平行四邊形中各元素的位置關系及數量關系，在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上，經歷得到和驗證數學結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯，形成幾何直觀和推理能力.本節課的學習，可以讓學生清晰地知道研究平行四邊形的判定條件，其本質就是在探索“兩個三角形全等”的等價條件的指引下，利用中心對稱的圖形屬性，達到確定判定條件是否成立的目的.對平行四邊形判定條件的理性思考，為后面學習矩形、菱形、正方形的判定條件奠定了堅實的基礎.

3.2 重視“做數學”理念下學生核心素養的培育

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求學生經歷操作、實驗、觀察、思考、交流的過程，積累數學活動經驗；經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力.本節課基于“做數學”的理念，以探究活動的形式呈現，讓學生經歷“猜想—實驗—驗證—運用”的幾何研究方法，基于學生已有認知，引導學生在把握平行四邊形的圖形本質屬性的基礎上，主動建構知識、圖形間的從屬關系與邏輯體系，領會特殊事物的本質屬性與特殊性質的關系.這是發展學生幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養的必經路徑.

3.3 重視邏輯推理中證實與證偽的結合

長期以來，“證實—求真”是數學教學的基本邏輯.從邏輯推理的角度來看，傳授真理的整個教學過程就是演繹推理的表現，其指向是訓練學生的演繹推理能力，與合情推理毫無關聯，不能達到培養學生全面的數學推理能力的目標，顯然與當下新課程理念大相徑庭.

邏輯推理中證實與證偽的結合可以達到去偽存真的目的，既是認識論也是方法論，既是教師的一種信念也是教師的一種行為.在由知識為重轉向素養為重的課程改革推進中，數學教師應當樹立這種信念并將其內化為一種自覺行為，給學生提供一些多向思維的空間，給他們鋪設情感投入學習的路徑，給他們構筑核心素養發展的平臺，不要割裂“去偽存真”，這是數學教學的應然之路.

綜上所述，在數學課堂教學中應多一些實質性的操作、交流，多一些有助于思考的探究、實驗，多一些對知識的充分體驗和感悟，從而在“做數學”中培育學生的數學核心素養.