“教—學—評”一致性的“費馬點”模型及應用

韋鳳蓮

1 “教—學—評”一致性的理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》的前言中明確提出：注重實現“教—學—評”一致性.華東師范大學崔允漷教授認為“教—學—評”一致性有兩種理解：一種是對于教師而言，一種是對于教師與命題專家而言.本文中探討的是第一種，即在特定的課堂教學活動中，教師的教、學生的學以及對學習的評價應該與教學目標保持一致.此處的“評價”是指“促進學習的課堂評價”.教師在日常教學實踐中通過觀察、交流、作業、測驗等手段，收集學生的學習信息，為教和學的改進提供決策基礎.

2 “教—學—評”一致性的“費馬點”模型

用數學中著名的“費馬點”可以詮釋“教—學—評”一致性.“費馬點”是指位于三角形（三個內角均不大于120°）內且到三角形三個頂點距離之和最短的點，是法國數學家費馬在1640年給意大利物理學家托里拆利的一封信中提出的.其原理如下：

如圖1所示，△ABC的三個內角均不大于120°，P為三角形內一點，當點P與△ABC三個頂點的連線夾角均為120°時，PA+PB+PC的值最小.

分析：如圖2，將△ABP繞點B逆時針旋轉60°，得到△A′BP′，連接PP′，則△BPP′是等邊三角形，所以PB=PP′.當A′，P′，P，C四點共線時，PA+PB+PC的值最小，此時∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

崔允漷教授強調“教—學—評”應與教學目標保持一致，筆者認為教學目標可以理解為學科核心素養.筆者嘗試用“費馬點”模型來詮釋“教—學—評”一致性的實質，構建出如下理論模型（圖3）.

模型中的“費馬點”即學科核心素養，三角形的三個頂點分別為“教”“學”“評”，三者構成穩定的教學三角.從模型圖不難理解，只有當“教—學—評”與“核心素養”在同一直線上即保持一致性時教學才能少走彎路，以“最短路徑”取得效益最大化.筆者以魯教版八年級上冊“數據的離散程度”為例，闡述如何圍繞核心素養這一教學的“費馬點”，實現“教—學—評”一致性.

3 “教—學—評”一致性的“費馬點”模型應用實例

3.1 情境導入：感受數據離散程度的必要性

情境一：射箭時，新手成績通常不太穩定，小明和小華練習射箭，第一局12支箭射完后，兩人的成績如圖4所示.請根據圖中信息估計小明和小華誰是新手，并說明你這樣估計的理由.

情境二：學校要從甲、乙兩名跳遠運動員中挑選一人參加一項比賽.在最近的10次選拔賽中，他們的成績（單位：cm）如表1所示：

你認為哪一名運動員發揮更穩定？如果歷屆比賽成績表明，成績達到6.10 m就能打破記錄，你認為為了打破記錄應選誰參加這項比賽呢？

情境三：為了提高農副產品的國際競爭力，一些行業協會對農副產品的規格進行了劃分.某外貿公司要出口一批規格為75 g的雞腿，現有2個廠家提供貨源，它們的價格相同，雞腿的品質也相近.

質檢員分別從甲、乙兩廠的產品中抽樣調查了20只雞腿，它們的質量（單位：g）如圖5所示：

如果只考慮雞腿的規格，你認為外貿公司應買哪個廠的雞腿？

問題1 以上三個實際問題有什么共性？我們除了關注數據的集中趨勢之外，還會關注什么？

學生：除了關注數據的集中趨勢之外，還需要關注數據的穩定性.

教學分析：通過三個實際問題情境評價學生對數據離散程度及其意義的直觀感知和宏觀認識，旨在引導學生用數學的眼光觀察世界，并基于學生的認知進行引導，導入新課，同時梳理之前的知識結構形成以下板書（圖6）.這一環節教師通過問題評價，搜集學生信息進行診斷，然后進行知識結構化引導，體現“教—學—評”一致性.

3.2 情境探究：經歷建立“三差”模型的過程

問題2 大家已經從統計圖和數據中直觀模糊地感受了數據的離散程度，用數學的眼光和思維來看，我們接下來會探索什么？

追問1：我們是如何刻畫數據的集中趨勢的？

學生：我們是用平均數、中位數、眾數來刻畫數據的集中趨勢的.

追問2：所以由此你想到了什么？

學生：用什么數可以刻畫數據的離散程度.

教學分析：此環節旨在培養學生學會用數學的思維來發現問題、提出問題.通過本原性問題的思考來評價學生的數學素養定位，針對學生暴露的數據意識淡薄的問題，教師進行學科觀念層面的引導，使之明確用數據計算思維可以將數據離散程度的刻畫從直觀模糊走向精確量化，發揮評價在教與學中的診斷作用.

問題3 以情境三及變式為例，說說你將如何用數據計算思維更精確地刻畫數據的離散程度.

變式 在甲和丙廠（如圖7）兩廠中，你認為哪個廠的雞腿質量更符合要求呢？

教學分析：此環節旨在培養學生用數學的思維去思考問題，增強類比平均數模型探究方差模型的思維主動性，發展數據分析觀念，增強建模意識.通過問題評價發現學生思維的起點是極差，再通過問題引導學生體會極差的片面性，利用情境變式讓學生感受進一步探究的必要性.

問題4 極差只關注最大數據和最小數據，不能兼顧所有數據.那么有沒有一個量度像平均數一樣可以關注到每個數據呢？請以甲廠為例探索一個量度模型.

學生先獨立思考，然后以小組為單位進行討論，結果如下：

小組1：想到了用平均數.

小組2：想到了用最大值和最小值減去平均數，然后求和.

小組3：想到了用每個數據與平均數求差，然后求和.

教學分析：此環節目的是在問題探究中發展學生的數據分析能力.小組活動真實有效地反映了學生數據分析素養的水平，并基于此評價信息，設計了自學課本這一“教”的活動.

自學腳手架：

（1）為什么要用每個數減平均數？

（2）為什么要將這個差值進行平方運算？

（3）為什么要除以總數據個數？或者說為什么要取平方和的平均數？

（4）為什么叫“方差”？

（5）什么叫標準差？為什么還要“學”標準差？

教學分析：學生帶著認知沖突進入課本自學環節，聚焦了思維，并以問題為腳手架進行深度思考，感悟方差公式的得來及其合理性，做到知其然，知其所以然，何由以知其所以然，增強數據觀念和模型觀念.教師在與學生的對話中獲取學情信息，根據學生對方差理解的水平，進行有針對性的“教”，充分體現了“教—學—評”的一致性.

3.3 解決問題：提煉應用模型解決問題的步驟

（1）請用方差解決選擇甲廠還是丙廠的問題.

學生嘗試應用公式解決，教師板書規范步驟.

問題5 計算方差的一般步驟是什么？

學生：第一步，先計算平均數；第二步，套公式計算.

（2）跟蹤應用：課本（魯教版）第64頁隨堂練習第2題.

教學分析：通過問題的解決再次體會用數學模型語言表達世界的方法，體會方差學習的必要性，總結出規范應用方差公式的一般步驟，并加以鞏固應用.教師巡視搜集學生信息，隨時發現問題并進行指導，充分發揮習題對教學的評價功能，實現“教—學—評”一致，提高課堂效率.

3.4 課堂小結：總結本節課數學學習的經驗

問題6 通過這節課的學習，你積累了哪些研究與解決數學問題的經驗？

教學分析：學習就是不斷積累經驗的過程.課堂小結通過師生對話這一評價方式，可以診斷學生的知識掌握程度和數學素養水平，為進一步的教學提供依據，最終完善初中統計模塊的知識結構（圖8）.

“費馬點”模型有一個成立條件，即三角形三個內角均不大于120°.當有一個內角等于120°時，“費馬點”正好落在120°角的頂點上，不在三角形內部；當有一個內角大于120°時，“費馬點”在三角形外部.如果把整個課堂教學比作一個穩定的三角形，學科核心素養就是三角形中的“費馬點”，那么當“教—學—評”中任何一個元素在課堂教學中占的比重過大，比如教師滿堂灌等現象，核心素養這個“費馬點”將不在三角形內部.只有三者緊緊圍繞核心素養，通過評價動態掌握學情，三者保持有機統一的動態平衡，教學三角才是科學的、和諧的，從而實現以“最短路徑”取得課堂效益最大化的教學目標.