高中數學概念教學中“建模思想”培養的實踐研究

朱婉

[摘要]建模思想是促使學生建立良好數學思維體系的基礎，學生通過對數學模型的探索、觀察與思考，體悟數學的變化規律，為知識的靈活應用服務．在概念教學中滲透建模思想，可有效提升學生的思維品質，發展學生的核心素養．文章以“橢圓及其標準方程”的教學為例，分別從“借助情境，引入概念”“問題引領，構建方程”“分析模型，提煉思維”“應用模型，拓展延伸”四個方面展開研究．

[關鍵詞]建模思想；概念教學；橢圓

數學建模是指基于實際問題．將知識、信息技術、模型等深度融合的過程．建模課程以激趣啟思、培養“四能”為目標．建模思想在建模過程中得以完善與發展，在概念教學中，如何培養學生的建模思想呢？此為新課標視域下值得深入探索的話題，本文以“橢圓及其標準方程”的教學為例，具體談談如何將抽象的概念轉化為基本模型，幫助學生實現數學建模的同時提升建模思想．發展核心素養．

教學過程簡錄

1．借助情境，引入概念

情境1借助多媒體展示生活中的橢圓形物品．如圖1所示，促使學生提煉它們的共性特征——橢圓形．

情境2 設計折紙活動，過程如下：①準備一張圓形卡紙．命名為⊙F1，圓內任取一個定點F2（非圓心），圓上任取點P1；②對折⊙F1，確保點F2與點P1重疊，展開后用鉛筆輕描折痕；③連接F1P1與折痕交于點M1；④在圓上取更多的點．不斷重復以上步驟．獲得大量的點M2，M3，M4，…；⑤分析點列M1，M2，M3，M4，…所構成的圖形形狀．

如圖2所示，借助幾何畫板展示以上折紙活動過程，讓學生在實操的基礎上觀察動畫演示．明確“取點作圖”時．若提取的點越多．則所獲得的圖形越精確．隨著實際操作與動畫演示．學生對曲線有了初步認識，此過程為“用點的軌跡定義曲線”奠定了基礎．同時，幾何畫板的介入令學生對橢圓這個幾何圖形產生了更加形象、深刻的理解.

帶領學生用數學的眼光與思維來觀察與思考現實世界中的物品，架起了學生對“數”與“形”進行理解的橋梁，學生在動手觀察中理解橢圓上動點所具備的屬性特征，為思維的發展奠定了良好的基礎．信息技術手段的應用，促使學生對點M1與P1之間的規律特征有了更加直觀的認識．據此再進一步探索，則能讓學生感知數學事物“變中不變”的特殊性．

學生通過獨立思考與小組合作學習，初步形成結論：R=|MF1|+|MF2|（R為⊙F1的半徑，且|F1F1|

設計意圖 不同情境模式的應用．促使學生切身體驗從數學建模的視域理解橢圓形成的原理．學生在此過程中獲得用數學的眼光觀察現實世界的能力，并在實際操作的過程中學會用數學的思維與語言思考與表達生活現象，因此．此為激趣啟思的過程．可以提升學生的數學抽象能力、邏輯推理能力與數學建模能力．

2．問題引領．構建方程

眾所周知．數學知識間存在一定的內在聯系．這種聯系建構了完整的數學知識體系，想要讓學生從真正意義上建構新的概念．就要幫助學生厘清知識間的聯系，探尋解決問題的主要方法和思想．學生首次用代數式表示橢圓曲線．不論在知識基礎上還是在認知建構上均沒有經驗．因此需要通過適當的問題與科學的建?；顒右l學生思考．增強學生的“四能”，實施具體教學活動時，教師可設計如下幾個問題啟發學生的思維.

問題1 將活動過程中由點列M1，M2，M3，…所構成的橢圓剪下，橢圓所具備的基本性質有哪些？

問題2 之前學過的圓與本節課所探索的橢圓之間存在怎樣的關系？

問題3 回顧圓方程的推導過程，從建系獲得圓方程的角度去闡述．

問題4 通過以上探索．大家對橢圓的“形”已經有了明確的認識，若想從“數”的維度來刻畫橢圓．該采取怎樣的措施呢？

為了讓學生從根本上解決以上幾個問題．教師先帶領學生回顧以圓的兩條相互垂直的對稱軸作為坐標軸建立圓方程的過程．而后帶領學生以小組合作學習的方式建立直角坐標系并投影展示建系的方法，在過程中借助坐標法抽象橢圓的方程（見圖3）．

學生針對所展示的不同建系法展開分析與思考．體會建系的思維特點，同時感知數學的對稱美．領悟數學獨有的魅力．隨著合作探索與交流的推進，學生積極開動腦筋、動手操作、語言表述，獲得了解決以上幾個問題的辦法．從根本上理解了問題的本質．對求曲線方程的模型與步驟產生了深刻認識．

隨著平面直角坐標系的建立與展示．學生在教師的點撥下用數學語言描述橢圓概念中所蘊含的幾何條件，具體為：如果點F1，F2為處于橫軸上的定點，并滿足|F1F2|=2c，那么能獲得與定點F1，F2的距離之和為2a（2a>2c）的動點P的軌跡方程.

化簡、根號下（x+c）2+y2+根號下（x-c）2++y2=2a的過程令不少學生感到畏懼．為了幫助學生克服思維障礙．教師可帶領學生從如下三個角度化簡方程：①最常規的是將等號兩側同時平方．顯然這是一種煩瑣冗長的方法．難度系數大，錯誤率高；②從根式下代數式的相似點出發，思考化簡方程的方法；③借助“移項”解決問題，如將方程轉化成2a-根號下（x-c）2+y2=根號下（x+c）2+y2后再平方消項．讓學生從方程的結構特征出發探索更加便捷的化簡方法．此處，化簡易得a2y2+（a2-c2）x2=a2（a2-c2），將b2引進來，當焦點F1，F2處于橫軸上時，橢圓的標準方程為x2/a2+y2/b2=1．此過程能有效發展學生的學習能力．

設計意圖此環節中的第一個問題意在讓學生從直觀的折疊活動中體會橢圓具有對稱性的特征．對對稱軸形成初步感知；第二個問題意在引導學生用類比思想探索圓與橢圓之間的異同點；后面兩個問題促使學生自主構建橢圓的標準方程，并提煉模型思想．為發展核心素養夯實基礎．

3．分析模型．提煉思維

學習本身就是一個不斷產生疑惑、建立模型、答疑解惑與反思提升的過程，在探索橢圓的標準方程的過程中．一些學生產生了這樣一個疑惑：b2的引入是不是有點牽強？

教師可從數形結合的角度來釋疑，引導學生從圖中分別找到線段a，c，根號下a2-c2，基于橢圓的幾何特征探尋它們的幾何意義．完成后分析如下問題：若橢圓的兩個焦點坐標分別為（0，-c），（0，c），即位于縱軸上，a，b的意義不發生變化．寫出此時橢圓的方程.

如此設計意在引導學生通過建模來體會從多維度分析問題的方法，以推進數學邏輯推理能力以及數形結合思想的發展．在教師的點撥下．學生自主驗算推導．教師將學生的結論進行投影展示．并鼓勵學生合作交流與總結．學生得到的結論主要有：①關于橢圓的標準方程，遵循等號左側為兩分式的平方和．等號右側為1的格式；②方程中的參數關系為a2=b2+c2；③三個參數的具體值可通過標準方程獲得；④橢圓的焦點處于哪條坐標軸上，取決于標準方程中x2，y2的分母的大小．

綜上來看．本節課探索橢圓的標準方程．是在學生原有認知體系中的用坐標法探索直線和圓的方程的基礎上進行的．在類比思想與數形結合思想的輔助下．學生不僅自主探索出了橢圓的標準方程．還為后續探索橢圓的性質以及拋物線和雙曲線等問題夯實了方法基礎．通過類比方法，學生自主提煉出了用代數法與幾何法研究平面幾何問題所遵循的流程.

設計意圖結合學生的認知發展規律，帶領學生從“實驗、猜想、推導”三個環節感知并建構數學模型，促使學生學會從生活實際出發．通過操作活動等搭建模型，揭露幾何代數化的形成與發展過程．學生在探索過程中，有意識地用自身已有的認知經驗與思想方法去分析與解決問題，此為提升建模能力的關鍵，也是將數學建?；顒訚B透課堂．發展建模思想的重要途徑．

4．應用模型，拓展延伸

例題 如果F1（4，0），F2（-4，0）為某個橢圓的焦點．P為該橢圓上的一點，且點P與點F1，F2的距離之和為10，寫出該橢圓的標準方程.

變式題1：如果該橢圓恰好經過點（2，4/5、根號下5），那么其標準方程是什么？

變式題2.若明確△ABC的周長為16，A為動點，B，C為固定點，且滿足|BC|=6，則滿足該條件的點A的活動軌跡方程是什么？

隨著合作探究活動的開展．學生經過交流與思考，提出分別應用待定系數法與定義法來分析并解決問題.

設計意圖 從本質上來說．解決以上問題的過程屬于模型應用的過程．建模所經歷的是創造性的流程．一般遵循“情境創設”“建模”“提煉研究方法”與“模型應用”四個環節．設計上述兩道經典變式題．一方面促使學生自主應用本節課所構建的模型來解決實際問題，另一方面培育學生的數學抽象、邏輯推理等素養，讓學生在解題過程中不斷完善知識體系，熟知模型思想，形成結構化的數學思維.

幾點感悟

1．概念育人是促進學生建模思想發展的關鍵

概念是數學的基礎，也是思維發展的起點．關注概念形成與發展的過程不僅能增強學生對概念本身的理解，還能進一步凸顯概念的育人價值，讓學生通過各種探索手段感知數學與生活的聯系，體會數學學科獨有的內涵與魅力．這對促進學生人格品質的發展具有重要意義，如課堂伊始的生活物品的展示以及折紙活動的開展等．不僅幫助學生建立了橢圓與方程的概念，還幫助學生提升了數學研究精神，陶冶了數學情操．為培育學生的數學核心素養奠定了基礎．

2．關注建模過程是發展學生建模思想的基礎

從建模本身來說．它屬于創造性的腦力活動，在教學中．教師帶領學生亦步亦趨地感知每一個環節，體會建模的完整性．這是發展建模思想的基礎，如本節課．在教師的引領下．學生親歷生活與操作情境．不僅獲得了良好的“三會”能力，還有效提升了“四能”，這些都是建模過程不可或缺的一部分，又是培育建模思想的必經之路．

總之．從生活實際出發抽象數學模型．發展模型思想是高中數學教學的重要任務之一．也是培育學生數學核心素養的重要途徑，借助課堂揭露數學模型為知識與應用的紐帶．可不斷提升學生的建模意識．發展學生的模型思想，進一步凸顯數學建模的價值與意義．