關(guān)于立體幾何最值問題的解法探究與教學(xué)建議

徐靜

[摘要]立體幾何最值問題是高中數(shù)學(xué)的重難點問題，探究解析問題、總結(jié)解題方法、生成解題策略是課堂教學(xué)重點．文章引例探究，總結(jié)解法，結(jié)合實例強化應(yīng)用，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議．

[關(guān)鍵詞]立體幾何；最值；構(gòu)造；參數(shù)；特殊位置

將平面圖形空間化是立體幾何問題構(gòu)建的重要形式．對于該類立體幾何最值問題．可將空間圖形平面化．降低思維難度，利用平面幾何相關(guān)知識來解析．該策略適用于折疊型空間幾何問題、規(guī)則型空間幾何問題，解析過程分兩步：

第一步．把握幾何特征，展開圖形；

第二步，把握性質(zhì)間的關(guān)系．利用幾何知識解析最值．

策略2：構(gòu)造函數(shù)，妙求最值

函數(shù)也可作為解析工具．應(yīng)用于立體幾何最值問題的求解中，即利用函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)的值域、單調(diào)性等）分析最值．或構(gòu)造函數(shù)后利用均值不等式求最值，解析過程分兩步：

第一步，分析幾何條件．設(shè)定變量，構(gòu)造該變量的函數(shù)；

第二步，根據(jù)函數(shù)特征，確定求解方法，如“配方法”“求導(dǎo)法”“單調(diào)性法”“均值不等式法”等，解析最值．

策略3：特殊位置，確定最值

對于空間幾何最值問題．還可以通過研究特殊位置來解析，如通過分析動點、動線段的軌跡求最值，解析過程也分兩步：

第一步，分析幾何運動，準確把握運動中的臨界點、極限點，構(gòu)建模型；

第二步．根據(jù)模型分析運動變化，確定最值情形．求解最值．

應(yīng)用探究

上面總結(jié)了三種立體幾何最值問題解析策略．下面結(jié)合實例展開應(yīng)用探究．

1．側(cè)面展開．巧求最值

例1如圖2所示．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，點P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運動且D1O⊥OP，則點P到底面BCD的距離與它到點B的距離之和最小是_____.

分析本題以正方體為背景．構(gòu)建空間動態(tài)模型．求解距離之和的最小值，求解時可采用“側(cè)面展開”策略．將正方體展開為平面圖形．利用空間與平面的性質(zhì)關(guān)系，構(gòu)建距離模型，解析最值.

評析上述求解先設(shè)定具體幾何模型，分析點的運動軌跡，以及圖形周長的變化規(guī)律．然后結(jié)合幾何周長與面積之間的關(guān)系確定最值情形．

教學(xué)建議

上面針對立體幾何最值問題展開解法探究，總結(jié)了三種常用策略，下面結(jié)合教學(xué)實踐提幾點建議．

1．挖掘問題特征．提取幾何模型

立體幾何最值問題是高中數(shù)學(xué)的重難點問題，其題設(shè)條件、圖形特征較為特殊．串聯(lián)了代數(shù)與幾何相關(guān)知識．探究解析時要理解立體條件．挖掘特性特征．結(jié)合關(guān)聯(lián)知識轉(zhuǎn)化問題：要注意提取幾何模型，如上述提取的翻折模型、正方體截面模型等，教學(xué)引導(dǎo)分三個階段：第一階段，理解題干條件，讀懂空間幾何；第二階段，挖掘幾何特征、性質(zhì)；第三階段，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建解題模型．

2．總結(jié)問題解法，形成解題策略

立體幾何最值問題類型多樣．解法也不唯一（上述探究就總結(jié)了三種常用策略）．因此，在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動總結(jié)問題解法．完善對應(yīng)策略，方法探究總結(jié)可按如下思路進行：引例探究—解后分析—方法總結(jié)—應(yīng)用強化．即提煉解法，生成策略．拓展應(yīng)用．強化解法．方法探究總結(jié)要注意兩點：一是探究總結(jié)要包括方法含義、解題思路、問題題型等內(nèi)容；二是細化構(gòu)建過程，完善分步策略．

3．感悟解題方法．體會數(shù)學(xué)思想

解法探究是拓展學(xué)生思維、提升學(xué)生解題能力的重要方式，在探究教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟解法．體會其中的數(shù)學(xué)思想．例如“構(gòu)造函數(shù)”策略．就隱含了構(gòu)造思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．教學(xué)引導(dǎo)可從以下三個方面進行：一是從思路過程進行引導(dǎo)．讓學(xué)生思考構(gòu)造函數(shù)的方法；二是從思想內(nèi)涵進行引導(dǎo)．讓學(xué)生感悟“構(gòu)造”的含義；三是從思維層面進行引導(dǎo)．讓學(xué)生體驗構(gòu)造過程．感知應(yīng)用思想方法解題的便利．