應用極限思維，助力數學教學

摘 要：隨著社會發展，新時代對人才培養提出了更高要求。在此背景下，高中數學作為培養學生邏輯思維與數學思維的重要學科，對我國人才培養具有重要影響。然而，當前高中數學課程存在知識點割裂、過于抽象而難以理解的問題，因此需要引入先進理念指導教學。極限思維強調關聯思考，能夠幫助學生建立知識網絡，全面理解數學概念和原理，是實現質的提升的重要途徑。基于此，通過分析極限思維在高中數學教學中的具體應用，探討如何發揮其應用優勢，助力教育教學，滿足社會需求。

關鍵詞：極限思維；高中數學；教學

作者簡介：張平（1979—），男，江蘇省南京市六合區實驗高級中學。

簡單來說，極限思維就是一種將問題抽象化，在極限條件下分析事物狀態的思維方式。在高中數學中，極限思維通常用于研究函數、序列和級數等概念。通過運用極限思維，我們可以更好地理解數學概念的本質特征，進而解決相關問題。本文探討在高中數學教學中應用極限思維的一些方法，旨在促進學生對數學知識的深入理解和掌握。

一、極限思維在高中數學教學中的應用優勢

（一）提升學生對數學知識的認識深度

在高中數學中應用極限思維，體現在運用極限概念分析問題，有助于從多個角度深入剖析數學概念的本質以及概念之間的聯系。這可以引導學生跳出思維定式，不再機械地背誦和應用數學公式定理，而是主動運用極限思維，將抽象的數學知識融會貫通。例如，極限概念是微積分知識的核心內容。在極限思維的啟發下，學生可以聯系已學函數概念，從函數圖象、增量變化等多個角度理解極限的內涵，深入領會“極限”在證明解的存在唯一性定理等微積分重要定理中的作用，從而加深對微積分核心概念和重要定理的理解，增強運用微積分解決實際問題的能力。在此基礎上，學生可以主動運用極限思維拓展思路，如探索函數性質、解析幾何等數學分支中極限概念的應用，從更高的層次研究數學概念之間的關聯。這有助于學生構建系統的數學概念體系，全面深化對數學知識的認識。

（二）拓展學生對數學問題的認識廣度

極限思維注重發散性思考，鼓勵從多個角度審視問題。這一特性有助于培養學生的數學思維，指導他們將更多的數學知識關聯起來，從更為廣闊的視角分析問題［1］。例如，在運用極限概念研究拋物線時，學生不僅要注意拋物線作為解析幾何曲線的性質，還要聯系二次函數的知識，從函數圖象與極限概念的對應關系入手，探索拋物線的漸近線。這樣的思維方式可以拓展學生解決幾何問題的思路，使他們在處理類似問題時能夠從更全面、立體的角度進行思考，發現更多的解題方法，提高解決數學問題的能力。

（三）增強學生的學習興趣和自信心

極限思維注重激發學生的思維潛能，引導其主動探索問題。這可以使原本抽象的數學知識變得更加豐富多彩、直觀具體。例如，在繪制指數函數圖象時，教師可以提供一些生動的參考情景，運用極限概念引導學生從多個角度揭示漸近線對于確定函數圖象整體位置的關鍵作用。這種寓教于樂的導入不僅能加深學生對函數圖象的理解，還可以激發他們的學習興趣，使其主動運用所學知識嘗試描繪其他函數圖象。同時，成功應用極限思維解決問題，能讓學生意識到數學學習并不枯燥，使他們在今后的學習中保持較高的積極性，增強自信心。

二、高中數學教學現狀

（一）學生認知角度窄，知識理解不足

在傳統的數學教學中，學生往往是被動地接受教師的知識灌輸。部分學生對數學概念和原理的理解停留在表面，沒有對概念的本質屬性形成深入認知。數學知識體系抽象性強，內在聯系復雜，學生只有從多個角度審視概念，才能建立完整的概念體系。學生若基礎薄弱，看待數學知識的視角就會較為狹窄，難以把握概念之間的關聯，導致對知識的吸收和遷移應用能力明顯不足。新知識無法與舊知識形成有效銜接，學生最終只能采取死記硬背的學習方法，無法真正掌握知識內涵，理解不夠深入。這勢必會影響學生學習數學的興趣，不利于其持續發展。

（二）教學方法死板，難以適應個性化需求

目前，部分高中數學教師為了保證教學進度和學生考試成績，沿用以教師為中心的傳統教學模式，使用大量課堂時間進行灌輸式講解，要求學生逐章逐節地背誦概念、理論和公式。這樣的教學安排沒有考慮到學生個體之間的差異，忽視了學生的主體地位和認知規律。一些基礎薄弱的學生在這種高強度的知識灌輸下既無法及時消化新知識，也無暇顧及已學知識的內化運用，最終造成應試教育中“高進低出”的問題。

（三）教學模式運用不當，難以發揮作用

近年來，各種先進信息技術和新型教學模式被引入高中數學課堂，但實際效果有時不盡如人意。一部分原因在于這些模式對學生的自控能力和合作意識要求較高，而教師沒有提供有效引導，導致部分能力不足的學生無法真正參與到教學活動中。例如，在開展小組合作學習時，有的學生不習慣集體合作，難以高效利用課堂時間；有的學生容易受到他人言論的干擾，脫離學習主線。這些情況說明，引入新型教學模式需要教師在理念與方法上進行同步更新，為學生提供正確指導，這樣方能提高教學效能，否則實際效果會大打折扣。

三、極限思維在高中數學教學中的應用分析

（一）極限思維在數學概念教學中的應用

數學能力的培養需要長期堅持，對學生而言，極限思維的養成并非易事，不僅需要學生自己努力，還需要教師在課堂上為學生提供正確的指導。學生只有準確理解極限思維，將其內化為思考習慣，面對問題時才能靈活應用。部分基礎概念中本就蘊含極限思維的求解思路，教師應充分利用極限思維解釋相關數學概念和題目，以吸引學生的注意力，簡化解題方法，幫助學生加深對概念和知識點的理解，全面提升數學素養和能力［2］。例如，在學習分段函數時，教師可以通過分析極限思維在求解分段函數問題中的應用，啟發學生運用極限思維進行推理求解。

以分段函數的極限計算為例：

求函數? 在x =1處的極限。

觀察這一分段函數的定義域與值域特征可知，x =1這一點并非該函數的斷點，所以函數在此處是連續的。根據極限性質，得到x =1處的極限值即為函數在x =1處的函數值。

分情況討論x=1在不同區間對應的函數表達式：

①當x <-1時，x =1不在此區間內；

②當-1≤x< 2時，x =1在此區間內。

代入函數得到f （1）=3。

求得極限：f（x）=f（1）=3。

通過該解析過程可知，分析極限問題需要運用極限知識，觀察函數值與定義域的對應關系，分析斷點與連續點，并靈活切換區間進行計算。教師應從極限的角度啟發學生進行綜合性分析與思考，加深學生對分段函數極限概念的理解，拓寬學生運用極限思維解決問題的視野。

（二）極限思維在幾何題中的應用

極限思維的培養是一個循序漸進的過程，不能一蹴而就。教師要做好長期規劃，有機結合數學教學各個環節，滲透極限思維。在教授幾何題時，教師應引導學生將極限思維作為常用解題工具，逐步養成運用極限思維分析問題的習慣［3］。具體來說，教師可在傳授解析幾何的基本概念后，設計一系列應用題，引導學生聯系已學的極限性質，從函數圖象、面積公式等角度，運用極限思維解釋幾何量與曲線方程的對應關系。

例如，在教授了圓的概念及圓周率π后，教師可以設計一道計算橢圓周長的應用題。橢圓作為拓展的閉合曲線，其周長公式中也包含π這個常數。教師可以先讓學生嘗試運用已知的圓的周長公式推導橢圓的周長公式，并解釋公式中π的來源。學生完成初步探究后，教師可以聯系極限，解釋當橢圓的短軸和長軸趨于相等時，橢圓近似于圓，橢圓周長公式中π的引入可以看作是用極限方法逼近橢圓周長的一種途徑。在教授三角形面積公式時，教師可以設計一個反求底邊長度的應用題，要求學生聯系已學二次函數圖象及面積概念，從極限的角度聯想微積分中定積分與曲線圍成的面積關系，反向求解題目。這一過程既鍛煉了學生在建立知識關聯中應用極限思維的能力，也拓寬了學生運用數學知識解決實際問題的視野，實現了多角度啟發的作用。

在學習空間立體幾何知識時，教師也可以運用極限思維分析實際問題，培養學生的空間思維能力。例如，教師可以給出一個邊長為1的正方體模型，在正方體內部放置一個球，然后提出問題：該球在正方體內任意滾動，最多同時接觸正方體的三個面，請確定該球的半徑范圍。針對這個問題，教師首先需要通過提問帶動學生聯系生活實際，思考球體與正方體接觸面情況的極限關系。然后啟發學生運用極限思維建立數學模型，從接觸條件出發，建立方程組，聯立求解，最終確定球的半徑范圍。在此過程中，學生聯系實際情境，運用極限思維建立模型，運用已學知識求解問題，不僅加深了對空間幾何和極限思維的理解，也培養了數學意識，實現了多方位的訓練效果［4］。

（三）極限思想在數列求解中的應用

在高中數學學習中，發展思維能力遠遠比單純記憶概念重要，而極限思維對于拓展數學思維和提高問題解決能力具有獨特的優勢。教師在講授數列知識時，應該聯系學生的認知特征，設計寓教于樂的應用題，以激發學生的好奇心和學習興趣。教師應著重解析極限在推導數列通項公式、判斷數列收斂性中的重要作用［5］，通過案例啟發學生運用極限思維分析問題，找到合適的解題策略。

例題：設數列{an}滿足a1=2，且

，求an。

解析：

首先，我們觀察數列的遞推式：，當n趨近于無窮大時，an和an+1的差值趨近于0。因此，我們可以設an=L。

將an和an+1代入遞推式，得到：

解這個方程，我們可以得到L=1或L=-1。由于數列{an}的所有項都是正數，所以L必須是正數。

因此an=1。

在這個例子中，我們可以看到極限思維在數列問題中的應用，它能使抽象知識變得更為直觀，有助于學生理清思路，加深對知識的理解。

結語

通過以上分析可知，極限思維為高中數學教學提供了一條嶄新路徑。極限思維不僅可以幫助學生深入理解數學概念的本質，建立知識體系，還可以拓展學生的思維，激發學生主動學習的興趣。教師應充分認識到極限思維的重要性，有針對性地設計相關題型進行思維滲透，引導學生在學習過程中主動聯系、運用極限思維，形成統一概念與方法的綜合分析能力。高中數學教學只有做到知識傳授與思維培養相結合，才能實現多維度、高質量的發展，培養適應社會發展需要的人才。

［參考文獻］

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