一元一次方程在解實際問題中的應用

【摘要】列一元一次方程解應用題是初中代數的重要問題，通過建立一元一次方程，可以利用數學方法解決各種實際問題，如行程與工程問題、銷售與儲蓄問題等，涉及時間與距離的關系、售價與利潤的關系等.然后通過代數的運算和方程的變形，求解未知數的值，從而得出實際問題的答案.本文分析一元一次方程在解實際問題中的應用，并舉例解析，以期幫助學生對利用一元一次方程解決實際問題有更全面的掌握.

【關鍵詞】一元一次方程；初中數學；解題技巧

1 行程（工程）問題

解決有關行程（工程）的問題，通常利用圖示法表示題目中各量之間的關系.將題目已知量和待求未知量標在圖上，以揭示潛在的條件，使問題更加清晰明了，然后列出方程解決問題.

以行程問題為例，其基本關系為“路程=速度×時間”，常用等量關系為：（1）相遇問題，快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離；（2）追及問題，快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離；（3）航行問題，順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度.

例1 小明和小紅兩人的家相距2200m，星期天兩人相約見面然后一起去市圖書館，已知小明每分鐘走70m，小紅每分鐘走60m，小紅從家里出發2min后小明也從家里出發了，請問小明出發多久后兩人相遇？

思路分析 小明、小紅兩人的相遇情況如圖1所示.

解 設小明出發x分鐘后兩人相遇，

根據題意有70x+60（x+2）=2200，

化簡得130x=2080，

解得x=16.即小明出發16分鐘后兩人相遇.

點評 行程問題在各種題型中都有涉及，且難度差別較大，這是因為行程問題涉及起點、終點、方向及交通方式等多個條件，任何條件的改變都有可能造成解題方法的不同.行程問題中最基本的等量關系是“路程=速度×時間”，需要熟練掌握并靈活應用.

2 配套問題

如果一個物件由A，B兩種零件構成，用m個A種零件和n個B種零件構成該物件，求如何安排生產零件的工人，才能使所生產的全部零件都能配套成整物件，這類問題就是配套問題，常用的等量關系為：A產品的數量×n=B產品的數量×m.

例2 某家具廠新進5立方米木料，準備制作一批桌椅，已知1張桌子配4把椅子，1立方米的木料可制作5張桌子，或制作30把椅子，現要使制作出的桌子、椅子恰好配套，請問制作桌子和椅子的木料應分別為多少？

解 設用x立方米的木料制作桌子，則剩下（5-x）立方米的木料制作椅子，則可以制作5x張桌子，30（5-x）把椅子，要使制作出的桌子、椅子恰好配套，必須有使得“椅子數=4×桌子數”，

所以30（5-x）=4×5x，解得x=3，

則5-x=5-3=2.故制作桌子的木料為3立方米，制作椅子的木料為2立方米.

點評 配套問題常見的是“1∶n”型，即1個甲種零件和n個乙種零件配成一個物件，但也有“n∶m”型（n，m均不為1），后者在尋找相等關系、列方程時更容易出錯，需要更加謹慎.

3 銷售問題

銷售問題就是銷售中的利潤問題、打折問題，一般涉及進價、原價、售價、利潤、利潤率等基本量及其關系.銷售問題的基本關系：利潤=售價-進價（成本價），利潤率=利潤÷進價×100%；常用等量關系：利潤或利潤率與其他量之間的關系.

例3 某服裝店為了減少庫存積壓，將兩款不同型號的夾克上衣以120元/件的價格進行出售，其中一件虧損20%，另一件盈利20%，請問這種售賣方式服裝店是盈利還是虧損？請求出盈利或者虧損額.

解 設盈利20%的那件衣服的進價為x元，則利潤是20%x元，根據進價與利潤的關系，列方程得x+20%x=120，解得x=100.

設虧損20%的那件衣服的進價為y元，則虧損20%y元，列方程得y-20%y=120，解得y=150，

則兩件衣服的利潤為120+120-100-150=-10（元）.

故這種售賣方式服裝店虧損了，虧損了10元.

點評 要判斷盈虧，需計算實際售價與進價的差，若差為正數，則盈利；若差為負數，則虧損.另外利潤問題中有些數量關系比較隱蔽，在掌握其基本等量關系的基礎上，要深層挖掘題目中能反映問題總體意義的等量關系，據此列出方程.

4 儲蓄問題

解答儲蓄方面的實際問題時，首先要弄清本金、利息、本息和、期數和利率的概念.其基本關系為：利率=利息÷本金，利息=本金×利率×期數，這是解決儲蓄問題常用的等量關系.

例4 小張同時儲蓄了兩筆錢，第一筆錢的年利率為3.7%，第二筆錢的年利率為2.25%，一年后共得到15.6元的利息，兩筆錢的總額為500元，請問小張的這兩筆錢數分別是多少？

解 設以第一筆儲蓄的錢數為x元，則第二筆儲蓄的錢數為（500-x）元，

根據題意有3.7%x+2.25%（500-x）=15.6，解得x=300，

則500-x=500-300=200.

所以小張以這兩種形式儲蓄的錢數分別為300元和200元.

5 比賽積分問題

比賽分為單循環賽制（參加比賽的隊每兩隊之間只進行一場比賽）和雙循環賽制（參加比賽的隊每兩隊之間只進行兩場比賽），一般都會規定勝、負、平一場各積幾分.比賽中的積分問題常用等量關系為：比賽總場數=勝場總數+平場總數+負場總數；比賽總積分=勝場總積分+平場總積分+負場總積分.

例5 某縣城舉辦中學生足球比賽，共賽8輪，每隊均需賽8場，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，已知在這次足球比賽中，實驗中學隊最后得17分，其中打平的場數是負場數的2倍，請問實驗中學隊勝了幾場？

解 設負的場數為x，則打平的場數為2x，

則勝的場數為8-x-2x，

由題意得3（8-x-2x）+2x=17，

解得x=1，

所以8-x-2x=5.故該隊勝了5場.

點評 涉及比賽的關鍵詞有比賽場數、勝場數、平場數、負場數、勝場積分、平場積分、負場積分、總積分等，根據積分規則，運用正確等量關系式即可解答問題.

6 等積變形問題

解決等積變形問題解的關鍵是準確牢記體積面積、周長公式.抓住兩個等量關系：①形變體積不變；②有時形變引起體積變化，但質量不變.常用公式：長方體體積=長×寬×高；圓柱體體積=πr2h（h為高，r為底面圓半徑）.

例6 桌面上有A，B兩圓柱形的水杯，水杯A的底面積為80cm2，水杯B的底面積為100cm2，已知水杯B是空的，水杯A裝滿了水，若將水杯A中的水全部倒入水杯B中，則水杯B中的水位高度比原先水杯A的水位高度低了8cm，求水杯A的容積.

解 設水杯A的高度為xcm，則水杯B中水位高度為（x-8）cm，根據兩水杯中水的體積不變可得80x=100（x-8），解得x=40.故水杯A的容積為80×40=3200，即3200cm3.

7 結語

一元一次方程是代數學中的基本概念，在解決實際問題時具有重要的應用價值.列一元一次方程解實際問題的關鍵是設出合適的未知數，找準等量關系，如果問題中的等量關系不明顯，無法直接得出時，則需要借助一些特殊的方法將等量關系顯現出來，如列表法、圖解法等.掌握一元一次方程的解法對于解決實際問題具有重要意義.

參考文獻：

［1］余臻秀.初中數學一元一次方程之行程問題教學例談［J］.基礎教育論壇，2023（18）：81-83.

［2］王博睿.培養初中生模型觀念的教學研究［D］.北京：中央民族大學，2023.