符號意識進(jìn)階：從簡單合并到字母運(yùn)算

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；符號意識；《神奇的字母》；字母運(yùn)算；規(guī)律

【中圖分類號】G623.5" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）13-0081-05

“符號意識”是小學(xué)生需要具備的核心素養(yǎng)之一，其內(nèi)涵包括對符號的感悟、自覺運(yùn)用符號的意識等。學(xué)生符號意識的培養(yǎng)和形成需要土壤和機(jī)會，教師根據(jù)具體內(nèi)容適時開發(fā)有益于相關(guān)素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)課是應(yīng)然之舉。蘇教版五上“用字母表示數(shù)”單元安排了這樣一道例題：小華用小棒擺了a個三角形，小芳用小棒擺了a個正方形。你會用含有字母的式子表示小華和小芳一共用了多少根小棒嗎？目的是讓學(xué)生學(xué)會化簡形如“ax±bx”的式子的方法，即合并簡單的同類項(xiàng)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）要求，學(xué)生除了要會化簡形如“ax±bx”的式子，還要會用字母參與運(yùn)算來表達(dá)運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論，感悟用字母表示具有一般性的特點(diǎn)。基于此，筆者在現(xiàn)行蘇教版教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生在“用字母表示數(shù)”單元學(xué)習(xí)中積累的知識經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)構(gòu)了一節(jié)有關(guān)字母運(yùn)算的課——《神奇的字母》。

【教學(xué)過程與思考】

一、游戲引入，孕伏字母參與運(yùn)算的思想

談話：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)。其實(shí)，字母還有很多奧秘。今天，我們一起來探究《神奇的字母》。

師：看到這個課題，你有什么想問的？

生：為什么說字母神奇？字母神奇在哪兒？

師：你們都有一顆好奇心！別急，我們先來玩一個小游戲。請大家任意想一個數(shù)，想好了嗎？用這個數(shù)乘4，加上12，再除以4，然后減你想的那個數(shù)，最后減2。把最后的結(jié)果藏在心里，不能泄露哦。

師：我猜你最后算出的結(jié)果是1，對嗎？（一生點(diǎn)頭）我猜你最后的結(jié)果也是1。（一生點(diǎn)頭）我猜你們每個人最后的結(jié)果都是1，對嗎？

生（齊）：對！

師：大家想的數(shù)多種多樣，為什么最后的結(jié)果都是1呢？這里面是不是藏著什么秘密呢？不著急，學(xué)完這節(jié)課，大家就能揭開謎底了。

五年級的學(xué)生仍處在直觀、具體的思維階段，很難理解“明明我們心里想的數(shù)不同，老師竟然能猜出我們的計算結(jié)果，而且我們的計算結(jié)果竟然都是1”，形成較強(qiáng)的認(rèn)知沖突，極大地調(diào)動了他們參與學(xué)習(xí)的興趣和探索因由的需要，也為后續(xù)的字母運(yùn)算教學(xué)埋下了伏筆。

二、代數(shù)推理，應(yīng)用字母參與運(yùn)算說理

【教學(xué)片段1】

師：數(shù)學(xué)算式里常常藏著有趣的規(guī)律。

課件出示：（10-1）÷9=，（20-2）÷9=，（30-3）÷9=。

師：你能口算嗎？結(jié)果是多少？

師：誰來匯報？說一說你的計算過程。

生：（10-1）÷9=1，（20-2）÷9=2，（30-3）÷9=3，先算括號里的減法，再用這個結(jié)果除以9。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生1：結(jié)果和前面括號里的減數(shù)相同。

生2：都是除以9。

生3：被減數(shù)是幾十，減數(shù)就是幾。

師：為什么會是這樣呢？能不能用含有字母的式子把里面的道理說明白呢？老師給大家提了一些研究要求，誰來讀一讀？

研究1：（1）寫一寫，用含有字母的式子解釋你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）說一說，和同桌交流你的想法。

師：讀懂要求了嗎？你準(zhǔn)備用字母表示算式中的哪一個數(shù)？為什么？

生：我準(zhǔn)備用字母表示減數(shù)，因?yàn)楸粶p數(shù)是減數(shù)的10倍，減數(shù)用一個字母來表示，那被減數(shù)就可以用含有字母的式子表示出來了。

師：都聽明白了嗎？在學(xué)習(xí)單上寫一寫吧！

生上臺板演：

（10a-a）÷9" " "（10x-x）÷9

=9a÷9" " " " " "=9x÷9

=a" " " " " " " " =x

師：你選擇的字母表示什么？

生：算式中的減數(shù)。

師：9為什么不用字母表示？

生：9是不變的數(shù)。

師：是的，確定的數(shù)就不需要用字母表示了，我們用字母表示的是不確定的數(shù)。

師：你們覺得這兩位同學(xué)寫得都對嗎？（對）他們列的式子并不相同，為什么都對呢？

生：他們只是用的字母不同，表示的規(guī)律是一樣的。

師：這樣的等式概括了哪些含有同樣規(guī)律的算式呢？你能再舉幾個例子嗎？

生：（40-4）÷9=4，（50-5）÷9=5……

師：字母神奇嗎？為什么？

生1：一道算式可以代表很多算式。

生2：用字母運(yùn)算，能幫助我們解釋清楚這組算式規(guī)律背后的秘密。

【教學(xué)片段2】

課件出示：（100-1）÷9=，（200-2）÷9=，（300-3）÷9=。

師：這組算式里也藏著小秘密，你能像剛才我們研究的那樣，通過字母運(yùn)算來解釋嗎？老師也提供了一些研究小貼士，誰來讀一讀？

研究2：（1）算一算，看看每道題的結(jié)果分別是多少；（2）說一說，和同桌說一說你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）寫一寫，通過字母運(yùn)算解釋這個規(guī)律。跟著這些要求，在學(xué)習(xí)單上試一試吧！

生研究，匯報，上臺板演：

（100a-a）÷9

=99a÷9

=11a

師：回顧我們剛才研究的這兩組算式，第一組算式，我們通過字母運(yùn)算得到了（10a-a）÷9=a；第二組算式，我們通過字母運(yùn)算得到了（100a-a）÷9=11a。你能照樣子再往下寫一個字母表達(dá)式嗎？

生：（1000a-a）÷9=111a。

師：當(dāng)a=1時，表示哪個算式？

生：（1000-1）÷9=111。

師：當(dāng)a=2時呢？當(dāng)a=3時呢？

生：（2000-2）÷9=222，（3000-3）÷9=333。

師：你能再往下寫一個字母表達(dá)式嗎？

生：（10000a-a）÷9=1111a。

師：字母神奇嗎？為什么？

生：字母表示的算式里也有規(guī)律。

上述素材源于蘇教版三上“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”單元中的練習(xí)題組。這兩組算式當(dāng)時僅要求學(xué)生“能正確算出前幾題的結(jié)果，并能通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，照樣子直接填寫后幾題的得數(shù)”。可以想見，在當(dāng)時的情境中，不少學(xué)生肯定好奇為什么這樣的算式里會有這種規(guī)律，但是由于受到知識經(jīng)驗(yàn)的束縛，他們無法言明其中的道理。學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”單元之后，學(xué)生再次見到這樣的算式，由于他們已經(jīng)有了代數(shù)思維的啟蒙，所以能夠在教師的引導(dǎo)下嘗試用字母表示數(shù)，并能代入算式進(jìn)行運(yùn)算。解釋規(guī)律背后的原因，能使學(xué)生體會到：用字母表示數(shù)參與運(yùn)算，得到的規(guī)律具有一般性。

【教學(xué)片段3】

師：剛才，我們在“數(shù)的世界”里見識到了字母的神奇，那在“圖形王國”里，字母還神奇嗎？（出示圖1）

指名生讀題：在兩個相同的平行四邊形里分別畫三角形，左圖中涂色三角形的面積和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等嗎？

師：會解決嗎？在你的學(xué)習(xí)單上寫一寫。

生計算，匯報：10×5÷2=25（平方厘米）；

10×2÷2+10×3÷2

=10+15

=25（平方厘米）

因此，左圖中涂色三角形的面積和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等。

師：如果這里沒有具體的數(shù)據(jù)，還能比較嗎？怎樣比？（用字母表示）

師：為了方便大家研究，我們把這個平行四邊形的底用字母a來表示，把這個平行四邊形的高用h來表示，那左圖中三角形的底和高分別是多少？右圖呢？（如圖2）

生：左圖中三角形的底是a厘米，高是h厘米。右圖中上面的三角形底是a厘米，高是h1厘米；下面的三角形底是a厘米，高是h2厘米。

師：現(xiàn)在，你能用字母運(yùn)算解釋這個問題嗎？在學(xué)習(xí)單上寫一寫。

生板演匯報：ah÷2；

ah1÷2+ ah2÷2

=a（h1 + h2）÷2

=ah÷2

因此，左圖中涂色三角形的面積和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等。

師：這里，你用到了哪個運(yùn)算律？

生：乘法分配律。

師：“a（h1 + h2）÷2”這一步是怎么得到“ah÷2”的呢？

生：從圖中我們可以看出，h1+h2 等于h，所以只要用h替換h1+h2 就可以得到了。

師：如果把右圖中兩個三角形的相同頂點(diǎn)挪到這里，它們的面積還相等嗎？挪到這里呢？這里呢？（課件依次呈現(xiàn)圖3中的各個圖形）

生：都相等。

師：為什么還和左邊三角形的面積相等？

生：因?yàn)閮蓚€三角形的高之和還是和左邊三角形的高相等。

師：這個點(diǎn)可以在這個平行四邊形里任意一個位置嗎？

生：是的，只要這個點(diǎn)在平行四邊形里，兩邊涂色部分的面積就相等。

師：你是怎么知道的？

生：我們剛才用字母運(yùn)算的時候，中間有一步h1+h2，它們的和與h相等，我們通過字母運(yùn)算發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論具有一般性，跟這個點(diǎn)在平行四邊形里的哪個位置沒有關(guān)系。

師：字母神奇嗎？為什么？

生1：它幫助我們得到了這個結(jié)論。

生2：用字母運(yùn)算得出的結(jié)論具有一般性。

這個環(huán)節(jié)的教學(xué)仍然選擇從算術(shù)思維出發(fā)，讓學(xué)生先用具體的數(shù)字計算，再隱去圖中的數(shù)據(jù)，提出“如果這里沒有具體的數(shù)據(jù)，還能比較嗎？怎樣比？”這一問題，激活學(xué)生的代數(shù)思維。在學(xué)生用字母參與運(yùn)算推理出結(jié)論之后，變換圖2右圖中三角形頂點(diǎn)的位置，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，使其符號意識得以進(jìn)階。

三、前后呼應(yīng)，體會字母參與運(yùn)算的必要性

師：還記得我們剛開始上課時玩的小游戲嗎？現(xiàn)在你們知道，教師為什么能猜到你們的計算結(jié)果都是1了嗎？誰能揭開謎底？

生1：我把心里想的這個數(shù)字用a來表示，根據(jù)游戲規(guī)則，可以列出算式（4a+12）÷4-a-2=a+3-a-2=1。

生2：我們可以看到，a在運(yùn)算過程中抵消了，所以不管a是多少，最后的結(jié)果都是1。

師：融會貫通，你們都是愛思考的孩子，回到課題，你們覺得字母神奇嗎？為什么？

生：字母很神奇！用字母參與運(yùn)算，可以幫助我們解釋規(guī)律、推理結(jié)論。

在“字母運(yùn)算”教學(xué)結(jié)尾回應(yīng)課始的問題，學(xué)生在“恍然大悟”中深刻體會到“運(yùn)用字母進(jìn)行推理”的好處，體驗(yàn)到“運(yùn)用字母參與問題解決”的神奇，感悟到“用字母”是數(shù)學(xué)表達(dá)與數(shù)學(xué)思考的重要形式，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的推理意識，促使他們實(shí)現(xiàn)了符號意識的進(jìn)階。

【點(diǎn)評】

朱建玲老師執(zhí)教的《神奇的字母》，是基于新課標(biāo)理念自主開發(fā)的一節(jié)課例。朱老師借助具體內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生符號意識的培養(yǎng)得以有效落地，整個教學(xué)過程中蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思考。回顧本節(jié)課，朱老師主要在以下幾個方面進(jìn)行了挖掘和突破。

1.精選典型素材，引導(dǎo)學(xué)生體會字母參與運(yùn)算的合理性

新課標(biāo)加強(qiáng)了“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容的教學(xué)，以更好地發(fā)展學(xué)生的符號意識。如何選擇典型的素材幫助學(xué)生發(fā)展代數(shù)思維，是值得探討的話題。朱老師立足數(shù)和形這兩個維度，精選蘇教版三上“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”與五上“多邊形的面積”的相關(guān)練習(xí)題組，幫助學(xué)生理解知識的結(jié)構(gòu)與關(guān)系。朱老師對習(xí)題進(jìn)行加工和整合，提出“說說發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”“通過字母運(yùn)算解釋規(guī)律”等要求，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，逐步接納字母參與運(yùn)算的合理性，這符合他們由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。

2.制造認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生體會字母參與運(yùn)算的應(yīng)用性

基于學(xué)生學(xué)習(xí)的心理特點(diǎn)，制造認(rèn)知沖突，可以更好地調(diào)動學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的積極性，引發(fā)他們思考。課始，朱老師創(chuàng)設(shè)“數(shù)學(xué)小魔術(shù)”游戲情境，學(xué)生按照游戲規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，最終得到運(yùn)算的結(jié)果竟然都是1。這樣的設(shè)計，在學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)與本節(jié)課“字母運(yùn)算推理”的教學(xué)之間架起了橋梁，并讓學(xué)生對接下來的學(xué)習(xí)充滿期待。課尾，學(xué)生用習(xí)得的方法解密“數(shù)學(xué)小魔術(shù)”。在從認(rèn)知沖突產(chǎn)生到矛盾解決的過程中，學(xué)生感受到字母運(yùn)算可以幫助我們解釋規(guī)律、推理結(jié)論，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn)，體會到代數(shù)推理的實(shí)際應(yīng)用性。

3.設(shè)置核心問題，引導(dǎo)學(xué)生體會字母參與運(yùn)算的一般性

學(xué)生學(xué)習(xí)本身就是一個復(fù)雜的過程，需要教師精準(zhǔn)把握教學(xué)重難點(diǎn)，并以此為基礎(chǔ)精心設(shè)計能夠引領(lǐng)學(xué)生深度思考的核心問題，將這個復(fù)雜的過程變成一個有意義的學(xué)習(xí)旅程。在探索算式里的規(guī)律這一環(huán)節(jié)，朱老師提出“用含有字母的式子解釋你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”這一要求；當(dāng)通過第一組算式得到（10a-a）÷9=a，通過第二組算式得到（100a-a）÷9=11a之后，朱老師順勢提出“你能照樣子再往下寫一個字母表達(dá)式嗎？”這一問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一般化的表示、概括、推理等活動過程；在探索圖形里的規(guī)律這一環(huán)節(jié)，朱老師提出“如果這里沒有具體的數(shù)據(jù)，還能比較（它們的面積）嗎？”“如果把右圖中兩個三角形的相同頂點(diǎn)挪到這里，它們的面積還相等嗎？”等問題，啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)深入探索。在整個學(xué)習(xí)過程中，朱老師還巧妙地設(shè)置“字母神奇嗎？為什么？”這一核心問題，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)由特殊到一般的思維方式，進(jìn)而達(dá)成符號意識進(jìn)階這一目標(biāo)。

4.拉長學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生體會字母參與運(yùn)算的必要性

要實(shí)現(xiàn)符號意識進(jìn)階，需要學(xué)生在循序漸進(jìn)的多種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象的數(shù)學(xué)化過程，感悟字母表示的簡潔性、概括性和一般性。例如，當(dāng)?shù)玫饺鐖D2所示的左圖中涂色三角形和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等之后，朱老師的教學(xué)并未止步，而是通過挪動右圖中兩個三角形相同頂點(diǎn)的位置，讓學(xué)生體會到用字母運(yùn)算時中間有一步h1+h2，它們的和等于h。只要這個點(diǎn)在平行四邊形里，兩邊涂色部分的面積就相等。這樣教學(xué)，能讓學(xué)生進(jìn)一步體會到字母運(yùn)算推理的價值，從而對其作為一種思考和表達(dá)的重要形式形成認(rèn)同。

總之，符號意識的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，為他們提供合適的探究空間，不斷發(fā)展其識記、理解、應(yīng)用符號的能力，從而促進(jìn)他們有效達(dá)成符號意識進(jìn)階的目標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

［1］孫曉天，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀（小學(xué)數(shù)學(xué)）［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.

（作者單位：南京市金陵中學(xué)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心）