從分數啟航，貫通萬物之理

【摘 要】在數學教學中，引導學生貫通不同單元、不同年級、不同領域的知識，探尋一般的通用策略、方法和思想觀念，能使他們看見更多的一致性，發掘、感悟和打通數學深層次的本質，構建豐富而立體的數學知識結構，形成具有遷移力的核心素養。全景式數學教育團隊創生了全景式數學貫通課，并試圖在達成貫通和立起“歸宗”的基礎上引導學生破“宗”，使他們看見數學更多的可能、更豐富的世界，從而成為更有想法的人?！读眍惖姆謹当容^》就是其中一個范例，演繹了如何打通、破宗以及更好、更多地打開。

【關鍵詞】小學數學；全景式數學；貫通課；分數的大小比較

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）13-0076-05

【作者簡介】張宏偉，南京赫賢學校（南京，211100）學術總監，高級教師，北京市數學特級教師。

聯系觀是唯物辯證法的一個總特征和最基本的認識方法論。聯系具有普遍性、客觀性、多樣性、條件性和可變性。我們全景式數學教育團隊主張用聯系觀看待每一項教學內容、每一次數學學習活動，努力讓學生日常習得的都是“渾身長滿鉤子的知識”，即向前勾連貫通以往所學，向后勾連貫通未來要學，向周圍勾連貫通其他領域、其他學科、社會生活和大千世界……我們還創生了很多貫通不同單元、不同年級、不同領域的知識，引導學生探尋一般的通用策略、方法和思想觀念，看見更多的一致性，發掘、感悟和打通數學深層次的本質，構建豐富而立體的數學知識結構，形成具有遷移力的核心素養的專項研究課，即全景式數學貫通課，如《口訣暢想》《看透運算的真相》《另類的分數比較》等。下面，筆者對《另類的分數比較》這節課的教學實錄和各個教學環節的設計意圖，及其要發展的學生核心素養作詳細闡釋。

一、課前自修的分享和交流

課前，讓學生思考： 比較兩個分數的大小，可以分為幾大類情形？每一類如何比較？并讓學生每一類舉出一個例子進行說明。

課始，學生組內交流各自的想法，匯總提煉出自己小組認同的分類方案，并分享分類、舉例與比較方法，教師相應板書。

課前，讓學生對前期學過的分數大小比較的類型、方法進行自主回顧、梳理，建立知識結構。課上，點明并強調分類、舉例的策略和方法，增強學生的思想方法意識。

二、追溯本質，嘗試“打通”，感悟“通法”

（一）回到學生的舉例1（[13]＜[23]），追溯同分母分數比較的本質

師：這兩個分數的分母相同，其實就是這兩個分數的什么相同？

生：單位相同。

師：分數單位相同，比分子，其實就是比什么？

生：比單位的個數。

師：單位個數多的分數就——

生：大！

師：“分母相同，比分子”本質上是——

生：單位相同，比個數。

（二）回到學生的舉例2（[4/5]＞[4/6]），追溯同分子分數比較的本質

師：“分母相同，比分子”本質上是“單位相同，比個數”，那“分子相同，比分母”本質上是——

生：個數相同，比單位。

師：單位越大，分數就——

生（齊）：越小！

師：個數相同，比——（單位），單位越大，分數就——

生（齊）：越大！

師：個數相同，比——（單位），單位越大，分數就越——

這時，學生有的說大，有的說小，有的公開聲明自己已經凌亂了。

（三）打通一到六年級的比較，覺悟比較大小的數學通法

1.一到六年級的數學比較，含各類數的打通、數與量的打通

師：同學們之所以凌亂了，有一個重要的原因，就是在學習知識時沒有注意隨時和前面學過的內容打通，前后打通是學習數學、研究數學最重要的學法之一。下面，我們就來嘗試把一到六年級的比較打通。一年級比較1元和1角，這是什么相同，比什么？（個數相同，比單位）單位大的就——（大）二年級比較2分米和2米，這是什么相同，比什么？（個數相同，比單位）單位大的就——（大）三年級比較3千克和3噸呢？

生：這也是“個數相同，比單位”，單位大的就大。

師：四年級比較0.4和0.04呢？

生：也是“個數相同，比單位”，因為0.4是4個0.1，0.04是4個0.01，個數同樣是4，但0.4的單位0.1大，所以0.4大。

師：五年級（回到學生的舉例2），你會從單位及其個數的角度來理解和解釋嗎？

生：也是“個數相同，比單位”，因為[4/5]是4個[1/5]，[4/6]是4個[1/6]，個數同樣是4，但[4/5]的單位大，所以[4/5]大。

師：我們六年級還要學習百分數和千分數，10%和10‰怎樣來比較呢？（生反饋略）

2.一題雙通到多通——再度整體通聯、對比“通法一”和“通法二”

師：再回到一年級，現在你能用這兩種比較方法來解釋一下為什么40比4大嗎？

生1：個數相同，比單位，“4個十”比 “4個一”大。

生2：單位相同，比個數，“40個一”比“4個一”大。

師：還有不同想法嗎？（全體學生一致表示沒有了）難道單位只能是“一”和“十”嗎？

不一會兒，學生有了突破性的想法：40是10個四，而4只是1個四，它們的單位相同，都是四，但10個比1個多得多，所以40大。接著，學生又類推想到：40是20個二，而4是2個二；40是40個一，而4是40個0.1……

打破了教材上只把“一、十、百……0.1、0.01……”看作單位的局限，在數的單位上撕開了一道口子，打開了一扇窗，讓學生對“單位”的思考更多元、想法更多、視野更開闊。

3.從分數到數學的提煉與躍升

師：同學們，我們來回顧和反思一下剛才的研究，能發現一到六年級的比較其實是——

生：可以打通的；方法是一樣的，都是……

師：不僅各年級打通了、一致了，而且當單位是正數的時候，比較大小的最后一步也一致了——個數大的就大，單位大的就大。（這里強調正數，在保證目前生活中的通常比較和小學中的數學比較正確的同時，還為未來數學比較的正確性和課后的延伸探究埋下了伏筆，如單位是負數等）

師：同學們，個數相同比單位，單位相同比個數，只是比較分數大小的本質方法嗎？

生：不是，它也是小數、整數和百分數的比較方法；它不僅是數的比較方法，還是量的比較方法……

師：那我們的課題是不是要改一下？

生：應該改成“數學的大小比較”。（師把課題改成“數學的比較”）

4.從數學到萬物的遷移、應用與躍升

師：只有數學是這樣比大?。ǘ嗌伲┑膯幔课覀冸S便找幾個生活實例，你來看看它們分別屬于這兩種基本比較策略的哪一種。（1）A、B用同樣的碗吃飯，A吃了兩碗，B吃了三碗，誰吃得多？（2）寫同樣的5個字，語文老師A讓一個字寫5遍，語文老師B讓一個字寫7遍，哪位老師讓寫的字數多？（3）A月薪5千，B月薪5萬，誰月薪高？（生反饋略）這還僅僅是數學的比較嗎？

生：還是生活的比較，萬物的比較……

師：是啊！也就是說“個數相同，比單位；單位相同，比個數”是——

生：比較萬物多少的通用方法。

（四）回到學生的舉例3（[5/6]＜[6/7]），追溯通分比較異分母分數大小的本質，感悟轉化思想及其與打通思想的聯系

師：“分子、分母都不同”屬于哪種情況的比較呢？

生：單位不同，個數也不同。

師：通分的本質是——

生：把單位不同變成單位相同。

師：你們說的變，就是數學的轉化。這樣就把“單位不同、個數也不同”與“單位相同，比個數”怎么樣了？

生：打通了。

師：轉化就實現了——（打通）打通就可以實現——（轉化）還有別的打通方法嗎？

很多學生一片茫然，教師適時板書這樣一組特別的分數啟發學生思考：[1/350]○[2/711]，通分很麻煩耶！

學生恍然大悟：還可以“通分子”→[2/700]○[2/711]。很快便比較出了它們的大小，繼而感悟到：這是把“單位不同，個數也不同”轉化成了“個數相同，比單位”。

師：通分子可以實現誰和誰的打通？（生反饋略）通分母呢？（生反饋略）通常說的通分指的是通分母。

（五）追本質、悟通法的活動總結

師：以前三種分數比較的本質分別是什么？比較萬物的通法其實只有哪三種基本情況、哪兩種基本方法？

三種基本情況：（1）單位相同，比個數；（2）個數相同，比單位；（3）個數、單位都不同。

兩種基本方法：（1）（2），因為（3）要轉化成（1）或（2）去比。

引導學生透過表面的“同分母比分子、同分子比分母、子母都不同通分”，看見數學比較的本質，感悟聯系、轉化、打通等思想和方法，學會把各年級的相關學習內容打通、把不同類型的知識打通，探尋數學中比較大小的通法，乃至比較萬物大?。ǘ嗌伲┑幕就ǚ?。

三、再開窗——研究分數大小比較的另類N種方法

師：除了以上比較方法，分數還有不一樣的比法嗎？[4/5]和[3/5]還可以轉化成什么來比較？

生：可以轉化成小數來比較，[4/5]=0.8，[3/5]=0.6，因為0.8＞0.6，所以[4/5]＞[3/5]。

師：這其實是聯系學過的哪種知識，和誰進行打通？

生：聯系除法與分數的關系，和小數打通。

師：非常棒！還能想出不一樣的比法嗎？

于是，在教師的引導下，學生陸續產生了下列比法：

1.比它們的倒數，倒數大的反而小

師：還有不一樣的比法嗎？

這時，有的學生說沒有了，有的學生在靜默沉思，最終還是沒有人提出新的比法。于是，教師開始啟發：分數既然可以和小數的比較打通，那么以此類推，分數是不是還可以——

個別學生猶疑地自言自語：和整數打通？

師：給這些同學鼓掌！大膽暢想一下，分數的比較如何轉化成整數的比較？

2.與整數打通，轉化成整數和整數比

有學生提出這樣的猜想：[4/5]○[3/5]，兩個分數都乘5，變成4○3，因為4＞3，所以[4/5]＞[3/5]。

驗證性練習：學生用這種方法比較[5/6]和[6/7]，很快想到“乘分母的最小公倍數”，轉化成了35比36。

3.與整數打通，交叉相乘比

針對[5/6]○[6/7]，有學生提出這樣的猜想：用第一個分數的分子去乘第二個分數的分母，積是35；再用第一個分數的分母去乘第二個分數的分子，得36，因為第一個積小于第二個積，所以第一個分數比第二個分數小。

師：這個方法是不是適用于所有的分數比較呢？我們可以用剛才已經比過、知道結果的題目來驗證，這種方法叫“執果索因”或“執果索法”，就是利用已經證實的結果，去探索得到這種結果的其他原因和方法。你們能給這種比法取個名字嗎？

生：交叉相乘法。

教師適時補充一個相等分數的例子，完善歸納類型。

4.與整數打通，轉化成分數和整數比

師：一定要兩個分數都變成整數嗎？比如，[5/6]○[6/7]還可以——

生：只要乘6或7就可以了。（1）都乘6，[5/6]○[6/7]→ 5○[36/7]，[36/7]大于5，所以[5/6]＜[6/7]；（2）都乘7，[5/6]○[6/7]→[35/6]○6，[35/6]小于6，所以[5/6]＜[6/7]。

5.與整數打通，將其一變成1

師：其中的一個分數能否變成一個更簡單、特殊的整數呢？

生：1。

于是就有了：（1）都乘[6/5]，[5/6]○[6/7]→ 1○[36/35]，[36/35]大于1，所以[5/6]＜[6/7]；（2）都乘[7/6]，[5/6]○[6/7]→[35/36]○1，[35/36]小于1，所以[5/6]＜[6/7]。

6.直除看商

師：以上都是通過運算實現了分數、整數、小數的打通。那它能不能和運算直接打通呢？

學生通過計算很快發現：用前面的分數直接除以后面的分數，如果商大于1，前面的數就比后面的數大；如果商小于1，前面的數就比后面的數小。如[5/6]÷[6/7]=[5/6][7/6]=[35/36]，[35/36]＜1，所以[5/6]＜[6/7]。

師：算上前面的方法，我們已經研究出了十多種比較分數大小的不同方法。你覺得還有其他不一樣的比較方法嗎？

生：有！很多種！

師：這些方法，課本上有嗎？

生：沒有！

師：也就是說，數學要遠比你在課本看見的——（多得多）課本上沒有，你們怎么研究？

生：上網查資料……

師：對！還可以看看數學百科全書、數學讀物，這是學習數學、看見很多不一樣的數學、不一樣的方法的重要路徑。

全景式數學教育的核心理念之一，是“開更多的窗，播更多的種，留更多的芽，點更多的燈，永遠不要輕易給孩子設限，讓他們擁有更多的可能……”。上述教學活動就是在貫徹和落實這個教育主張，是在引導學生跳出課本，嘗試猜想和創生更多不一樣的比法（想法），讓學生體驗到數學猜想、不斷追問、深度思考的力量，感受到數學的神奇，親歷學習和創造數學的快樂，看見比課本上更多的比較方法，看見不一樣的數學，豐富智力背景，培育核心素養。

四、本節課的學習回顧總結和作業設計

師：該下課了，誰愿意來和大家聊聊你的收獲，或者談談與上課前相比，你對比較乃至對數學的看法發生了哪些改變。

教師鼓勵學生把今天學習的另類數學比較的三種基本情況和兩大基本方法分享給家人、伙伴，并激勵他們課后繼續思考和探究：今天學習的兩種基本方法中，如果單位是0或負數，要怎么來比較？為什么？

從學生的感受和總結來看，這節課他們收獲的不僅有數學知識、技能，還有不一樣的比較觀、課堂觀、學習觀、數學觀等，更有超越數學的一般的思想、更核心的素養。讓學生帶著問題走出課堂，在課后續用的同時，繼續進行新的思考，促進他們看見未來（中學乃至大學）的數學學習，看見更多、更完整的數學。

綜上所述，平時教學中的隨時打通和這樣的專項打通課，不僅可以讓學生發掘、探究到各年級同類知識背后共通的、一致的、更深刻的數學本質，以及共通的、一致的思想方法，更重要的是，能使學生對知識的整體性、系統性、結構性理解得更通透、掌握得更扎實、提取得更快捷，增強其遷移和解決問題的能力。同時，也能更好地毓養學生梳理、打通的意識、能力和習慣，有利于培養學生數學的乃至超越數學的、一般的通用核心素養。