基于數學核心素養培養的“二項式定理”課堂教學探究

摘 要：數學課堂是培養學生數學核心素養的主陣地，教師要打造以學生為主體的探究性課堂，以有效激發學生自主學習知識、提升關鍵能力的熱情，讓學生實現核心素養的提升。對二項式定理知識在數學教材中的情況進行了分析，結合實例探究了核心素養引導下的“二項式定理”課堂教學路徑，并在此基礎上探討了基于核心素養培養的數學教學完善策略。

關鍵詞：數學核心素養；高中數學；數學歷史文化；探究式問題；數學模型

作者簡介：范迪飛（1992—），女，浙江省杭州市蕭山區第二高級中學。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出，數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能。數學在培養人的理性思維、科學精神和促進人的智力發展的過程中有著不可替代的作用［1］。高中數學教學旨在培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等素養。在具體的數學教學中，教師要循序漸進，以幫助學生掌握必備知識、形成關鍵能力為目標導向，以數學知識的產生、發展為邏輯線索，構建學習情境，設計數學活動，從而真正提升學生的數學學科核心素養。本文以“二項式定理”的教學為例，闡述基于問題探究、素養提升的數學課堂應該如何設計。

一、基于核心素養培養的教材解讀

“二項式定理”是人教A版高中數學選擇性必修第三冊中的重要課程，被安排在計數原理、排列組合知識之后，隨機變量相關知識之前，既是對計數原理和組合知識的應用，也是解決概率、二項分布相關問題的基礎。“二項式定理”一課的教學旨在引導學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學思維思考世界，培養學生數學抽象、邏輯推理等核心素養。那么基于核心素養培養的課堂教學應如何開展呢？

筆者在一次區級公開課磨課后布置了一道復習題，但是學生的解答情況沒有達到筆者的預期。習題如下：求（x2+x+y）5的展開式中x5y2的系數。此題考查的是三項和的展開式的知識，但其本質還是依托二項式定理、二項展開式的通項公式等知識點。但是一些學生不知如何下手，還有一部分學生將問題轉化，使得解答過程較為復雜。其實結合二項展開式中項的數學本質我們會發現，該多項式5個（x2+x+y）因式中2個因式取了y，2個因式取了其中的x2，1個因式取了x，由此可快速得出結果為·=30。

這次習題的解答情況讓筆者發現，過于關注課堂的活躍度，會使數學課堂缺少思維深度，使得學生只會機械地應用相應的定理進行簡單的計算，無法有效提升學生的數學抽象、邏輯推理等核心

素養。

教師應該站在學生的角度進行思考，深入學生的學習情景中，了解學生的最近發展區，然后在此基礎上構建一個合理的數學邏輯思維生長點，讓學生能結合已學知識理解新的知識，并掌握相應的數學思想和方法［2］，從而促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展。因此，教師在開展數學教學時，要從學生思維過程形成的合理性等角度出發，讓學生掌握數學知識，理解相應的數學思想和方法，使學生掌握“四基”，發展“四能”，實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，最終促進學生數學核心素養提升。基于以上思考，筆者對“二項式定理”一課的教學進行了優化設計。

二、核心素養引導下的課堂教學探究

（一）二項式定理的文化引入

問題1：一個體積為30m3的正方體水庫的邊長是多少？不使用計算器你可以求出邊長（保留2位小數）嗎？

《九章算術》是我國古代一本重要的數學典籍，全書共有九個章節，采用問題集的形式，收錄了246個與生產、生活實踐有關的應用問題，其中記錄了開三次方根的方法。結合相應的方法，我們可以不用計算器解答問題1。首先，我們可以確定的整數部分為3，進而得出=3+x，其中x表示的小數部分；之后，兩邊同時3次方，可得30=（3+x）3=27+27x+9x2+x3，若舍去9x2+x3，可得27x=3，解得x ≈ 0.11，因此 ≈ 3.11。

問題2：根據上述方法，我們得知估算的值需要明確（3+x）3的展開式，那在估算、的值時怎么辦？估算的值時又怎么辦？

在講解問題1時，教師引入《九章算術》的內容，能讓學生充分感受到中國古代數學文化的魅力，從而激發學生的愛國熱情和民族自豪感。問題2的設置能讓學生認識到二項式定理與開高次方根的關系，并能為后續學習（a+b）n展開式的知識做鋪墊。

（二）二項式定理的本質探究

探究一：展開式項的數學本質探究

問題3：在古代，《九章算術》就對（a+b）2、（a+b）3的展開式進行了研究，那么（a+b）n如何展開，我們應該怎樣研究問題“（a+b）n=？”呢？

問題4：根據多項式乘法運算法則，（a+b）2的每一項是如何產生的？展開式中一共有幾項？

問題5：（a+b）3的每一項是如何產生的？展開式中一共有幾項？

問題3的設置為學生提供了一個探索空間，能引導學生從n=1、n=2、n=3這三種特殊情況入手，研究其規律，掌握從特殊到一般的數學研究方法。問題4能引導學生發現（a+b）2是2個（a+b）相乘，讓學生探究展開式項的數學本質。問題5則是問題4的進階，能讓學生明確多項式展開式項的數學本質。這三個問題能使學生的思維處于“提出問題、思考問題、解決問題”的狀態中，培養學生的數學抽象和邏輯推理的核心素養。

探究二：展開式中項的個數的數學模型構建

問題6：在合并同類項前，（a+b）3的展開式一共有8個項，請大家思考（a+b）3展開式中a2b的系數，并思考該系數是怎么得到的？

問題7：在三個相同的盒子中均有相同的a、b球各1個，現分別從每個盒子中取出一個球，根據球的類型，摸出的3個球可以分成幾類？每一類共有多少種情況？

問題8：能否依托上述的摸球模型，用組合數來重新表示（a+b）3的展開式？每一項的形式有什么共同點？

問題9：結合上述過程，你能否利用組合數寫出（a+b）2和（a+b）4的展開式？

問題6能引導學生求解（a+b）3的展開式，讓其明白a2b的系數與同類項合并有關，從而為后續的類比推導做鋪墊。考慮到學生很難將二項展開式和計數原理聯系在一起，所以筆者設置了問題7，將項的形成轉化為數學模型，通過數學模型降低知識學習難度。學生根據經驗可知摸出的3個球可以分為4種情況，結合計數原理可知2個a球和1個b球的情況的數量可以表示為=3，類比可知3個a球、1個a球和2個b球、3個b球的情況的數量。問題8能引導學生利用組合數表示（a+b）3=a3+a2b+ab2+b3，并讓其結合項的數學本質明確展開后每一項的形式為a3-kbk。問題9是計數原理的再次應用，可讓學生總結發現（a+b）2和（a+b）4展開式的規律。

在此教學環節中，筆者利用數學建模的方式將展開式中項的個數問題轉化為摸球模型，這有利于提升學生的數學建模核心素養。同時，筆者結合階梯式問題抽象出研究的對象，讓學生經歷完成實踐、觀察、猜想、類比推導的過程，這能讓學生學會用數學的眼光觀察世界，提升學生的數學抽象和邏輯推理素養。

探究三：二項式定理的總結歸納

問題10：對于任意的正整數n，（a+b）n的展開式如何表示？項的個數是多少？項的系數、形式如何表示？

問題11：你能否對上述猜想進行說明？

問題10能讓學生利用由特殊到一般的數學思想得出（a+b）n的展開式，并明確各項的系數、形式等。而問題11能再一次讓學生認識到（a+b）n是n個（a+b）相乘，展開后的每一項是由每個（a+b）取出a或b相乘形成，所以展開后每一項的形式為an-kbk。最終（a+b）n的展開式如下：（a+b）n=an+an-1b+……+an-kbk+……+bn（n∈N*）。

（三）二項式定理的實踐應用

如何正確有效地求解展開式中項的系數是學生的學習難點，為此筆者設置了如下習題。

例1：求（x+1/x）6的展開式。

例2：求解（1+2x）7的展開式的第4項的系數和二項式系數。

上述兩道例題能幫助學生鞏固二項展開式的知識，讓學生明確二項展開式的第k+1項是Tk+1=an-kbk，充分理解二項式定理。在講解完以上兩道例題后，筆者設置了兩道練習題。

練習1：求（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）的展開式中

含x4的項的系數。

練習2：求（1+x+x2）（1-x）10的展開式中x4的系數。

這兩道練習題在考查二項式定理知識的同時也考查了分類思想，將計數原理和二項式定理進行了有效結合，能提升學生邏輯推理核心素養。

三、核心素養滲透下的教學環節的完善

數學核心素養是具有數學學科特征的思維品質和關鍵能力的綜合體現。數學核心素養的六個方面既相互獨立又相互關聯，在不同的知識體系中發揮著不同的作用，需要教師在教學中合理把握。

（一）依托真實的數學史料，挖掘數學現實

意義

數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。學生數學素養的提升不僅體現在其能用數學的思維思考問題，用數學的方法解決問題，還體現在其對數學知識的歷史發展有所了解，能認識到數學文化的特殊性和價值性。

二項式定理與高次冪開方問題的解決有關，在課堂教學中，教師要告訴學生二項式定理是如何產生的，并讓學生在課后了解二項式定理的完善和發展的過程，以此讓學生真正意識到數學知識源于對現實世界的抽象，是解決實際問題的有效工具，數學教學具有重要的現實意義。

（二）尋找適宜的教學方式，提升數學抽象

素養

在數學課堂教學中，教師不僅要教給學生數學知識和技能，還要培養學生的理性精神，讓學生正確理解數學知識，并應用數學思想和方法創造性地解決實際生活中的數學問題。這要求教師在課堂中運用適宜的教學方式，設置適當的問題串，把握學生的思維方向，提升學生的思維深度。

二項式定理是初中的乘法公式的拓展，是計數原理的后續學習內容，因此教師要充分應用計數原理知識分析二項展開式，研究（a+b）3的展開式并類比推導（a+b）n的展開式。教學中，教師要依托一系列層層深入的問題串，激發學生探究結論的興趣，使學生的思維始終處于“提出問題、思考問題、解決問題”的狀態中，從而提升學生的思維品質［3］。

（三）設計精準的數學活動，培養數學建模

素養

學習知識的最佳途徑是自己去發現，因為這種發現能讓人理解更深刻。教師要創設各類針對知識生成和發展的精準化數學活動，設置一系列具有啟發性的問題，通過數學課堂探究促進學生數學核心素養的提升。

本節課利用計數原理來推導二項式定理，看似知識的生成是自然而然的，但其實這種方式的難點在于跨領域知識的運用，學生很難將二項展開式和計數原理聯系起來。為了降低問題難度，筆者設置了盒子內摸球的探究活動，并將結論進行遷移，展示了數學建模的優勢，以此提升學生數學建模核心素養。

（四）注重數學的層次教學，強化邏輯推理

素養

在數學課堂教學中，教師要尊重學生個體的認知差異，循序漸進地幫助學生實現從低到高的跨越式提升。這就需要教師充分掌握學生學情和相關知識，構建層次化教學模式，讓每一位學生都能找到適合自己的學習路徑。

在本課中，筆者在講解二項式定理的知識時采用了從特殊到一般的數學思想，根據（a+b）2和（a+b）3的展開式得出了（a+b）n的展開式，但并沒有嚴格的證明。對此，邏輯素養較高的學生在課后可以運用數學歸納法來證明，以此感受數學的嚴謹性，培養邏輯推理核心素養。

數學的學習是學生體驗的總和，而非教師經驗的集合。教師在課堂教學中要以學生發展為本，摒棄經驗化的課堂設計，站在學生的角度優化課堂結構，創設合理的數學模型，設置有梯度的探究情景、問題和活動，以真正地讓學生參與到課堂教學中，真正地啟發學生思考，培養學生的數學思維品質，提升學生的數學核心素養。

［參考文獻］

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］毛鈺欣，李祎.注重內容前后銜接 促進知識邏輯生長：以“二項式定理”的教學為例［J］.數學通訊，2022（24）：6-8.

［3］何磊，馮津爽.“二項式定理”教學設計［J］.中國數學教育（高中版），2017（1）：98-101