創新場景設置，合理變式拓展

劉蘋

摘? 要：數列解答題的創新設置，是數列模塊知識考查與應用的一個重點與難點，成為新高考數學試卷中的一個熱點問題.基于一道T8聯考的數列解答題，從“插項方式”構建一個新數列入手，剖析問題的創新形式與解決方法，合理變式與拓展應用，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：數列；創新；變式；拓展

在新課標、新教材、新高考的“三新”背景下，T8聯考是其中一個具有典型代表的國內新高考聯盟模擬考試，其模擬試卷具有高度原創性、應用性、創新性等，成為高中學校和教育研究領域專家研究與學習的一個重要平臺.

特別是2024屆高三第一次學業質量評價數學試題，數列解答題出現在第21題的位置，難度有所提升，同時合理交匯了數列的插項模型、創新定義模型等不同形式，融合不等式及其應用，使得數列問題更加綜合與創新，為數列模塊的課堂教學、教學研究等方面提供一個重要題源，成為數學課堂教學與學習的一個重要來源.

1? 問題呈現

^^（2024屆高三第一次學業質量評價數學試題·21）&&

已知數列{an}為等差數列，公差d>0，等比數列{bn}滿足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）若將數列{an}中的所有項按原順序依次插入數列{bn}中，組成一個新數列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，a7，b4，…在bk與bk+1之間插入2k－1項{an}中的項，新數列中bn+1之前（不包括bn+1）所有項的和記為Tn，若dn=a2nan+12n-1Tn+2+2，求使得［d1］+［d2］+［d3］+…+［dn］≤2 023成立的最大正整數n的值.（其中符號［x］表示不超過x的最大整數）

此題以等差數列與等比數列為問題場景，條件中通過給出兩個數列的首項以及前幾項的關系式，第（1）小問中，通過聯立方程組的形式來確定相應的公差與公比，比較簡捷地確定兩個數列的通項公式.而第（2）小問中，基于第（1）小問中確定的等差數列與等比數列，利用數列的插項形式來構建一個新數列，通過遞推關系式的給出，以及創新定義的應用來建立相應的數列不等式，為創新應用提供情景，給問題的解決制造更多的障礙，可以較好地加以區分.

2? 問題破解

解析：（1）設等比數列{bn}的公比為q（q≠0），依題意可得a1=1，b1=2.

則有2q=1+1+2d，

2×2q2=5（1+2d）+1.

解得d=1，

q=2，或d=-12，

q=12.（舍去）

所以an=n，bn=2n.

（2）新數列中bn+1之前的所有項中，含有{an}中的項共有20+21+22+…+2n－1=2n－1項.

所以Tn=（1+2n-1）（2n-1）2+2（1-2n）1-2=22n－1+3·2n－1－2.

所以dn=a2nan+12n-1Tn+2+2=n2n+112n+3+2=n2（n+1）（2n+3）+2n2n+1=n2（n+1）（2n+3）+2n+1+2（n－1）=n2+2（2n+3）（n+1）（2n+3）+2（n－1）.

下證當n≥2時，0

接下來，給出幾種不同的解題方法：

解法1（二項式定理轉化法）：由于（n+1）（2n+3）－n2－2（2n+3）=（n－1）2n－n2+3n－3.

而結合二項式定理有2n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn，則當n≥2時，2n≥n+2.

所以（n－1）2n－n2+3n－3≥（n－1）（n+2）－n2+3n－3=4n－5>0.

所以當n≥2時，0

當n=1時，d1=1110，故［d1］=1.

所以［d1］+［d2］+［d3］+…+［dn］=1+2［1+2+…+（n－1）］=n2－n+1≤2023，即n2－n=n（n－1）≤2022，則滿足不等式的最大正整數n=45.

解法2（數列通項轉化法）：當n≥2時，要證0n2+2（2n+3），即證（n－1）2n>n2－3n+3.

將（n－1）2n視為數列{cn}的前n項和，易得cn=n·2n－1（n≥2）.同理，將n2－3n+3視為數列{en}的前n項和，易得en=2n－4（n≥2）.

于是只須證n·2n－1>2n－4，即證2n－1>2－4n.

又由2n－1≥2>2－4n，得證當n≥2時，0

以下部分同解法1，則滿足不等式的最大正整數n=45.

3? 解后反思

解決問題的第一個關鍵點就是確定dn的表達式，而這里的一個解題關鍵就是有關數列插項問題.處理數列插項問題的前提是：明確插項方式，基本方法是從一般到特殊，由具體項到前n項總結規律；解題關鍵是：確定項數.

解決問題的第二個關鍵點就是取整的創新定義，而此時解決問題的重點就是dn的表達式的轉化，利用取整的定義，從一個分式中分離出整數的核心思路就是分子向分母“趨同”變化，進而來確定分離出來的分式表達式的取值范圍為（0，1），通過數列不等式的證明來轉化與應用.

證明以上對應的數列不等式，是放縮與處理的關鍵所在.而解法1中，欲說明00，其中指數項2n，與nα不屬同類不易化簡說明，于是“趨同”，即通過二項式定理展開、放縮、指化冪，再進行比較.特別要注意的是，二項式定理應用的邏輯就是“趨同”，就像導數中遇到ex通過切線放縮將ex向xα趨同，基本思維方式是同一個道理.而解法2中，當要證含有指數項的不等式時，可以利用數列視角，將該指數項視為數列的前n項和（或通項），進而轉換視角，尋求轉機，也是解決問題時比較常用的一種思維方式.

4? 變式拓展

依托原問題中的“插項方式”構建一個新數列這一創新思維，合理變化數學思維，通過兩個數列中的對應項的“重排”或“刪項”等其他思維方法，巧妙構建一個新數列，合理變形與拓展.

4.1? 重排變形

變式1? 已知數列{an}為等差數列，公差d>0，等比數列{bn}滿足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；

（2）將數列{an}和{bn}中的所有項按從小到大的順序排列組成一個新數列{cn}，求數列{cn}的前2024項和T2024.

解析：（1）同原問題，解得an=n，bn=2n.

（2）由于當n≤10時，bn=2n≤210=1024<2024；當n≥11時，bn=2n≥211=2048>2024.

所以數列{cn}中，含有數列{bn}中的項有10項，含有數列{an}中的項有2014項.

所以T2024=2014×（1+2014）2+2（1-210）1-2=2031151.

4.2? 刪項變形

變式2? 已知數列{an}為等差數列，公差d>0，等比數列{bn}滿足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）若數列{bn}的第m項bm，滿足??? （在①②中任選一個條件），k∈N*，則將其去掉，數列{bn}剩余的各項按原順序組成一個新的數列{cn}，求數列{cn}的前20項和S20.

①log4bm=ak；②bm=3ak+1.

解析：（1）同原問題，解得an=n，bn=2n.

（2）若選①log4bm=ak，則有log42m=k，即m=2k，k∈N*，故數列{bn}剩余的項就是原數列的奇數項，相當于剩余的項組成的數列{cn}是以2為首項，4為公比的等比數列.

所以S20=2×（1-420）1-4=23（240－1）.

若選②bm=3ak+1，則有2m=3k+1，因為m∈N*，k∈N*.

所以當m=2n時，對應的k=4n-13=（3+1）n-13為整數，此時成立；當m=2n－1時，對應的k=4n2-13=（3+1）n-26不為整數，此時不成立.

故數列{bn}剩余的項就是原數列的奇數項，相當于剩余的項組成的數列{cn}是以2為首項，4為公比的等比數列.

所以S20=2×（1-420）1-4=23（240－1）.

5? 教學啟示

數列解答題中的創新形式與創新設置多種多樣，由傳統比較常見的存在性、探索性、應用性與開放性等形式，增加了兩個及以上數列中的對應項的重新排列與組合問題，使得問題場景更加豐富多彩，特別是本文中給出的“插項方式”“重新排列（按一定次序）”“刪項方式”等的創設，問題場景更加靈活多變，巧妙融入數列的基本概念、基本性質與基本公式，借助兩個特殊數列（等差數列與等比數列）的模型構建與應用，同時也融入其他知識，如函數與方程、不等式等，通過合理的數學運算，巧妙的邏輯推理，全面考查數學“四基”以及考生的數學能力，成為高考命題中一個常考常新的基本點.