基于“三會”的課堂教學(xué)設(shè)計與思考
——以“平方差公式”為例

? 新疆新源縣教育局教學(xué)研究中心 張秋菊

“三會”即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.那么,這些素養(yǎng)要求在課時教學(xué)中該如何具體落實呢?下面以“平方差公式”這節(jié)課為例,談?wù)劵凇比龝钡恼n堂教學(xué)設(shè)計與思考.

1 教學(xué)分析

本節(jié)課是人教版教材八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解的”第二小節(jié)“乘法公式”第一課時的內(nèi)容.

1.1 從教學(xué)內(nèi)容上看

首先,這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了冪的相關(guān)運算性質(zhì)、多項式乘法的基礎(chǔ)上,自然過渡到對具有特殊形式的多項式的乘法的研究.從教材編排也可以看出,對具有特殊形式的多項式相乘,在多項式乘法的例題、練習(xí)與習(xí)題中都有滲透.例如,在多項式乘多項式的練習(xí)中,對(x+p)(x+q)這種含有相同字母且另一項為常數(shù)的兩個一次二項式相乘也專門做了探究.

1.2 從學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累上看

學(xué)生在學(xué)習(xí)第一小節(jié)內(nèi)容時,已經(jīng)積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,也就是說對從特殊到一般這種研究數(shù)學(xué)問題的過程比較熟悉.每條性質(zhì)、法則都是經(jīng)歷“計算—觀察—猜想—驗證—證明”得出的結(jié)論,而且都強(qiáng)調(diào)用多種方式表征法則,因此學(xué)生對于用圖形驗證法則也并不陌生,這些都是本節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).

1.3 從后續(xù)學(xué)習(xí)的影響上看

“平方差公式”在后續(xù)的應(yīng)用非常廣泛,是第三小節(jié)學(xué)習(xí)因式分解,下一章分式的化簡,九年級一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ).當(dāng)然本節(jié)課作為“乘法公式”的第一課時,為后續(xù)完全平方公式和其他乘法公式的學(xué)習(xí)提供了研究思路和方法.

1.4 課標(biāo)要求及目標(biāo)確定

課標(biāo)明確指出:知道平方差公式的幾何背景,用公式進(jìn)行簡單的計算和推理.感受數(shù)式通性,建立符號意識,將數(shù)學(xué)結(jié)論一般化,提升運算能力.從教材來看,也為公式生成、推導(dǎo)、驗證、表述、辨析、運用,提拱了非常豐富的素材.

基于以上認(rèn)識,將本節(jié)課目標(biāo)確定為:掌握平方差公式,能運用其進(jìn)行簡單的計算;經(jīng)歷公式的探究過程,用不同方法驗證公式的合理性;體驗特殊到一般、具體到抽象的研究過程,發(fā)展幾何直觀素養(yǎng),感受數(shù)形結(jié)合思想.

本節(jié)課的重點是公式的探究及應(yīng)用,難點是對公式結(jié)構(gòu)特征的理解和幾何驗證.

2 教學(xué)設(shè)計

活動一：情境引入.

引導(dǎo)學(xué)生回憶多項式乘法法則.

問題1不改變二項式的結(jié)構(gòu),將因式中的項特殊化,會有哪些情況?請舉例說明.

問題2(一項相同一項相反,兩項都相同)這些特殊形式的二項式相乘,結(jié)果有規(guī)律可循嗎?

活動二：探究平方差公式.

結(jié)合前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗規(guī)劃研究路徑.〔特例計算—觀察猜想(符號語言描述)—驗證證明—得出結(jié)論(文字語言描述)—應(yīng)用結(jié)論.〕

問題3請寫出1～2個具有上述形式的特例,并計算出結(jié)果.

問題4通過觀察,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用符號語言表示出你的猜想嗎?

問題5如何驗證你猜想的正確性?

問題6你能用文字語言描述這一結(jié)論嗎?

活動三：辨析平方差公式.

問題7對比多項式與多項式相乘和平方差公式,你能說說它們的異同與聯(lián)系嗎?

問題8說一說下列算式能否運用平方差公式計算?

(1)(x2+3)(x2-3);

(2)(-7+2x)(2x+7);

(3)(3s-10t)(10s-3t);

(4)(-m+5)(-m-5);

(5)(m+n-p)(m+n-p);

(6)(m-n)(n-m).

問題9寫一寫.在括號內(nèi)填上怎樣的代數(shù)式才能利用平方差公式進(jìn)行計算?

(1)(2a+b)( )=______;

(2)(-a-b)( )=______.

活動四：運用平方差公式.

例1運用平方差公式計算:

(1)(3x+2)(3x-2);

(2)(-x+2y)(-x-2y).

例2計算:

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);

(2)102×98.

對于例2的第(2)小題,引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)思維過程.

活動五：幾何驗證.

你還有其他驗證平方差公式的方法嗎?

在利用圖形驗證的過程中,可以從左往右,也可以從右往左對公式特征進(jìn)行分析,這也是深化學(xué)生對公式理解的過程.同時由式到形,從抽象到具體,也是學(xué)生發(fā)展幾何直觀、感悟數(shù)形結(jié)合思想的過程.

活動六：歸納創(chuàng)新.

通過本節(jié)課,你學(xué)習(xí)了哪些知識?你是怎樣學(xué)習(xí)這些知識的?用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你對后續(xù)學(xué)習(xí)還有什么期待?

課堂歸納小結(jié)的四問,分別對應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)中基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和基本思想方法等,通過梳理進(jìn)一步落實“四基”“四能”.另外,通過結(jié)構(gòu)化的圖式,將隱形的探究過程顯性化,引導(dǎo)學(xué)生主動將研究平方差公式的過程遷移到下一課時“完全平方公式”的學(xué)習(xí)中,甚至更多公式的探究中,或者是公式深層次的探究中,這也是本節(jié)課數(shù)學(xué)教育的價值所在.

3 教學(xué)設(shè)計與思考

3.1 關(guān)于教學(xué)設(shè)計——“三會”落實的出發(fā)點和落腳點

教學(xué)設(shè)計的首要問題是為什么而教?為知識而教與為素養(yǎng)而教是新舊教學(xué)理念的根本分水嶺.同時我們也知道,在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時,知識是載體,素養(yǎng)是目標(biāo),活動是橋梁.

以本節(jié)課為例,這些活動安排主要體現(xiàn)了以下幾點:

(1)重視公式的獲得過程.本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況,將教學(xué)起點確定為將一般的兩個二項式相乘,項的逐步特殊化是否能得到結(jié)論的特殊化?由此引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題、分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷歸納概括事物本質(zhì)的過程,使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法認(rèn)識問題,用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,這也是落實數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的重要途徑.

(2)重視公式的生成過程.以探究數(shù)學(xué)問題的一般路徑為引導(dǎo),通過舉例、計算、觀察、歸納、猜想、代數(shù)推理、幾何驗證等環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想、證明結(jié)論,其實這就是用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,是落實邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的過程.

(3)重視公式的辨析及應(yīng)用過程.例如用公式進(jìn)行簡便運算,即構(gòu)建平方差公式模型解決問題,并通過分析式子的結(jié)構(gòu)特征、從數(shù)據(jù)中挖掘信息等,還有公式的文字、符號、圖形語言的描述,這些其實都是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界,提升了學(xué)生的模型觀念和數(shù)據(jù)觀念.

3.2 關(guān)于教學(xué)理解——整體關(guān)聯(lián)、主動建構(gòu)

(1)從知識層面來說,關(guān)注知識整體結(jié)構(gòu),從多項式乘法中來,到多項式乘法中去.將平方差公式放到整式乘法的學(xué)習(xí)體系中來看,無非就是把某些特殊形式的多項式相乘寫成公式的形式,以后遇到相同形式的多項式相乘,就可以直接利用公式.因此,知識的獲得過程是從多項式的乘法中來.而學(xué)生學(xué)習(xí)完公式后可將其納入多項式的乘法,找出它們之間關(guān)聯(lián),其目的是讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)其特殊性,并弄清研究價值,建立起新知與舊知的聯(lián)系,順利將本節(jié)知識納入到原有知識結(jié)構(gòu)之中,加深學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)化的理解,讓知識自然生長.

(2)關(guān)于學(xué)法層面,從以往經(jīng)驗積累來,到未來探究運用中去.本節(jié)課在情境引入部分沒有直接給學(xué)生提供探究資料,在探究環(huán)節(jié)沒有分步做引導(dǎo),而是以情境、問題、任務(wù)、小項目的方式間接呈現(xiàn)探究內(nèi)容,推進(jìn)學(xué)習(xí)過程,這樣倒逼學(xué)生必須主動去建構(gòu)、去經(jīng)歷、去參與、去探究、去完成.通過歸納小結(jié)的梳理,再次明確公式探究路徑,為后續(xù)探究提供思路.

3.3 關(guān)于教學(xué)活動,從淺層次學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)

以幾何圖形驗證這一環(huán)節(jié)為例,教材用圖形給出平方差公式的兩種表述形式,提出了一個思考問題:你能根據(jù)圖形中的面積說明平方差公式嗎?如果教師在這一環(huán)節(jié)僅將該圖形展示給學(xué)生,對“怎么驗證?為什么這樣驗證?你是怎么想到這樣驗證的?”等避而不談,這對學(xué)生來說只是一種淺層次學(xué)習(xí),只是增加了直觀感受,對提升思維能力及感受數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性并沒有實質(zhì)性的推動.因此,落實素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué),要求我們必須引領(lǐng)學(xué)生從淺層次學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí).Z