朱載堉的新法密率

說起朱載堉的成就，人們立刻會說，他發明了十二平均律（朱氏自稱為“密率”）。這個發明不僅在音樂理論方面的首創， 而且被定位在世界科技史范疇：第一個用數學方式設計了十二平均律，為音樂實踐方面的轉調發展提供了音律規定性的解釋， 這是一種十分重要的實用體系， 在今日的音樂實踐中是常態化的運用。但是，雖然創建了如此精彩的學說，朱載堉卻是孤獨的。當他充滿虔誠地將其畢生學術結晶《樂律全書》進獻給朝廷，詳細而全面地論述了他的新法密率①和音樂在禮制系統中的意義、功能，卻只得到明神宗“留心樂律，深可嘉尚”的贊譽，宮廷只是將其“宣付史館，以備稽考，未及施行”，《明史·樂志》也只字未提朱載堉的新法密率。《四庫全書總目》對新法密率的評價也多有貶抑之意：“載堉云句股術者，飾詞也……非句股法所能御，而亦以句股言之，未免過于秘惜以塗人耳目耳。”

一、樂律學的家學傳統

朱載堉的世界性榮譽口碑來自于西方學者，李約瑟在《中國科學技術史》一書中高度贊揚了朱載堉在樂律學方面的貢獻：“毫無疑問，首先從數學上系統闡述平均律的榮譽應歸之中國。”③

朱載堉的“留心樂律”有其家學傳承。他既得其父朱厚烷指導，又私淑于何瑭。在《進律書奏疏》中他述及：

……臣父恭王厚烷存日，頗好律歷……昔年居鳳陽時……親寫操縵譜稿，藏諸篋笥，還國出以示臣，且諭臣曰：“爾宜再潤色之，為我著成一書，以便觀覽。”及有口授，指示甚詳。臣既受教，乃于暇日采古今傳記及先儒舊說，續以新聞，附以愚見，著成琴瑟《操縵》《旋宮》等譜啟進。臣父覽之，頗以為然。

在《進律書奏疏》開篇即說明其寫作使命為“述家學，成父志”。⑤這充分證明《樂律全書》中的核心觀點、理論是朱氏父子兩代人的思想結晶。

《樂律全書》包含樂學、律學、算學、舞學、歷學五大類共十四種書， 儼然百科全書式的寫作成就。朱載堉在《樂律全書》之《算學新說》弁言中寫道：“臣所撰《新說》凡四種：一曰《律學》，二曰《樂學》，三曰《算學》，四曰《韻學》。前二者其書之本原，后二者其書之支派，所以羽翼其書者也。”⑥從朱氏的自述來看，在他的認識中，律學為體，樂學為用，而算學、韻學這類小學則屬工具。

《律學新說·序》作于萬歷十二年春（1584），故《律學新說》的成書時間當在1584 年以前。此序提到了《律呂精義》的內容，這為判斷《律呂精義》的成書時間提供了新的依據。《律呂精義·序》雖作于1596年，但序中說：“茲奏明詔征取律書，謹將舊稿刪潤以獻。”這表明鄭世子響應詔書，獻上故往的成稿，足見《律呂精義》早已成書。在這里格外強調《律呂精義》的成書時間，涉及十二平均律首創權的判斷。因為在16 世紀末， 有荷蘭人西蒙·斯臺文（Simon3Stevin，1548－1620） 也計算出十二平均律。《律學新說》數次提及《律呂精義》⑦和《算學新說》，表明這兩書在《律學新說》的寫作過程中亦當為案頭參考。有觀點認為《律呂精義》甚至早于《律歷融通》（成書于1581年之前）。這個觀點的根據來自于《律歷融通》附錄《音義》篇中引用《律呂精義》的文字。朱載堉在1595年的《進歷書疏》中提到；“為此具本，將臣昔年所撰《律歷融通》四卷、《音義》一卷，并臣近年新撰《圣壽萬年歷》二卷，《萬年歷備考》三卷，共為十冊，裝潢成帙，暨表文一通。”這篇“昔年所撰”的《音義》是為注釋《律歷融通》而作，二者的前后關系不言自明，所以《音義》的著錄時間與《律歷融通序》相近或相同，即1581 年或之前不久。如此一來，《音義》的信息輾轉加強了《律呂精義》成書于1581—1584 年間這個認識。筆者認為《律學新說》和《律呂精義》是互相發明，各有側重的寫作， 而且存在著在大致相同的時間段中同時并進的寫作狀態。有學者認為斯臺文是受到朱載堉學說的啟發而完成十二平均律的計算， 但通過仔細分析斯臺文的思路和計算方法， 可以明確地說，斯臺文是獨立完成他的思考和計算，并且質量遜于朱載堉的數據。

總之，雖然《樂律全書》于1606 年全部刊刻完畢，但“新法密率”，即現代所稱的十二平均律理論完形并完整陳述大致在1584 年以前，為清晰起見，將上述信息列表如下：

二、朱載堉樂律學成就

朱載堉最重要的樂律學著作是《律學新說》和《律呂精義》。這兩部重要的樂律學著作，其律學思想、論辯主旨一以貫之，計算數據互相滲透，各有側重，大體上是同時期成書的姊妹篇。

1.《律學新說》之意義

前文已述，《律學新說》是在《律學四物譜》基礎上刪冗汰繁，改寫而成。從《律學四物譜》序言可見朱載堉在前后兩稿的寫作過程中，中心思想已經發生變化，所以不宜視為《律學四物譜》之刪節版。列表比較如下：

朱載堉在《律學四物譜·序》中說：“聲無形而樂有器，古之作樂者，知器之必有敝，而聲不可以言傳，懼器失而聲遂亡也，乃多為之法以著之。故始求聲者以律，而造律者以黍。”⑨意思是說，因為聲音不可留，樂器也會壞損，所以要研究聲音的內在屬性，即“律”，需用黍來表達律的規定性。但他更認識到度、量、衡“是三物者，亦必有時而敝，則又總其法而著于數……以有數之法，求無形之聲”。他也看到了黍是不可靠的，度量衡器也有壞損時，所以他力求使律建立在數度上，在《律學新說》中，黍譜已然消失而讓位于“律數”（見表2）。

他在《律學新說序》中又說：“古之圣人推律以制器，因器以宣聲，和聲以成音，比音而為樂……以理論之，長短之形，律之本也。是故有定形而后有容受之積，有真積而后發中和之音，有正音而后感天地之氣。”⑩這里是說，“律”是“文之以聲”的法則，即旋律綿延中音和音之間連續有其內在運動的規律，這是音樂發展的力量來源；數度則是律呂的表達，這是說音律運動要通過數理關系來表達；推律制器而宣聲。古人推律制器，二者的關系是：推演數度是律呂的表達，制器作樂得以宣聲達情。在行周禮大樂時， 律度量衡是樂之根本。《周禮·春官宗伯》“大司樂”職樂官設置中有“大師”“典同”兩個樂官職位，分別從樂、樂教和樂器掌管“六律六同合陰陽之聲” 相關事宜。這可以看作是反映了當時禮樂制度在律度量衡方面的執行體系。

《尚書·舜典》強調：“協時月，正日；同律度量衡。” 這表明古人有關音律的學問是深入而全面的， 他們對發音振動體材料的數度把握已經有了全方位的論述。數度無外乎律器之長短、多少、輕重，這便是律、度、量、衡互為表里，相須而用的關系。這樣就擺正了度、量、衡是對無形之聲的有形表達，而非長期以來認為的度、量、衡出于律。朱載堉格外強調度、量、衡是對無形之聲的有形表達，這個認識符合事物本質，也符合歷史邏輯的關系。但在漫長的樂律學史中， 卻長期存在一種顛倒的認識，以為度、量、衡出于律。朱載堉本來是以討論律與器的數理問題為寫作初衷的， 但在長年研究益窮求至的過程中，理出一個線索，認為在律學研究的過程中，自王莽、劉歆就已經偏離律呂之理，至宋胡瑗、范鎮、蔡元定等，更加不識律亦不識嘉量，尤其蔡元定論律本，其失過甚，但卻影響久遠。認為其誤論猶如紫奪朱，鄭亂雅，不可不辨。他在《律學新說》序末感慨道：“蔡氏于律學，可謂功之首，罪之魁也。”所以寫作的重點轉為批判劉歆、蔡元定舊說，故名《新說》。

《律學新說》卷一中已經詳細列出密率數據，略述如下：“密率律度相求第三”一節中列出橫黍度數和縱黍律長，雖然沒有給出計算方法，但十二個橫黍度數是準確的密率數據，每相鄰兩律間的等比數為“密率求方積第四”列出十二律的體積數據，以立方分為單位。

下引片段是朱氏“求積實新法”：置黃鐘橫黍度長十寸，自乘得一百寸，倍之得二百寸為實，開平方法除之， 得一十四寸一四二一三五六二三七三○九五○四；進一位命作立方積一百四十一寸四百二十一分三百五十六厘二百三十七毫三百○九絲五百○四忽為實，別將律數十二自乘得一百四十四為法除之，得黃鐘積實。

以上這段話可以轉寫為算式：

密率求圓冪第五”給出了徑求周、周求徑、周求積、徑求積、積求徑、積求周的方法，可以逐一轉寫成公式，然后給出十二律面冪數據（圓面積數據），等比數為1.0594630……

“密率求周徑第六”，給出了十二律管長短廣狹及內外周、內外徑。分析其數據可知，十二律長度，每相鄰兩律比值為12根號下2；內外周、徑，每相鄰兩律間比值為12根號下2。

《律學新說》雖然沒有解釋這些數據是怎么得出的，但長度、面積、方積、律管的內、外周長和內、外徑，每單元的數據都呈等比關系。可見朱載堉在寫作《律學新說》時已經有非常完善成熟的思考和計算。

2.《律呂精義》之意義

律呂精義》序：“《律呂精義》乃臣父之遺志，而臣愚所述也。分為內外二篇： 內篇主聲數者為本；外篇主辨論者為末。雖則祖述前賢，師法往古，然非宋以來律家常談也。”

此書的寫作使命是朱載堉感慨于樂律之學的核心內容本是“夫樂也者，聲音之學也；律也者，數度之學也”。但先儒前賢多不留心于此，以義解律，穿鑿過甚。尤患“律呂之學，乖謬久矣”，將“埋管飛灰”“吹簫引鳳” 這些樂律之末的虛說妄言神之為重，卻誣蔑眼見之實理。朱載堉認為若任由此妄說泛濫，必使樂學絕傳。是故，朱載堉強調：“論聲調數術，矯史家之弊。”而他的核心觀點是：“新法不用三分損益，不拘隔八相生，其義益精”。又說：“律由聲制，非由度出，制律之初，未有度也。度尚未有，則何以知黃鐘乃九寸哉！ 以黃鐘為九寸，不過漢尺之九寸耳，周尺則不然也，商尺又不然也，虞夏之尺皆不然也，黃帝之尺亦不然也。”

此論破“黃鐘九寸”之陳說。《律學新說》重在闡述樂律與度量衡的關系，首倡新說，而《律呂精義》則重在數理精詳，分內、外篇。內篇講述新法密率（十二平均律）的數學原理、計算方法及計算結果，并結合旋宮琴譜和樂器進行實證。這一點格外精彩。歷代經學家宏論，多紙上談兵，甚至閉門造車。而朱載堉則所有的大義高論，最終都會落實到具體的音樂實踐。比如他談六十調、八十四調，則以五音琴和七音琴詳細陳述，并以之調稱謂和為調稱謂全面敘述五調十二律和七調十二律旋宮轉調的實際操作。這與眾儒僅是邏輯推衍有著天壤之別。他以《南風歌》和《股肱》曲作為實例，使形而上的論樂之道和形而下的弦詩笙歌結合一道，并具有獨創性地發明了以圖演繹旋律，以鐘磬鼓拊、琴瑟笙歌若干聲部構成的合樂譜，輥輲訛使學樂者可以如按圖索驥般自行操練。

朱氏新法中最重要者是用珠算進行開方計算，并通過連續開方的方法求解一個等比級數，在世界數學史上也是第一次。他用一個超大算盤， 長81檔，共567 子，方可算出精確度達25 位數的12 個律數。在《算學新說》中，他專門談如何使用珠算做開方運算。他又書寫了開平方、開立方口訣，可使初學者背誦記憶。寫作設計以問答方式，詳細求解蕤賓；夾鐘、南呂；大呂、應鐘，各自分別作為局部等比級數的中項， 求出幾個具有邏輯節點意義的律位，其余可依次類推。總之，沒有新的數學方法和數學工具，創建新法密率是極為困難的。朱載堉以句股術和大算盤，在16 世紀后期達到這樣的高度，成就驚人。

《律呂精義》一書重實踐，“援笙證琴”“援琴證律”，與書中所批評過的諸前儒相比，其優立見。歷代談律者，鮮有論《史記·律書·生鐘分》，但朱載堉敏銳地看到“生鐘分” 的內容直指樂音振動長度比，觸及樂律之本，格外推崇，甚至認為《律書》中其他內容皆可刪。雖然言重，但也不為過。對《漢書·律歷志》用華麗辭藻解釋五聲、六律之名，持鮮明批評態度。指出五聲之名、十二律名，猶如人名，方便識音之高下， 原無天地大義。明確指出這點，也凸顯出朱載堉對樂律問題的基本態度，即堅持音樂本質。

內篇卷一“不宗黃鐘九寸第二”中，朱載堉論證各代尺度不同，但黃鐘律管長度不變。批評漢儒執著于九寸，卻不思商尺黃鐘過長，音過低；周尺過短，音過高。此論基于音樂規律。黃鐘音高設定，對于人聲歌唱、樂器張弦定律非常重要。漢儒僅僅機械于一個“九寸”而不論各代尺度有異，顯然是另有所因。在“總論造律得失第一”一節中，引《宋書·律志》，指出漢儒強推九寸是為了附合劉歆“三統論”。這個觀點很有見地。在樂律學史上，太多舊儒把音樂問題與天文歷法牽強聯系起來討論，以至于音樂內在運動規律被忽略甚至被曲解。朱載堉強調音樂自身屬性，并考鏡源流，理出傳統訛見產生的來龍去脈，有理有據地將造律得失問題闡釋明白，實為第一人。

“不拘隔八相生第四”中詳細敘述了四種相生方法， 每種生律法得出的數據都符合十二等比關系。卷二則詳細論述異徑管的倍律管、正律管和半律管共三十六律管的全部數據，朱載堉稱為三十六異徑律管“外周真數”“外徑真數”“內徑真數”“內周真數”，所有的算式、數據都可以轉寫為現代公式，其邏輯縝密躍然紙上， 筆者對所有數據進行驗算，不由佩服朱公學養深厚。他對所有算法的講解，簡明易懂，各個維度的數據也環環相扣，其密率周徑圖非常直觀地將外周與內周、外徑與內徑的倍、半關系展示出來。這種圖示手法對清代江永等學者有深刻影響。

朱載堉一生中的著述除了樂律學專著， 還有《毛詩韻府》《禮記類編》《算經》等，都屬于“五經”的考訂。明萬歷年間，《詩經》研究剛剛興起，五經學問是當時的顯學，在這個學術潮流中，朱載堉無疑是先驅式人物； 他的研究也體現出考鏡源流的風格，窮盡資料的方法也呈現出清乾嘉學派所追求的樸學特征，這也可稱為先驅式的實踐。

最后必須強調的一點是， 朱載堉的學術態度，以我們今天所強調的遵守學術規范而言，絕對是模范中的模范。他每引必注出處，在筆者的研讀中，根據朱載堉的說明，總能準確找到原文，與同時代其他儒士的著作相比，這一點是非常突出的。在這樣一套龐大巨著中，偶有注錯書名，仍不影響他嚴謹誠實的學術風范。

[本文為國家社科基金重大項目《音樂創作“中國性”研究》（項目批準號：22&ZD037）階段性成果]

李玫中國藝術研究院音樂研究所研究員

（責任編輯 榮英濤）

第三屆中國音協新興音樂群體詞曲作家深圳行采風創作活動圓滿結束

[本刊訊]* 為深入貫徹落實習近平文化思想， 堅持以人民為中心的創作導向， 廣泛開展“深入生活、扎根人民”主題實踐活動，由中國音樂家協會、深圳市龍崗區文化廣電旅游體育局主辦，中國文聯音樂藝術中心、深圳市龍崗區文化館承辦的第三屆中國音協新興音樂群體詞曲作家深圳行采風創作活動， 于5 月11 日至16日成功舉辦。

此次活動采風團由中國文聯副主席、中國音協主席、作曲家葉小鋼和中國音協分黨組書記、駐會副主席、秘書長韓新安領隊。中國音協副秘書長、中國文聯音樂藝術中心主任熊緯，知名中青年詞曲作家劉新圈、皓天、韓葆、孟文豪、李凱稠、付廣慧、陳維東、胡晉、袁晶、周潔穎、李嘉佳、張楚弦以及龍崗區文化館館長夏士康等參加了釆風活動。

5 月12 日， 活動啟動儀式在國家級文化產業示范園———龍崗數字創意產業走廊展廳舉行，韓新安為采風團授旗并作了發言。他鼓勵團員們不斷推出謳歌黨、謳歌祖國、謳歌人民、謳歌英雄，禮贊新時代的優秀作品，展現新時代新興音樂群體詞曲作家的使命與擔當。隨后，采風團一行先后到達騰訊音樂總部、甘坑客家小鎮、二十四史書院、 華為科技城示范項目———天安云谷、龍崗區文化館、客家圍屋建筑群———鶴湖新居等多地，通過座談會、參觀走訪、創作研討會、“非遺”民俗文化表演欣賞等豐富的形式，圍繞數字音樂產業，創作者權益保障，新一代信息技術、智能制造、文化創意等戰略新興產業等話題展開深入的交流和研討。大家紛紛表示，將用優秀的音樂作品助力粵港澳攜手打造聯通國內國際雙循環、走出高質量發展之路、彰顯中國式現代化特質的國際一流灣區。