方正 宋施良 王昕 詹燮峰

摘? 要：數(shù)值分析是理工科專業(yè)基礎課程之一，具有很強的實用性。如何將該門課更好地教授給學生，讓學生更好地掌握該門課的知識與方法，是數(shù)值分析課程教師應該認真研討的問題。該文介紹數(shù)值分析的開設背景與教學內容，并在統(tǒng)計整理2017—2022學年學生課程成績數(shù)據(jù)的基礎上，對學生學習該門課的情況進行分析，并就出現(xiàn)此種成績的原因進行總結與探究，提出一定的見解，最后根據(jù)多年教授該門課的教學心得體會與經(jīng)驗，提出進一步提升該門課教學質量的建議。

關鍵詞：數(shù)值分析；課程體系；本科教學；學生成績；教學質量

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）15-0059-04

Abstract： Numerical Analysis is one of the basic courses of science and engineering specialty， which has strong practicability. How to teach better this course to students so that students can better master the knowledge and methods of this course is a problem that teachers of numerical analysis course should seriously discuss. This paper introduces the background and teaching content of numerical analysis， and analyzes the situation of students' learning of this course on the basis of statistics and collation of the course performance data of students from 2017 to 2022 academic year， summarizes and explores the reasons for such performance， and puts forward some opinions. Finally， according to the teaching experience and experience of teaching this course for many years， some suggestions are put forward to further improve the teaching quality of this course.

Keywords： Numerical Analysis; curriculum system; undergraduate teaching; student achievement; teaching quality

廈門大學航空航天學院儀器與電氣系每年秋季學期均會開設數(shù)值分析課程，教學對象為電氣工程及其自動化專業(yè)本科三年級學生（選修）、測控技術與儀器專業(yè)本科二年級學生（必修）。數(shù)值分析主要介紹在計算機上求解數(shù)值問題的計算方法的建立、理論及應用。通過教學使學生具備數(shù)值分析的基礎知識與技能，為以后進一步從事科學計算方面的學習、研究、應用打下基礎。經(jīng)過這幾年的教學活動，筆者對這門課產(chǎn)生了一些思考與感想，希望通過這篇文章做一個總結，從而有利于這門課教學質量與教學效果的進一步提升。

一? 數(shù)值分析的開設背景與教學內容

隨著計算機技術與信息技術的飛速發(fā)展，計算機技術的應用領域越來越廣。與此同時，工程應用領域對數(shù)學的要求也越來越高。在工科層面上，數(shù)學的應用中最常用的就是數(shù)據(jù)的計算，也就是計算數(shù)學方向。從理工科學生的角度看，數(shù)值分析，亦稱作計算方法，是研究如何使用最合理的計算方法來求解各個工程領域的數(shù)學問題的一門學科。在當下信息化時代的背景下，特別是在計算機及其應用軟件成為了數(shù)值計算的主要工具之后，數(shù)值分析與計算機技術緊密結合，有了廣大的應用前景。目前，數(shù)值分析的內容主要是介紹在計算機上求解數(shù)值問題的計算方法的建立、理論及應用。數(shù)值分析既有純數(shù)學的高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有廣泛性與實用性相結合的高度技術性的特征[1]。數(shù)值分析教學的目的在于掌握計算理論方法和培養(yǎng)解決問題的實踐能力，是數(shù)學計算與工程的結合、理論性與實踐性的結合，為學生各自領域的科研，甚至是以后的工作打下重要的基礎[2]。因此數(shù)值分析也是一門實踐的課程。

當前數(shù)值分析課程是高等院校多數(shù)理工科專業(yè)的必修課程，該課程的教學旨在使學生掌握各種常用的數(shù)值算法的構造原理和過程分析，將理論應用于實踐，運用數(shù)值計算方法，達到解決實際問題的目的[3]。數(shù)值分析的教學內容豐富，涉及面廣，且與實際問題結合，具有很強的現(xiàn)實意義。國內高校開設此課，主要是從實際問題中的數(shù)學模型出發(fā)，主要內容包括誤差的基礎知識、插值法、數(shù)值逼近、方程（組）的根、數(shù)值微積分、微分方程數(shù)值解和邊界值問題的求解等內容，與高等數(shù)學和線性代數(shù)課程有著明顯的區(qū)別[4]。由于課程中介紹較多數(shù)值算法，涉及較多理論推演，數(shù)值分析這門課邏輯性較強，需要一定數(shù)學基礎才能夠順利學習、理解并且掌握課程內容。因此這也對教師的教學能力提出了一定要求。

在傳統(tǒng)的教學模式中，教師大多更重視理論講授的過程，包括課程內容中的算法原理、公式推導、計算技巧等，課堂教學是教學的全部，而忽視課堂教學之外的實踐過程。同樣地，很多教材編寫本身便缺少實驗環(huán)節(jié)過程，缺乏對實驗教學的重視。僅僅通過理論講解，而不重視實際計算、分析計算過程，很難對所學習的算法有全面的理解與運用，也不利于培養(yǎng)學生去分析問題、思考問題、解決實際問題的能力，不利于學生的全面發(fā)展。對于數(shù)值分析來說，算法要通過實踐去運用，才能證明其可靠性與有效性，讓學生理解算法在實際中的意義。因此，上機實驗環(huán)節(jié)是很有必要的。

本系開設的此課程還包括實踐教學環(huán)節(jié)，要求學生在學習數(shù)值分析課程理論的同時掌握MATLAB軟件的基礎功能與編程基礎。如今隨著技術的發(fā)展，各式各樣的編程軟件與科學計算軟件層出不窮，但MATLAB仍舊在高校中保持較高的熱度與較高的使用頻率。特別是對于理工科學生來說，MATLAB是一個常用的科學軟件工具。在實踐的過程中，學生可以更好地理解數(shù)值分析計算算法的原理與流程，能夠對算法有更好的應用。

對于教師來說，通過實踐上機環(huán)節(jié)可以更好地檢測學生對課程的掌握程度、對算法的理解程度與對軟件的熟悉程度，從而可以視情況改進教學策略；對于學生來說，通過實踐上機環(huán)節(jié)可以檢測自己對算法的理解程度，對實際問題的解決與應用能力，對數(shù)值分析課程的掌握程度。綜合而言，對于數(shù)值分析課程來說，實踐教學環(huán)節(jié)有著十分重要的意義。

以李慶揚主編的《數(shù)值分析》（第5版）[5]為例，數(shù)值分析課程體系包括以下幾個部分內容：插值法與逼近法，數(shù)值微分與數(shù)值積分，非線性方程與線性方程組的數(shù)值解法，矩陣的特征值與特征向量計算，常微分方程數(shù)值解法。本課程共32學時，重點放在插值法與逼近法、數(shù)值微分與數(shù)值積分、非線性方程與線性方程組三個部分。

二? 數(shù)值分析課程數(shù)據(jù)統(tǒng)計

數(shù)據(jù)來源于本系兩個不同教師所教授的數(shù)值分析課程，所教授的年份為2017—2022學年。其中由于一些原因數(shù)據(jù)年份不完全相同。其中，2017—2018學年沒有乙老師課程班的數(shù)據(jù)；2020—2021學年沒有開設甲老師課程班，故乙老師課程班學生較多。為了方便后續(xù)對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計及分析，課題組對學生成績等數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計處理。

（一）? 學生人數(shù)（僅統(tǒng)計初修人數(shù)）

由表1可以看出，2018—2022學年，每年的學生人數(shù)不盡相同。且由于分不同專業(yè)與兩個不同班進行教學，每個班的情況稍有差異，但總體而言，存在電氣工程及其自動化（以下簡稱“電氣”）專業(yè)選修此課人數(shù)大于測控技術與儀器（以下簡稱“測控”）專業(yè)人數(shù)的情況。

其中，2020—2021學年甲老師未開設教學班，全系僅乙老師一個教學班，仍舊明顯出現(xiàn)電氣專業(yè)選修此課學生多于測控專業(yè)必修此課學生的現(xiàn)象，說明此門課受到電氣專業(yè)同學的喜愛。

（二）? 學生成績（僅統(tǒng)計初修學生）

該門課程的課堂成績構成，兩個教學班略有不同。甲老師班級成績由10%課堂表現(xiàn)、20%課堂考勤、20%上機實踐與50%期末成績組成；乙老師班級成績由10%課堂表現(xiàn)、40%上機實踐與50%期末成績組成。本課題組對各個學生的成績進行了匯總與處理，得到了電氣與測控兩個不同專業(yè)學生的平時成績（除期末成績之外的綜合）平均分、期末考試平均分及總成績的平均分。期末考核方式均為閉卷考試。

三? 數(shù)值分析課程數(shù)據(jù)分析

從表2中可以看出，不同專業(yè)、不同教師的學生成績不盡相同。下面將對這些差異進行分析與解釋。

（一）? 不同專業(yè)的成績差別

從表1可以看出，每年電氣專業(yè)學生選修數(shù)值分析課程的人數(shù)相比測控專業(yè)的學生更多。出現(xiàn)這種情況的原因是電氣專業(yè)學生人數(shù)相較測控專業(yè)學生人數(shù)而言更多，而數(shù)值分析作為工科中實用性較強的課程，在學生中選課的比例也較大。在本科后續(xù)的教學課程中，較多課程會涉及到數(shù)值分析課程中所學到的知識，因此在本系工科課程體系中，這門課受到兩個專業(yè)學生的重視和歡迎。

從表2可以看出，總體而言電氣專業(yè)學生的總成績相較測控專業(yè)學生的更高。經(jīng)過分析，這種情況的原因主要是由于學生的年級不同導致的。

數(shù)值分析課程是電氣專業(yè)本科三年級學生的選修課、測控專業(yè)本科二年級學生的必修課。本科三年級學生比本科二年級學生多一年的專業(yè)課與基礎課的學習，相對于本科二年級學生而言對學習能力、數(shù)學知識、專業(yè)知識都有一定的提高。也正是由于這個原因，電氣專業(yè)學生在這門課程上的表現(xiàn)比測控專業(yè)學生更好。并且由于培養(yǎng)方案的不同，測控專業(yè)本科二年級學生在同學期需要修讀的課程相對于電氣專業(yè)本科三年級學生更多。別的課程多，花費在數(shù)值分析課程上學習的時間就少，于是體現(xiàn)在課程成績上的結果就是測控專業(yè)學生成績略低于電氣專業(yè)學生。

（二）? 不同教師的成績差別

如表2數(shù)據(jù)顯示，在同時開課的2018—2019學年，2019—2020學年，2021—2022學年中，總體而言，有如下差別。

1? 乙老師班級學生平時分的平均分大于甲老師班級學生平時分的平均分

筆者分析如下：該門課程的課堂成績構成兩個教學班略有不同，如圖1所示。甲老師班級成績由10%課堂表現(xiàn)、20%課堂考勤、20%上機實踐與50%期末成績組成；乙老師班級成績由10%課堂表現(xiàn)、40%上機實踐與50%期末成績組成。上機實踐環(huán)節(jié)主要使用的是MATLAB軟件進行算法的編寫與驗證。對于本科三年級的電氣專業(yè)學生而言，MATLAB的使用與編程相較于本科二年級的測控專業(yè)學生更加熟練，更加有編程經(jīng)驗。因此正如表2中所示，電氣專業(yè)學生的平時成績總分略大于測控專業(yè)的同學。而電氣專業(yè)學生多于測控專業(yè)學生。故上機實踐占比更大的乙老師的學生平時分更高一些。

2? 甲老師班級總成績的平均分大于乙老師班級總成績的平均分

筆者分析如下：從表2中可以看出，各個學年、各個班級、各個專業(yè)平時分數(shù)不會差距太大，基本在82～97分之間浮動。因此更能決定總成績差異的是期末考試成績的差異。相比較兩個教學班的期末考試成績可以看出，甲老師教學班整體期末考試成績優(yōu)于乙老師教學班期末考試成績。為了避免由于不同老師各自命題期末考試試卷，導致試卷題目風格和難度無法完全相同，故每年由一位老師命題，兩個教學班統(tǒng)一同時間同地點進行考試，因此可以排除由于期末考試試題不同帶來的影響。

還有幾點可能的原因：甲老師教學方法更好，使得學生對課程掌握程度更高，理解更加透徹；選甲老師班級的學生數(shù)學基礎更好，對數(shù)值分析的學習更加得心應手；兩個班級的成績構成占比不完全相同，使得最終學生的成績亦不盡相同；甲乙老師試卷分別各自批改評分，不同教師對學生試卷的評分不會完全相同，導致期末考試總成績也不同。

四? 結束語

數(shù)值分析作為一門實用且重要的工科基礎課，在本科教學中有著重要地位。由于這門課邏輯性與抽象性較強，對于學生來說熟練掌握數(shù)值分析的課程內容有一定難度與挑戰(zhàn)性，同時這也是對教師的挑戰(zhàn)。通過對這幾年的學生成績情況進行統(tǒng)計，筆者有一些心得體會。

（一）? 重視上機實踐環(huán)節(jié)的必要性

通過學生成績與前文分析可以得出，本科三年級的電氣專業(yè)學生在上機實踐環(huán)節(jié)的表現(xiàn)比本科二年級測控專業(yè)學生更好。這說明通過持續(xù)不斷的學習和鍛煉，學生的軟件應用和編程水平會逐漸提高。因此，為學生在高年級的學習中能夠更好地學習數(shù)值分析，學校應在低年級的時候開展MATLAB課程教學，或將MATLAB應用到課程中，讓學生對編程數(shù)值計算有一定的了解。尤其是對于測控專業(yè)本科二年級的學生來說，作為必修課，提前掌握MATLAB軟件具有重要性，這在一定程度上關系著能否學好這門課。當對算法流程較熟悉的時候，嘗試利用該算法編寫計算程序，可以很好地加深其理解程度與熟悉程度。

數(shù)值分析是一門與計算機密切相關的課程，而學生后續(xù)的學習與科學研究也離不開計算機，因此應重視上機實踐環(huán)節(jié)的重要性。在學習初期應適當布置一些簡單的編程作業(yè)，讓學生逐步熟悉將數(shù)值分析應用于MATLAB，掌握一些MATLAB編程語言的用法。如果沒有熟練掌握計算機編程，數(shù)值分析也就無從談起。作為教師應該向學生解釋計算機與數(shù)值分析之間的關系，并且提高上機實踐環(huán)節(jié)于數(shù)值分析課程的比重。

（二）? 重視課堂師生互動，提高課堂教學效果

學生作為課程的學習者，不僅僅只是課堂上的聽眾，也應該是課堂教學的積極參與者。教學組織者，以教師為主，應發(fā)揮一切方法和手段去調動學生參與課堂教學的積極性。教師應該能夠通過學生的參與清楚地了解到學生對于目前課程的掌握情況，根據(jù)學生參與的反饋情況，靈活地調節(jié)目前的教學內容的難度、深度與廣度，從而調整到最適合學生學習的授課方式。通過這個方式可以提高課堂教學效果，最大程度達到實現(xiàn)最好教學效果的目標。

（三）? 考核中對基本概念和靈活運用的能力都要有所考察

最后的考核，對于數(shù)值分析來說就是期末的閉卷筆試，這是針對學生對這門課程學習情況的一次全面考察，因此考核的內容應該注重基本的概念和理論與實際應用相結合，并且考察學生靈活運用所學算法與方法的能力。考試的難度應該難易適中，題型應當覆蓋知識點，在平時的教學與課后作業(yè)中都應有所體現(xiàn)。考試應讓學生明白，考試不會只考察偏門冷門知識點，也不會回避重要熱門知識點，僅僅靠死記硬背題目是不行的，要真正掌握、理解與運用所學的概念和方法。

（四）? 豐富教學方案

由于該課程修讀的學生為兩個不同專業(yè)，電氣專業(yè)與測控專業(yè)，且年級不同，因此應針對這種現(xiàn)象優(yōu)化教學方案。電氣專業(yè)的學生為本科三年級，相對于測控專業(yè)的本科二年級學生來說，具有更好的學習能力與更豐富的實踐編程能力。因此，在條件允許的情況下，可以嘗試考慮針對不同專業(yè)的學生，采取不同的培養(yǎng)手段，例如布置不同難度的課后作業(yè)等。通過這種方式可以針對不同專業(yè)學生的需求優(yōu)化教學的方案，從而取得更好的教學效果。

綜上所述，數(shù)值分析作為一門實用且重要的課程，想要教師教好，學生學好這門課，需要教師、學生等教學參與者的共同努力，最終才能實現(xiàn)理想的教學效果。作為課程的教師，更應該在教學的實踐經(jīng)驗中不斷總結、不斷感悟、不斷進步，并將經(jīng)驗總結運用到實際教學之中，逐步提升教學質量與教學效果，最終推動課程的進一步發(fā)展，提高培養(yǎng)人才的質量。

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