如何求最短運動時間

張燕飛

最短運動時間問題是力學習題中較為常見的問題，遇到此類問題應該如何處理呢？下面總結了幾種常用方法，供同學們參考。

一、圖像法

圖像法能夠直觀、形象、簡潔地展現兩個物理量之間的關系，清晰地表達物理過程，正確地反映實驗規律。利用圖像法需要注意：（1）圖像坐標，弄清圖像反映了哪兩個物理量之間的關系，明確圖像坐標表示的物理量的單位;（2）圖像的變化，根據圖像的走向確定一個物理量隨著另一個物理量變化的趨勢;（3）圖像的斜率，根據斜率的數學定義k=Δy/Δt和物理概念的定義確定圖像斜率的物理意義，如位移—時間圖像（不論直線、曲線）的斜率k=Δx/Δt，根據速度的定義式v=Δx/Δt 可知，圖像上某一點的切線斜率等于這一時刻物體的瞬時速度，圖像上兩點連線的斜率表示這段時間內物體的平均速度;（4）截距，明確圖像與橫軸或縱軸交點坐標的物理意義，如在閉合電路中路端電壓隨電流的變化圖像中，縱軸截距表示電源的電動勢，橫軸截距表示短路電流;（5）面積，明確圖像與橫軸（縱軸）所圍圖形的面積的物理意義，如F-t 圖像與橫軸所圍圖形的面積S=Ft 表示力F 在時間t 內的沖量;（6）交點，當同一個坐標系中有兩個相交圖像時，交點坐標表示兩個過程中的共同的物理狀態，如兩個速度—時間圖像的交點坐標表示在這一時刻兩物體具有相同的速度，表示U=E-Ir 和U =IR 的兩個U-I 圖像的交點坐標表示電阻為R 的元件與電動勢為E、內阻為r 的電源構成閉合回路時的工作狀態。

例1 質點從甲地由靜止出發到乙地停下，加速過程與減速過程的加速度大小均為1 m/s2，已知甲、乙兩地相距100 m。求質點從甲地到乙地所用的最短時間。

解析：質點從甲地由靜止出發到乙地停下，若想質點的運動時間最短，則需利用圖像法分析質點的運動狀態。作出質點的v-t 圖像如圖1所示，觀察圖像可以發現，通過相同的路程（v-t 圖像與橫軸所圍圖形的面積相同），質點先做勻加速運動后做勻減速運動，所用的時間最短。質點在加速過程與減速過程中的加速度大小相同，根據對稱性可知，質點做勻加速運動和勻減速運動所用的時間均為t/2，質點做勻加速運動產生的位移大小和做勻減速運動產生的位移大小相同，則x=2×1/2a（t/2）2，其中x=100 m，a=1 m/s2，解得t=20 s。

二、物理公式法

物理公式法是適用于大部分最短運動時間問題的求解方法。利用物理公式法需要注意：（1）過程分析，若沒有最大速度限制，則物體直接以最大加速度做勻加速運動;若有最大速度限制，則需先以最大加速度做勻加速運動達到某個速度（小于或等于最大速度），再以此速度做勻速運動;若要求到達目的地時的速度為零，則還需要以最大加速度做勻減速運動，使得物體到達目的地時恰好減速為零。