課例：函數的奇偶性

陳鑫 湯高敏

摘要：?奇偶性是函數的重要性質.“函數的奇偶性”的教學按照研究函數性質的一般方法，通過問題串的形式，再適當融入數學文化來組織，以幫助學生更好地完成對“奇偶性”概念的建構和理解.

關鍵詞：函數的奇偶性；問題串；數學文化

1 教學內容分析

“函數的奇偶性”是人教A版數學必修第一冊第三章第二節的內容.一方面，函數的奇偶性是繼函數的單調性后的又一重要性質，它延續了研究函數單調性的方法；另一方面，它也為后續研究函數的周期性以及冪函數、三角函數等奠定基礎.

1.1 教學目標

（1）經歷函數奇偶性的探究過程，進一步體會研究函數性質的一般方法；

（2）通過對具體函數奇偶性的探究，會用符號語言刻畫函數圖象關于y軸或原點對稱，了解函數奇偶性的概念和幾何意義，體會奇偶函數命名的由來；

（3）會利用函數奇偶性的定義和函數圖象特征判斷具體函數的奇偶性；

（4）在函數奇偶性概念的形成過程中感受數形結合、從特殊到一般的數學思想.

1.2 教學重點與難點

教學重點：函數奇偶性的概念和幾何意義.

教學難點：從具體函數的圖象特征到數量刻畫，再進一步抽象出符號語言的過程.

2 教學過程

2.1 情境引入

師：我們是如何研究函數的單調性和最值的？

生1：具體函數—圖象特征—數量刻畫—符號語言—抽象定義.

師：下面我們將繼續采用這種研究方法研究函數的其他性質.

設計意圖：復習研究函數性質的一般思路、方法，為接下來研究函數的奇偶性做準備.

2.2 新知探究

師：請同學們畫出函數f（x）=x2和g（x）=2－|x|的圖象，并觀察這兩個函數圖象有什么共同特征？

生2：如圖1，這兩個函數的圖象都關于y軸對稱.

設計意圖：引導學生發現偶函數的圖象特征.

師：我們以f（x）=x2為例，探究如何從數的角度刻畫其圖象關于y軸對稱.

師：由于圖象本質上是由點所構成的集合，我們不妨取一些特殊點來觀察.

師：觀察表1數據，同學們能發現什么？

生3：f（－3）=9=f（3）;f（－2）=4=f（2）;f（－1）=1=f（1）.當自變量取一對相反數時，對應的函數值相等.

師：這個規律是否具有一般性？我們借助信息技術來看一看（利用GGB演示：在f（x）=x2圖象上任取兩點，

當這兩點橫坐標互為相反數時，縱坐標相同）.

師：也就是說，“圖象關于y軸對稱”等價于“自變量互為相反數時，函數值相等”.

設計意圖：由“形”到“數”，得到函數圖象關于y軸對稱的數量刻畫.

師：那現在我們就得到了函數f（x）=x2的圖象關于y軸對稱的數量刻畫.進一步地，如何用符號語言來描述呢？

生4：?x∈R，都有f（－x）=（－x）2=x2=f（x）.

設計意圖：讓學生自然地得到“函數f（x）=x2圖象關于y軸對稱”的符號語言表征，并在過程中體會“”符號的由來，發展學生邏輯推理核心素養.

師：請同學們仿照上述表達方式，用符號語言描述g（x）=2－|x|的圖象關于y軸對稱.

生5：?x∈R，都有g（－x）=2－|－x|=2－|x|=g（x）.

設計意圖：借助實例讓學生進一步熟悉函數圖象關于y軸對稱的符號語言表征，并為后續抽象出偶函數的符號語言表征做準備.

師：如何用符號語言描述函數y=f（x），x∈I的圖象關于y軸對稱？

生6：?x∈I，都有f（－x）=f（x）.

設計意圖：從具體函數到一般函數，體現了從特殊到一般的思想，發展學生的抽象概括能力及數學抽象核心素養.

師：如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那它的定義域有什么特點？

生7：定義域關于原點對稱.

師：鑒于定義域對函數奇偶性判斷的重要性，我們將上述所得的符號語言作進一步補充，即?x∈I，－x∈I，且f（x）=f（－x）.一般地，我們把滿足這一條件的函數叫做偶函數.

設計意圖：讓學生發現定義域對函數奇偶性判斷的重要性，并在定義中將定義域關于原點對稱這一條件顯性化.

師：接下來請通過小組合作，探究以下問題.

（1）函數f（x）=x和g（x）=?1?x?的圖象有何共同特征？

（2）如何用符號語言準確描述這一共同特征？

（3）如何用符號語言準確描述函數y=f（x），x∈I的圖象關于坐標原點對稱？

生8：（1）……；（2）……；（3）?x∈I，－x∈I，且f（－x）=－f（x）.

師：類似地，我們把滿足這樣條件的函數叫做奇函數.

設計意圖：放手讓學生通過類比的方式研究奇函數，不僅能促進數學知識、方法的有效遷移，還能加深學生對奇偶性概念的理解.

師：在前面的學習中，我們定義了兩類新的函數，分別是偶函數和奇函數.那同學們知道為什么要這樣命名嗎？

師：我們不妨來分別觀察兩組函數y=x2，y=x4，y=x6與y=x，y=x3，y=x5的圖象，說說它們分別具有怎樣的對稱性？（用幾何畫板呈現圖象.）

生9：y=x，y=x3，y=x5的圖象關于坐標原點對稱，y=x2，y=x4，y=x6的圖象關于y軸對稱.

師：請同學們再觀察一下，上述函數中，圖象關于y軸對稱的函數的自變量的次數有什么特點？關于坐標原點對稱的呢？

生10：上述函數中，圖象關于y軸對稱的函數的自變量的次數都為偶數，圖象關于原點對稱的函數的自變量的次數都為奇數.

師：同學們得到了一個偉大的發現！實際上，著名數學家歐拉正是由此首次提出了奇、偶函數的概念.后來隨著數學的發展，奇、偶函數又進一步得到了推廣，形成了如今的奇、偶函數概念.

設計意圖：借助部分正整數次冪的冪函數圖象，讓學生發現其共同特征——對稱性，并通過追問發現規律，從而引出奇、偶函數的概念，讓學生經歷奇函數、偶函數概念的產生過程，了解命名的由來，獲得良好的數學體驗.此外，通過穿插數學史，學生能體會其中所蘊含的數學文化，提高數學學習的興趣.

2.3 數學運用

練習1?判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=x+?1?x?；

（2）f（x）=?x2－x?x－1?；

（3）f（x）=?x－2?+?2－x?.

設計意圖：再一次體會定義域對函數奇偶性判斷的重要性，掌握用定義判斷函數奇偶性的一般步驟.

練習2?（1）判斷函數f（x）=x3+x的奇偶性.

（2）圖2是函數f（x）=x3+x圖象的一部分，你能根據它的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？

（3）一般地，若y=f（x）為奇（偶）函數，如何簡化對它的研究？

設計意圖：進一步讓學生鞏固利用定義判斷函數奇偶性的方法，學會根據奇函數、偶函數圖象的對稱性解決問題，體會奇偶性的作用——簡化對函數的研究.

練習3?已知f（x）是R上的奇函數，且當x∈（0，+∞）時，f（x）=x（1+x），求f（x）的解析式.

設計意圖：讓學生學會利用奇偶性求函數的解析式.

2.4 回顧小結

（1）我們是如何開展對函數奇偶性的研究的？

（2）完成表2：

（3）如何用定義判斷函數的奇偶性？

設計意圖：通過（1），進一步深化對研究函數性質的一般方法的認識，提升研究性思維.通過（2），加深對奇、偶函數概念和幾何意義的理解.通過（3），進一步掌握用定義判斷函數奇偶性的一般方法、步驟.