例談不等式恒成立求參數范圍問題的解題策略

周建權

摘要：不等式恒成立求參數范圍的問題是高考和各地模擬考試中的熱點問題，此類問題形式多樣，解決起來有一定困難，本文中通過具體例子探討此類題型的解題策略，分析其中的思維邏輯.

關鍵詞：不等式恒成立；參數范圍；解題策略

不等式恒成立求參數范圍的問題能夠充分聯系不等式、函數與方程、導數等知識，有利于考查學生數學運算、邏輯推理、數學抽象等學科核心素養，是高考和各地模考的熱點問題.此類問題形式多變、綜合性強，學生往往捉摸不透，本文中結合具體例子談談此類問題的解題策略.

1分離參數法

分離參數法就是對不等式變形，將參數與變量分離，構造無參數函數，進而研究該函數的最值.

例1（2020年全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數f（x）=ex+ax2－x.（1）略.（2）當x≥0時，f（x）≥12x3+1，求a的取值范圍.

下面重點研究第（2）問的解題策略.

解法1：由題意，知ex+ax2－x≥12x3+1（x≥0）.

當x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意.

當x>0時，分離參數a，得a≥12x3+x+1－exx2.

令g（x）=12x3+x+1－exx2，則只需a≥g（x）max.

對g（x）求導，得

g′（x）=（2－x）ex+12x3－x－2x3

=（2－x）ex+12（x－2）（x2+2x+2）x3

=－（x－2）ex－12x2－x－1x3.

令h（x）=ex－12x2－x－1，則h′（x）=ex－x－1.

令φ（x）=ex－x－1，當x>0時有φ′（x）=ex－1>0，則h′（x）在（0，+∞）單調遞增，所以h′（x）>h′（0）=0，故h（x）在（0，+∞）單調遞增，因此h（x）>h（0）=0.故當x∈（0，2）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增；當x∈（2，+∞）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減.因此，g（x）max=g（2）=7－e24.

所以a的取值范圍是[JB（7－e24，+∞.

評析：此類恒成立問題一般在參數容易分離且分離之后最值好求的情況下使用分離參數法，難度較大的恒成立問題分離參數后可能需要多次求導、使用洛必達法則、切線放縮等.如本題在研究g′（x）的正負時，一個難點是將12x3－x－2分解成12（x－2）（x2+2x+2），另一個難點是將ex－12x2－x－1獨立出來研究，判定其大于0.

2不分離參數，構造函數

參變不易分離，或分離后函數結構復雜不易研究，則可不分離參數，將參數和變量放到不等式同一側，直接構造含參函數.

2.1直接分析最值

下面給出例1的解法2.

解法2：當x≥0時，f（x）≥12x3+1恒成立，等價于ex≥12x3－ax2+x+1，亦等價于

12x3－ax2+

x+1e－x≤1.

令g（x）=12x3－ax2+x+1e－x，x≥0，則

g′（x）=－12x3－ax2+x+1－32x2+2ax－1e－x

=－12x（x－2a－1）（x－2）e－x.

①當2a+1≤0，即a≤－12時，由g′（x）=0，得x=0或x=2.當x∈（0，2）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.又g（0）=1，所以g（x）>1，不合題意.

②若0<2a+1<2，即－120，g（x）單調遞增；當x∈（2，+∞）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減.又g（0）=1，所以g（x）≤1恒成立只需g（2）≤1，即（7－4a）e－2≤1，則a≥7－e24.所以當7－e24≤a<12時，g（x）≤1成立.

③當2a+1≥2，即a≥12時，g（x）=12x3－ax2+x+1e－x≤12x3+x+1e－x.又由②可知，a=0時，g（x）=12x3+x+1e－x≤1恒成立，所以a≥12時，滿足題意.

綜上所述，a的取值范圍是[JB（7－e24，+∞[1].

評析：同一個不等式可以等價變形構造出不同的函數，變形的目標應該是構造出易于研究的函數.如本題將原不等式變形為ex－12x3+ax2－x－1≥0，構造m（x）=ex－12x3+ax2－x－1，則不易研究.解法2通過變形對ex進行巧妙處理，構造的函數g（x）可以在求導后省去研究指數函數，有利于分類討論.

2.2必要性探路法

必要性探路法指的是利用不等式在一些特殊情況下成立，得到參數的一個取值范圍，該范圍是不等式恒成立的一個必要條件，如果能證明該范圍也是不等成立的充分條件，則該范圍即為所求，如果不是充分條件，也縮小了參數的范圍.

（1）端點效應探路

端點效應：記含參函數為f（x）（m為參數），若f（x）≥0在［a，b］上恒成立，且f（a）=0（或f（b）=0），則f′（a）≥0（或f′（b）≤0）；若f（x）≥0在［a，b］上恒成立，且f（a）=0，f′（a）=0，或f（b）=0f′（b）=0，

則f″（a）≥0（或f″（b）≥0）[2].

例2（2022年新高考Ⅱ卷第22題）已知函數f（x）=xeax－ex.（1）略.（2）當x>0時，f（x）<－1，求a的取值范圍.

解：設h（x）=xeax－ex+1，則當x>0時，恒有h（x）<0.

注意到h′（x）=（1+ax）eax－ex，所以h′（0）=0.

設g（x）=（1+ax）eax－ex（x＞0），則g（0）=0，且

g′（x）=（2a+a2x）eax－ex.

若原不等式成立，則必有g′（0）=2a－1≤0，即a≤12.因為若g′（0）=2a－1>0，則由于g′（x）為連續函數，因此存在x0∈（0，+∞），使得x∈（0，x0），g′（x）>0，故g（x）在（0，x0）為增函數.又g（0）=0，所以g（x）>0，即h′（x）>0，故h（x）在（0，x0）為增函數，因此h（x）>h（0）=0，與題設矛盾.

當0

h′（x）=（1+ax）eax－ex=eax+ln（1+ax）－ex.

下證：對任意x>0，總有ln（1+x）

設S（x）=ln（1+x）－x（x>0），則S′（x）=11+x－1<0，所以

S（x）在（0，+∞）上為減函數.

故x＞0時S（x）

由上述不等式，當0＜a≤12時，有

eax+ln（1+ax）－ex

所以h′（x）≤0總成立，則h（x）在（0，+∞）上為減函數，

故h（x）

當a≤0時，有h′（x）=eax－ex+axeax<1－1+0=0，

所以h（x）在（0，+∞）上為減函數，故h（x）

綜上所述，a的取值范圍為[JB（]-∞，12].

評析：含參函數求最值時往往需要對參數進行分類討論，分類標準的確定是難點和關鍵點.如本題僅從h′（x）=（1+ax）eax－ex的形式較難發現對a進行討論的分類點，如果用端點效應來看，思路就比較清晰了.實際上，利用端點效應有助于確定參數分類討論的標準.

（2）其他特殊點探路

例3（2020年新高考Ⅰ卷第21題）已知函數f（x）=aex－1－lnx+lna.（1）略.（2）若不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍.

解法1：因為f（x）≥1恒成立，所以f（1）=a+lna≥1.令g（a）=a+lna，則g（a）在（0，+∞）單調遞增，且g（1）=1，故由g（a）≥1，得a≥1.

下面證明a≥1時，f（x）≥1恒成立.

當a≥1時，f（x）=aex－1－lnx+lna≥ex－1－lnx.

令φ（x）=ex－1－lnx，則φ′（x）=ex－1－1x，φ′（x）在（0，+∞）單調遞增，且φ′（1）=0.所以當x∈（0，1）時，φ′（x）<0，φ（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，φ′（x）>0，φ（x）單調遞增.故φ（x）≥φ（1）=1，因此a≥1時，f（x）≥1得證.

綜上所述，a的取值范圍是［1，+∞）.

評析：利用端點、定點、極點等特殊點探路，需要對不等式結構有較強的觀察分析能力，需要有函數意識、數形結合意識.通過必要性探路，能夠化繁為簡，理清討論的思路，同時也要注意，有時我們找到的必要條件不一定剛好也是充分條件.

3分離函數法

分離函數法，就是對不等式恒等變形，將一個復雜的含參不等式分解成不等號左右兩邊各一個函數的形式，進而研究這兩個函數的關系.

3.1構造同構式

下面給出例3的解法2.

解法2：由f（x）≥1，得aex－1－lnx+lna≥1，

即elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x，而lnx+x=elnx+lnx，所以elna+x－1+lna+x－1≥elnx+lnx.

令h（m）=em+m，則有h（lna+x－1）≥h（lnx）.

因為h′（m）=em+1>0，所以h（m）在R上單調遞增，于是可得

lna+x－1≥lnx，因此只需lna≥（lnx－x+1）max.

令F（x）=lnx－x+1，則F′（x）=1x－1=1－xx.所以當x∈（0，1）時，F′（x）>0，F（x）單調遞增；當x∈（1，+∞）時，F′（x）<0，F（x）單調遞減.故以F（x）max=F（1）=0，則lna≥0，即a≥1.

因此a的取值范圍為［1，+∞）.

評析：同構指的是結構或形式相同，一些不等式可以通過變形使不等式兩側呈現相同結構，將該結構抽象出來構造函數，利用所構造函數的單調性將結構復雜的恒成立問題轉化為結構簡單的恒成立問題.同構法在“指對混合不等式”出現時用得較多，對代數變形能力要求較高，體現了數學的和諧對稱美，對培養數學抽象、數學運算等核心素養具有重要意義.

3.2數形結合

例4已知函數f（x）=－x2－2x－2，x≤0，ln（x+1），x>0，若關于x的不等式f（x）－ax－a+12≤0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是＿＿＿＿.

解：f（x）－ax－a+12≤0在R上恒成立等價于f（x）≤ax+a－12在R上恒成立，即函數f（x）的圖象恒在直線l：y=ax+a－12的下方，如圖1所示.

直線y=ax+a－12過定點－1，－12，當直線l與曲線y=ln（x+1）（x>0）相切時，設切點P（x0，ln（x0+1））.

對y=ln（x+1）求導，可得

y′=1x+1.由1x0+1=ln（x0+1）+12x0+1，解得x0=e12－1，此時直線l斜率為e－12，即a=e－12.

當直線l與曲線y=－x2－2x－2（x≤0）相切時，由ax+a－12=－x2－2x－2，得x2+（a+2）x+a+32=0，

令Δ=（a+2）2－4a－6=0，得a=2或a=－2（舍去），此時直線l斜率為2.

結合圖象，可知e－12≤a≤2.

評析：數形結合法就是通過分離函數，將問題轉化為兩個函數圖象位置關系的問題.分離出來的兩個函數一般是“一直一曲”，便于研究位置關系.分離函數后正確畫出函數的圖象是解題的關鍵，需分析函數的定義域、值域、單調性、對稱性、凹凸性、特殊點等.

4解題感悟

對于不等式恒成立求參數范圍的問題，從參變分離的程度來看，若參變完全分離，則構造的是無參數函數，能夠避免對參數的討論，但存在無參函數結構復雜，不易研究的情況；若參變不分離，則構造的是含參函數，對參數討論標準的確定是難點所在，需對常見超越函數的性質有所積累，有時必要性探路法能提供思路；若參變部分分離，即分離函數法，有時能夠巧妙避免函數結構復雜的情況和對參數的討論，要明確分離的目標往往是構造同構式或便于數形結合的函數.

參考文獻：

[1]牛偉.不等式恒成立求參數范圍問題的探究[J].中學數學教學參考，2022（24）：36-38.

[2]鄭燦基，韋才敏.不等式恒成立求參數范圍的問題的解法總結與探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2022（12）：20-23.