初中數學解題能力培養的基本措施

黃燕

摘要：初中階段是學生學習數學知識的重要階段.在初中數學教學中，采取有效措施加強學生解題能力的培養，會直接影響學生的數學知識學習效果.基于此，在數學教學過程中，教師需要采取有效的情景設計方式，充分激發學生的學習興趣，并利用典型例題對學生進行解題訓練.通過“一題多解”“一題多變”等方式讓學生找到解題的樂趣，從而在解題教學過程中培養學生的數學思維能力，提高其運用數學知識分析問題和解決問題的能力，提升數學核心素養.文章以一道中考試題為例，分析培養學生解題能力的有效措施.

關鍵詞：初中數學；解題能力；培養；基本措施

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0026-03

在初中數學解題教學中，比較普遍的現象是學生能夠聽懂教師課堂教學中相關例題的解題過程，但是在課后作業或練習過程中則無法順利完成類似問題的有效解決.這說明學生的數學解題能力存在嚴重的不足.在數學學習過程中，解題本質上是數學知識的實際應用，因此解題是數學學習的核心任務之一.通過提升學生的解題能力，能夠有效提升其學習效果.在初中數學教學中，教師需要采取有效措施培養學生解題能力，從而全面提升其數學核心素養.

1 試題呈現

例題（2023年綿陽市中考數學第25題）如圖1所示，拋物線經過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在線段AD上方的拋物線上，GF∥AO，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（-2，-4），AH⊥CH于點H，連接FH.

（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；

（2）當點F運動到拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；

（3）試探究FGGI的值是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，說明理由.

2 試題解析

本題以二次函數圖象為背景，主要考查待定系數法、二次函數的性質、三角形面積、平行線的性質、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質等知識，這是《義務教育數學課程標準（2022年版）》規定的最基礎最核心的內容［1］.本題涉及的知識點較多，圖形較為復雜，綜合性較強，具有較強的選拔性功能，是一道探究型的中考壓軸題.問題（1）相對較為簡單，但問題（2）（3）對學生而言具有一定的難度，學生需熟練掌握二次函數及基本圖形的相關性質，能夠根據圖形的基本特征添加適當的輔助線，構造相似三角形，然后利用相似三角形的性質解決問題.

（1）根據已知條件，拋物線經過原點O，所以可直接設拋物線的解析式為y=ax2+bx，a≠0.將點A（2，4），D（6，0）代入到拋物線解析式中可得4a+2b=4，

36a+6b=0，解得a=-12，b=3.由此可知，拋物線的解析式為y=-12x2+3x.

由點A（2，4），D（6，0）可知，OD=6，點A到OD的距離h=4，由三角形的面積公式可知△AOD的面積為S△AOD=12OD·h=12×6×4=12.

（2）由（1）可知，拋物線解析式為y=-12x2+3x，所以拋物線的對稱軸為直線x=3，所以當點F在拋物線對稱軸上時，點F的橫坐標為3，所以根據點A、F、D三點的橫坐標就可以判斷出AFAD=14，所以AD=4AF.

如圖2所示，連接OC，OH.根據點A的坐標可以得到OA在直線y=2x上，所以根據點C的坐標（-2，-4）可以知A、O、C三點共線，且點A和點C關于O點對稱，所以可得OA=OC.因為AH⊥CH，所以△AHC為直角三角形，根據直角三角形的相關性質可以得到OC=OA=OH，所以∠AHO=∠OAH.由AH平分∠OAD可知∠OAH=∠DOH，所以∠DOH=∠OHA，所以OH∥AD.設OH到AD的距離為d，由（1）可知S△AOD=12，所以S△AOD=12AD·d=12，△AFH的面積可以表示為S△AFH=12AF·d.因為AD=4AF，所以S△AFHS△AOD=14，所以S△AFH=3.

（3）如圖3所示，過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K，

由點A的坐標（2，4）可得AL=4，OL=2，DL=4.根據勾股定理可得OA=25.因為AL=LD=4，所以△ALD為等腰直角三角形，∠ADL=45°.又因FK⊥GE，所以∠KIF=∠EID=∠ADL=45°，所以設FK=IK=m.因為GF∥OA，所以△AOL∽△GFK，所以GKAL=FKOL=FGOA，所以GK=2m，FG=5m，GI=3m，所以FGGI=5m3m=53（定值）.

3 一題多解

通過問題（3）的解題過程可以發現，在進行問題解答的過程中主要是通過構造相似三角形的方式進行求解的.通過輔助線OL和FK構造了△AOL∽△GFK，從而根據△AOL三邊的長度判斷出FGGI=53（定值）.因此，可考慮應用其他方式構造相似三角形求解.

解法2如圖4所示，連接OH，過點A作AM⊥OD，交OD于L，交OH于M.由（2）可知OH∥AD，所以FI∥OM，因為AM⊥OD，EG⊥OD，所以AM∥GI.因為OA∥FG，所以△AOM∽△GFI，由相似三角形的性質可得FGGI=AOAM.由點A的坐標（2，4）可得AL=4，OL=2，DL=4，OA=25，所以△ALD為等腰直角三角形.因為OH∥AD，所以△OLM∽△DLA，所以△OLM為等腰直角三角形，所以OL=LM，所以FGGI=AOAM=256=53（定值）.

“一題多解”是通過從不同角度對一個問題進行思考，給出不同求解方法的策略.這樣的解題方式能夠有效拓展學生的思維模式，讓學生在解題過程中根據具體問題尋找更好的解題策略，從而提升其解題能力.

4 變式教學

變式在不改變原題條件的情況下，將問題（3）改編為：當點F運動到拋物線的對稱軸上時，求△FIG的面積.

解析根據已知可以知道△FIG的面積為S△FIG=12FK·IG=12m·3m=32m2，所以只需要得到m的值就可以對面積進行計算.由問題（2）可知，當點F處于拋物線的對稱軸上時，F點的橫坐標為3，由A（2，4），D（6，0）可以計算出直線AD的解析式為y=-x+6，所以點F的坐標為（3，3）.由點A的坐標可以計算出直線OA的解析式為y=2x.因為OA∥GF，所以設直線GF的方程為y=2x+n，將F（3，3）代入可得直線GF的方程為y=2x-3，聯立y=2x-3，y=-12x2+3x，可得12x2-x-3=0.根據一元二次方程的求根公式可得x1=1+7，x2=1-7.因為點G在第一象限，所以點G的橫坐標為1+7，所以m=1+7-3=7-2，所以△FIG的面積為S△FIG=32m2=32（7-2）2=33-672.

與原題的問題（3）相比，這個變式更具難度，所涉及的知識點更多，綜合性更強.通過變式教學的方式，能夠更好地讓學生將所學的知識運用到解題實踐中，提高學生分析問題和解決問題的能力，幫助其建構系統的知識體系，從而提升學生對知識的應用能力和解題能力[2].

5 結束語

在初中數學解題教學中，為提升學生的解題能力，教師可以采取“一題多解”的方式拓寬學生的解題思路，通過“變式教學”的方式引導學生運用數學知識進行解題實踐，從而幫助學生建構知識體系，提高其數學思維能力，提升其數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 丁素琴. 在思考中探索在拓展中創新：例談初中數學解題能力培養的基本措施[J]. 數學教學通訊，2021（5）：49-50，58.

［責任編輯：李璟］