笛莎格定理

顧森

吉拉德·笛沙格是17世紀法國著名的工程師和數學家，在工程方面，他設計了巴黎和里昂的多幢建筑，還為塞納河制作了一套抽水系統，在數學方面，他發現了很多漂亮的幾何規律，奠定了射影幾何這一數學分支的基礎．下面這個神奇的規律就是笛沙格發現的．

過點O作三條直線．在第一條直線上任選兩個點，記作A，A；在第二條直線上任選兩個點，記作B，B'；在第三條直線上任選兩個點，記作C，C'．我們得到了△ABC和△A'B'C'.作直線BC和B'C'，兩者交點記為X;作直線AC和A'C'，兩者交點記為Y;作直線AB和A'B'，兩者交點記為Z那么，X，Y，Z三點一定在一條直線上．

這個規律真的對嗎？你可以用直尺和鉛筆，在草稿紙上作圖試試．不過，畫完圖之后，你或許會有疑問：紙上畫出的X，Y，Z三點看起來好像是在一條直線上，但這是精準的嗎？學過了一次函數之后，我們有一個更好的方法來驗證這個規律，在平面直角坐標系里，幾何元素的各種屬性都能用數字確切地刻畫出來，點X，Y，Z的位置也能毫無誤差地計算出來．這樣，我們就能精準地驗證這個規律了．

如圖1，不妨假設點O是坐標原點（0，0），過點O的三條直線依次是x軸，y軸和直線y=2x.假設點A和A'的坐標分別為（0，2），（0，3），點B和B'的坐標分別為（1，0），（4，0），點C和C'的坐標分別為（1，2），（2，4）.為了求出這些點確定的直線，我們可以使用待定系數法．直線BC就是一條過點（1，0）且平行于y軸的直線，直線B'C'的解析式是y=-2x+8.代入x=1，得到y=6．因此，點X的坐標就是（1，6）.直線AC就是一條過點（0，2）的水平線，直線A'C'的解析式是y=1/2x+3．代入y=2，得到x=-2．因此。點Y的坐標就是（-2，2）．再次利用待定系數法，可以得到直線Xy的解析式為y=4/3x+14/3．

最后，我們來求一下點Z的坐標．直線AB的解析式為y=-2x+2，直線A'B'的解析式為y=-3/4x+3．這樣，我們就得到了一個二元一次方程組．解這個方程組，得到x=-4/5，y=18/5.點z的坐標就是（-4/5，18/5）．這個點是否在直線XY上呢？讓我們把點Z的橫坐標-4/5代入直線XY的解析式，得4/3×（-4/5）+14/3=-16/15+14/3=18/2，正好等于點Z的縱坐標．這說明，X，Y，Z三點確實在一條直線上．

我們這里只是對其中一種情況進行了驗證．不過，即使三條直線的解析式變了，以及點A，A'，B，B'，C，C'的坐標變了，利用同樣的方法，我們仍然可以檢驗規律的正確性，事實上，我們可以直接把三條直線設為y=k1x，y=k2x，y=k3x，把點A，A'，B，B'，C，C'的坐標設為（x1，k1x1），（x'1，k1x'1），（x2，k2x2），（x'2，k2x'2），（x3，k3x3），（x'3，k3x'3）．帶著這些字母進行計算，把點X，Y，Z的坐標都表示出來，就可以驗證在任何情況下點Z都會落在直線XY上．這樣就證明了笛沙格發現的規律始終成立．當然，這種證明方法的代數運算量會非常龐大．但這并不是不能完成，利用計算機等工具，這個計算任務就會變得非常輕松．

正方形拉伸后會變成長方形，四邊不再一樣長了．正方形在透視作用下還會變成平行四邊形，連內角都變了，但笛沙格發現的幾何規律很有意思：條件和結論都只涉及點和直線的位置關系，完全不涉及角度關系、長度關系、面積關系．因此，將圖形隨意拉伸變形，甚至是改成各種透視圖，條件和結論都不會發生變化——該在某條直線上的點，肯定還會在這條直線上：該過某個點的直線，肯定仍然會過這個點，這種類型的幾何規律就是射影幾何的研究對象．

笛沙格的發現在射影幾何中非常重要，后人把它叫作“笛沙格定理”．

2023年12月號“數學潛能知識競賽”

參考答案

1.B 2.C 3.-3／4 4.1 5.1／8 6．（1）不能．（2）10060元．

2023年12月號“數學潛能知識競賽”獲獎名單

（括號內為輔導老師）

金子耀 張珊尼（郭衛鋒） 于金朋（劉曉玲） 焦梓峻（劉莎） 楊忠樺（陳星）

朱家慕 于浩軒（陳星） 韓賡（馬婷） 孫人則（柴國江） 程俊杰（魏月娥）

王秉法 閆涵（魏月娥）