一次函數實際應用之“最”

楊金林

一次函數在現實生活中有著極為廣泛的應用，以一次函數為載體的實際問題則是歷年中考試卷的熱點題型之一，尤其是“最值”型實際應用問題更是頻頻出現．現以2023年中考試題為例予以說明，供同學們參考．

一 最低費用

例1 （2023·揚州）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大，某商店購進甲、乙兩種頭盔．已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，每只甲種頭盔的價格比每只乙種頭盔的價格高11元．

（1）甲、乙兩種頭盔每只的價格各是多少元？

（2）商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按原價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最低？最低總費用是多少元？

解：（1）設乙種頭盔的價格為x元／只，則甲種頭盔的價格為（x+11）元／只，根據題意，得20（x+11）+30x=2920，解得x=54，x+11=65.

答：甲、乙兩種頭盔的價格分別為65元／只和54元／只．

（2）設購買m只甲種頭盔，（40-m）只乙種頭盔，購買頭盔的總費用為w元．

由題意知m≥1/2（40-m），解得m≥131/3，故最小整數解為m=14．

w=0.8×65m+（54-6）（40-m）=4m+1920.

由4>0可知，w隨m的增大而增大．

所以，m=14時w取最小值，最小值為4×14+1920=1976．

答：購買14只甲種頭盔時，購買頭盔的總費用最低，最低總費用為1976元．

二 最大利潤

例2 （2023·遼寧）端午節是我國首個人選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗，某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解，每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同．

（1）甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？

（2）該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都要有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍．若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元／個、15元／個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．

①求w與m的函數解析式，并求出m的取值范圍．

②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

解：（1）設甲種粽子的進價為x元／個，則乙種粽子的進價為（x+2）元／個．

由題意得1000/x=1200/x+2，解得x=10．

經檢驗，x=10是原方程的解，且符合題意，則x+2=12．

答：甲種粽子的進價為10元／個，乙種粽子的進價為12元／個．

（2）①購進甲種粽子m個，則購進乙種粽子（200-m）個．

由題意得w=（12-10）m+（15-12）（200-m）=-m+600．

因為甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，所以m≥2（200-m），解得m≥1331/3.

所以，w與m的函數解析式為

w=-m+600（1331/3≤m<200，n為整數）．

②因為-1<0，所以w隨m的增大而減小，因為m≥1331/3，所以m的最小整數解為134．

所以當m=134時，w取最大值，最大值為-134+600=466，則200-m=66．

答：購進甲種粽子134個、乙種粽子66個能獲得最大利潤，最大利潤為466元．

三 最優方案

例3 （2023·通遼）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10t貨物，且每臺A型機器搬運450t貨物與每臺B型機器搬運500t貨物所需天數相同．

（1）求每臺A型機器和每臺B型機器每天分別搬運多少噸貨物．

（2）已知每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元．該公司計劃采購兩種型號的機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880t的需求，且購買金額不超過55萬元，請幫助該公司求出最省錢的采購方案．

解：（1）設每臺B型機器每天搬運xt貨物，則每臺A型機器每天搬運（x-10）t貨物．

由題意可得450/x-10=500/x，解得x=100.經檢驗，x=100是原方程的解，且符合題意．

x-10=100-10=90（t）.

答：每臺A型機器和每臺B型機器每天分別搬運貨物90t和100t．

（2）設公司采購A型機器m臺，則采購B型機器（30-m）臺．

采購金額w=1.5m+2（30-m）=-0.5m+60.

因為-0.5<0，所以w隨m的增大而減小．

所以當m=12時，公司采購金額w取最小值，此時w=-0.5x12+60=54（萬元）．

答：當購買A型機器12臺、B型機器18臺時，采購總費用最低，最低費用為54萬元．