基于GGB軟件技術的可視化高中數學課堂構建

鄭惠 曹欣楠

摘要：教育數字化時代背景下，隨著新課程改革的不斷推進，教師將信息技術廣泛應用于教育教學當中，可以促進學生學科素養的培養。特別是在高中數學教學當中，對GeoGebra（以下簡稱“GGB”）軟件的良好應用，可以提高教學效率。GGB軟件有助于教師完成可視化的數學課堂教學，創新數學課程的教學模式，培養學生“數據分析”核心素養。

關鍵詞：GeoGebra；高中數學；可視化課堂

GGB軟件是一款動態的教學軟件，在繪圖時涵蓋了點、直線、線段、多邊形、向量、圓錐曲線和函數等基本元素，這些繪圖元素均可在創建后直接在屏幕上或者使用命令動態改變。與傳統的幾何畫板相比，GGB軟件可完成幾何畫板的一切相關功能，并且非常顯著地簡化了操作過程，即可將教師難以口頭表達或板書不易展現的抽象知識動態展現給學生，充分提高數學課堂的教學效率。

一、以GGB軟件促進統計的可視化教學

（一）隨機數表法的前期準備

在人教B版高中數學教材必修二“數據的收集”一課中，列舉了常見的簡單隨機抽樣方法：抽簽法、隨機數表法。對于隨機數表法，學生只能通過教材第60頁的隨機數表進行簡單地了解和使用，這一過程其實是比較抽象的，而通過GGB軟件直接生成隨機數，學生在具體實踐中可以感受到數據的沖擊及數字化的魅力。教材提供了“在Excel中多次使用RANDBETWEEN函數，從1，2，……，90中抽出5個數”的例子（見教材60頁），運用類比的方法，GGB軟件也可以生成均勻分布隨機數、泊松分布隨機數、正態分布隨機數等，學生在實踐中可以感受大數據時代信息技術功能的強大。

【案例一】

師：（演示操作GGB軟件）請大家生成一組從1到100、樣本數量為10的均勻分布隨機數。

生：利用GGB軟件，只要確定好想選擇的隨機數類別、起始數、終值數、樣本數量，就能隨機生成數據，每按一次“回車鍵”，數據就會改變一次，并且這些數據都是沒有規律的。

師：大家結合生活中的實例想一想，生成的隨機數能為我們提供什么樣的便利呢？

生：比如，我們班級想通過抽簽的方式，從42人中派20人參與問卷調查，為了保證數據的公平性，可以全班同學的學號為序，生成42個隨機數，從大到小排列，選取前20名或后20名。

（二）數字特征的處理

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下通稱“新課標”）要求，學生掌握平均數、中位數、眾數、最值、標準差、方差、極差等數據的數字特征。大部分學生對于計算步驟沒有過多的疑惑，而教材中的例題、教輔中的練習和測試中的題目，通常不會在計算量上增加難度。這就意味著，在脫離了初等教育的高等數學統計學的研究中，學生有必要掌握利用計算機處理數據的能力。在數據的處理過程中，大部分學生目前可以在Excel中使用相應的函數求出最值、平均值等數字特征，而GGB軟件的表格區也可實現類似的功能，只是函數名稱不一致，教材中對同一組數據：18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5，分別在Excel和GGB軟件中進行了處理（見教材67頁），給學生以直觀的感受。

【案例二】

對于圖1中生成的10個隨機數，學生可利用GGB軟件中的函數進行數據處理。由于學生對Excel的使用相對嫻熟，所以在使用GGB軟件進行操作時會相對輕松。

（三）數據的直觀表示

在統計的課堂教學中，根據數據分析的需求，學生應當會選擇適當的統計圖表描述和表達數據，并從樣本數據中提取需要的數字特征，估計總體的統計規律，最終解決相應的實際問題。在以往的教學過程中，統計的教學活動幾乎都是通過典型案例進行的，如果學生能有機會經歷較為系統的數據處理全過程，逐漸理解數據分析的思路，學會如何處理典型案例，并在此過程中學習數據分析的方法，運用所學知識和方法解決實際問題，那么在未來面對樣本量較大的數據時，學生就能通過認知能力的提升，自主培養解決實際問題的能力。因此，新課標鼓勵學生盡可能運用計算器、計算機進行模擬活動、處理數據，更好地體會概率的意義和統計思想。

借助計算機軟件，教師可以快捷地做出有關統計圖表，如教材第71頁，在Excel中輸入有關數據后，就可以用有關作圖命令畫出柱形圖（條形圖），而且可以方便地改變呈現形式。在GGB軟件中，利用表格區輸入數據，然后利用“單變量分析”，可以得到數據的直方圖等信息，而且各種參數都可以自行設定。

【演示一】

由于頻率分布直方圖的繪制較為繁瑣，所以由學生提供繪制思路，教師提供軟件的操作步驟，師生共同繪制出教材第72頁“情景與問題”中案例對應的直方圖（見圖2）。

（四）一元線性回歸模型

在教材選擇性必修二中，對變量之間的相關關系、回歸直線方程及其性質、相關系數、非線性回歸進行了要求。新課標要求結合實例，了解樣本相關系數的統計含義，了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系，通過相關系數比較多組成對數據的相關性；結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件。線性回歸模型對于大部分學生來說陌生且不易接受。教師可以在課堂上演示如何在GGB軟件中作出線性回歸模型，有條件或有需求的學生可以在此基礎上自主研究。

【演示二】

冬日里，隨著氣溫的逐漸降低，茶館的生意日益火爆。某茶館為了解茶水銷售量與最低氣溫之間的關系，隨機統計并制作了某六天的茶水銷售量（單位：杯）與當天最低氣溫（單位：℃）的對照表（見表1）。

1.分析茶水銷售量與最低氣溫之間是否有關系，如果有，是什么關系？

2.若某一天最低氣溫為-5℃，能否估計這天茶館賣出茶水的杯數？

步驟一：繪制散點圖。啟動 GGB 軟件后，在表格區輸入表 1 中的“最低氣溫”“茶水銷售量”及對應數量。接著，框選數據，通過右鍵彈出對話框，選擇對話框中的“創建”—“點列”欄目，繪圖區內生成數據散點圖。

步驟二：建立一次函數模型。散點圖生成后，教師引導學生觀察其特征，回顧已掌握的函數圖象，學生以小組為單位，猜想并嘗試建立回歸模型。大部分學生都能得出“散點圖分布在一條直線附近”的結論，也會有一部分學生猜想二次函數、冪函數的情況。這時，教師要及時給予表揚，引導學生先嘗試建立一次函數回歸模型，并將其他情況作為拓展任務，暫不展開。

首先，教師指導學生在指令欄里輸入“多項式擬合”，根據指令提示，在繪圖區中生成一次函數圖象 f（x）。同時，在代數區內顯示函數 f（x） = -1.71x + 58.86。在計算機生成一次回歸函數后，教師引導學生回歸直線的數學定義：用直線方程近似表示的相關關系叫作線性關系，這條直線稱為回歸直線。學生回答出計算機生成的回歸系數為“a =1.71，b =58.86”。

步驟三：一次函數模型“殘差”分析環節。教師在指令區內輸入“殘差圖”，根據指令提示，在繪圖區內呈現出一次函數模型的殘差圖。在殘差圖的直觀演示下，教師引導學生將“殘差”與方差進行對比，促進學生對“殘差”這一概念的理解。然后，教師再借助殘差圖，簡要介紹“殘差”的平方和表達式以及求解回歸系數的最小二乘法。最后，給出一元回歸直線的系數計算公式。

二、以GGB軟件促進概率的可視化教學

（一）二項分布

通過“拋硬幣”的實例和對伯努利試驗的理解，教材引出了二項分布即n次獨立重復試驗及其數字特征，新課標要求學生能解決關于二項分布的簡單實際問題。教材第74頁引用了“將一枚均勻的硬幣拋100次，求出正好出現50次正面的概率”的案例，若設正面出現的次數為X，則X服從參數為100，0.5的二項分布，即X～B（100，0.5），因此所求概率為：

P（X=50） = [C50100] × 0.550 × （1 - 0.5）50 = [C50100] × 0.5100。

手動算出這個概率的小數形式并不容易，教材介紹了在Excel中解決此問題的方法，而GGB軟件也可以達到這個效果。

【演示三】

根據圖3的步驟進行演示，得到表格和頻率分布直方圖（見下頁圖4）。

（二）超幾何分布

同二項分布的概率值一樣，超幾何分布的概率值也可以用GGB求出，這對于解決二項分布和超幾何分布簡單的實際問題有很大的助力。

【案例三】

經歷二項分布的實踐，超幾何分布操作會更順利，學生基本可以自行解決（見下頁圖5）。

三、以GGB軟件促進可視化教學時需要注意的事項

（一）熟練應用信息技術，提高課堂效率

教學中的重要目標之一是讓學生經歷統計的過程。為了提高課堂效率和質量，同時避免手動畫圖帶來的誤差，教師利用GGB軟件展現作圖，直觀地為學生提供了有理有據的圖表，進而引導和指導學生親自動手實踐，提升了課堂的趣味性和教學效果，也有助于數據的分析。

（二）合理利用信息技術，提高課堂質量

尋找教學與信息技術融合的內容和方式之一是教師深入研究教學重難點。高中數學教材中經常會蘊藏如轉化、逼近、數形結合等豐富多樣的數學理念與思維模式。教師要深入研究教材和教學內容，設計的全部課程內容均應符合數學本質，要對蘊藏其中的數學理念與思維過程加以展示；要使信息技術用得有效，能夠讓學生更深刻地理解知識的本質，這樣才能達到融合的目的。教師在演示的時候要提醒學生關注知識本身，而不是追求圖形的絢麗多彩或表面的場景變化，這就需要教師預設課堂情境，提前思考相關情況，并在課上通過語言去引導學生，從而達到真正提高課堂質量的目的。

（三）深入發掘信息技術，展現數學價值

數學具有多方面價值，它是科學的、實用的、文化的、思想的，教師在教學中融入信息技術時不能僅局限于教材中的知識點，而是要深入挖掘數學知識中存在的各個方面的價值，并將其生動地展現給學生。GGB軟件因在數學教學中的準確周密、省時美觀、參數交互等特點，以及置入的動畫動態繪圖系統，便于學生對抽象化的數學知識點進行直觀地學習，養成圖形思維，提升數形結合的水平。GGB軟件支撐下的數學課堂能夠發揮數字化優勢，營造交互性、可視化的數學學習氛圍。在課余時間，教師還可以通過絢麗多彩的“勾股樹”展示數學定理，可以用形態多樣的“萬花尺”來體現數學的美學價值，這些都是培養學生的理性思維、激發學生探尋數學的歷史發展、增強學生數學文化素養和創新意識的有效途徑。

綜上，借助GGB軟件，教師可以展示出數學知識形成的過程，推動學生從實質上理解數學知識的本質，對不同數學教學流程加以完善，使學生增強數學思維能力，更好地體會數學的本質。

參考文獻：

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［2］譚春榮.GeoGebra與高中數學教學深度融合的實踐［J］.新課程教學（電子版），2023（5）.

［3］劉太杰，劉定勇.助數學思維發展促核心素養提升：以GGB在問題解決中的應用為例［J］.中學數學研究，2023（10）.

（責任編輯：楊強）