“相交線與平行線”要點精析

楊文金

要學好“相交線與平行線”，就 要掌握住其要點.請看楊老師給我 們帶來的要點精析。

要點一：垂線

如果兩條相交直線所成的四個角中的任意一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫作另一條直線的垂線，交點叫作垂足.

注意事項：（1）兩線段垂直，兩射線垂直，線段與射線垂直，均是指它們所在的直線互相垂直.

（2）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）兩條直線互相垂直，則它們所形成的四個角均為直角.

（4）在同一平面內(nèi)，如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么這條直線也與另一條直線垂直.

（5）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

（6）垂線是一條直線，而垂線段是一條線段.

例1（2023年雅安）如圖1，AB//CD，AC丄BC于點C.若∠1=65°，則∠2的大小為（ ?）

A.65°

B.25°

C.35°

D.45°

分析：先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角 互補”可得∠ACD的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義可得∠ACB=90°，然后根據(jù)∠2=LCD-∠ACB即可得出答案.

解：因為AB∥CD，L1=65°，所以人ACD= 180°-65°=115°.

因為AC丄BC，所以°ACB=90°，2=∠ACD-∠ACB=115 -90° =25°。故選B.

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂 線的定義，熟知“兩直線平行，同旁內(nèi)角互 補”是解本題的關(guān)鍵.

要點二：相交線形成的角

兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互 為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個 角，互為鄰補角.兩個角有一個公共頂點，并 且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的 反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角， 互為對頂角.

兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個 角，我們看那些沒有公共頂點的兩個角的關(guān) 系.兩個角在截線的同旁，且分別在被截兩 條直線同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角 叫作同位角.如下頁圖2中的∠1和∠5.

兩個角分別在截線的兩 側(cè)，且夾在兩條被截直線之 間，具有這種位置關(guān)系的一對 角叫作內(nèi)錯角.如圖2中的∠3 和∠5.

兩個角在截線的同旁，且在兩條被截直 線之間，具有這種位置關(guān)系的一對角叫作同 旁內(nèi)角.如圖2中的人3和人6.

注意事項：

（1）對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具 有特殊位置關(guān)系的兩個角.

（2）如果人a與人β是對頂角，那么一定 有∠a=∠β；如果∠a=∠β，那么∠a與∠β不一定是對頂角.

（3）如果人a與人β互為鄰補角，那么一 定有∠a+∠β=180°；如果∠a+∠β=180°，那么∠a與∠β不一定是鄰補角.

（4）兩直線相交形成的四個角中，每一 個角的鄰補角有兩個，其對頂角只有一個.

（5）兩條直線被第三條直線所截而形成 的八個角中，有四對同位角，兩對內(nèi)錯角，兩 對同旁內(nèi)角.

例2（2023年湘西） 已知直線a∥b，將一塊直 角三角尺按如圖3所示的 方式擺放.若∠1=40°，則 ∠2的大小是（ ?）.

A.40°

B.50°

C.14°

D.15°

分析：由a/∥b，人1=40°，得3=40°，進 而得到∠2的大小.

解：因為a∥b，人1=40°，所以人3=人1= 40°.因為人3+人2=180°，所以人2=180-40°=140°.故選C.

點評：本題主要考查平行線的性質(zhì)和鄰 補角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

要點三：平行線

在同一平面內(nèi)，不重合且不相交的兩條 直線叫作平行線，平行用符號“∥”表示.

判斷同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系 時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：

①有且只有一個公共點，兩條直線相交； ②無公共點，兩條直線平行；

③有兩個或兩個以上公共點，兩條直線 重合.

注意事項：

（1）經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直 線與這條直線平行.

（2）如果兩條直線都與第三條直線平 行，那么這兩條直線也互相平行.

（3）兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相 等，同旁內(nèi)角互補.

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果 同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直 線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那 么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線 所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.

例3（2023年煙臺）一桿古秤在稱物時的 狀態(tài)如圖4所示，已知 ∠1=102°，則∠2的大小為________

分析：根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相 等”即可求解.

解：如圖4所示，依題意，知AB∥DC，故∠2=∠BCD。因為∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，所以∠BCD=180-∠1=78°，故∠2=78°.

故應填“78°”.

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練 掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.