用切線處理雙參數最值問題的探究

【摘要】參數最值問題是高考數學的典型問題之一，其關鍵詞在于“參數”以及“最值”，涉及知識點廣泛.在實際教學過程中，學生對于此類問題常難以入手.本文用切線這個工具解決一道雙參數最值問題，總結歸納解題規律，以供讀者參考.

【關鍵詞】高中數學；切線；雙參數；最值

對于雙參數最值問題要綜合運用導數、切線等工具對問題進行研究.利用題目的已知條件進行消參處理.其中切線發揮的作用有兩個：一是可以放縮消去一些參數，從而簡化問題；二則是找到問題的臨界情況，求得最值.

題目" 對于任意的x∈－1m，+∞，不等式e2mx+n－1m≥x恒成立，則nm的最小值為.

方法1" 預設切點，聯立解出臨界值

對于此類在雙參數條件下求參數表達式最值的問題，可以由限制條件入手，利用切線代表臨界值的特殊性質，就可以解出最值.需要注意的是，雖然一般來說，此結果就是最值，但是還需要進行檢驗，結合題目的實際情況判斷.

解析" 設切點為（x0，y0），

則有e2mx0+n－1m=x0，2me2mx0+n=1，

由此解得e2mx0+n=－x0，

代入原式可得：m=－12x0，n=ln（－x0）+1，

所以nm=2（－x0）ln（－x0）+2（－x0），

令－x0=t，

則可得nm=2tlnt+2t，

設f（t）=2tlnt+2t，

則導函數f′（t）=2lnt+4，

此時f′（e－2）=0，即f（e－2）為函數的最小值，

所以f（t）≥f（e－2）=－2e－2.

直接預設切點可以將原本的限制條件轉化為確定的含參等式，從而得出臨界的條件式，而最值就是在臨界處取得的.在解題時還可以配合取特殊值的方法進行研究.

方法2" 利用切線縱截距

對于一條切線來說，與坐標軸的交點有兩個，分別在x軸和y軸上，對于可以將參數的值或者相關表達式轉化為切線的縱截距的題目，可以直接求解相切時縱截距，即可得到參數的值.

解析" e2mx+n－1m≥x可轉化為e2mx+n≥x+1m，

設f（x）=e2mx+n，

則f′（x）=2me2mx+n，

令2me2mx+n=1，

可得x=ln12m－n2m，

所以f（x）在x=ln12m－n2m的切線方程為：

y－12m=x－ln12m－n2m，

需滿足1+n－ln12m2m≥1m，

得到n≥ln12m+1，

nm≥1+ln12mm≥1－ln2mm，

求導后易證1－ln2mm≥－2e－2.

此方法本質上也是通過在臨界點處的取值算出參數的值，不同的是，其可以直接算出參數的值，而不需要再聯立方程進行求解.

方法3" 利用切線橫截距

與方法2相似，如果在縱截距的層面上難以表示，就可以考慮將切線化成橫截距為參數表達式的形式進行求解.

解析" e2mx+n－1m≥x可轉化為

e2mx+n≥x+1m，

變為2mx+n≥lnx+1m，

令x+1m=tgt;0，

則原式可以化為2mt+n≥lnt+2，

又2mt+n=m2t+nm，

結合圖象可得，當直線y1=2mt+n與直線y2=lnt+2恰好相切于y2的零點時，此時－n2m取得最大值，

所以－n2m≤e－2，

從而得出nm≥－2e－2.

橫截距求解參數的值的方法并不常用，其適用于將參數的值或者相關表達式轉化為切線的橫截距的題目.

補充" 待定變量值

待定變量法是解決數學難題的重要方法，對于難以直接求解的變量，可以先設出變量，在后續的運算過程中得到變量具體的值，再代入原表達式即可得到最值.

解析" e2mx+n－1m≥x可轉化為

em2x+nm≥x+1m，

令x=t－1m，

則原不等式變為：em2t+nm－2≥t，

轉化為m2t+nm－2≥lnt，

下同方法3，最終求出t=e－2，

得到x=e－2－1m，

直接代入得到nm≥－2e－2.

待定變量法是對于切線法的一個補充，對于含有多個參數的最值問題，待定變量可以將雙元變為單元，在一定程度上簡化解題過程.

結語

以上三種用切線解決雙參數不等式最值問題的方法雖然處理的過程并不相同，但是方法內涵都是一樣的，利用切線帶有的臨界值的特性算出參數的具體值.而補充方法是對于此類問題在多元情況下的簡化.

參考文獻：

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