例談運用極化恒等式解答三類向量數量積問題

【摘要】向量數量積問題一直是高中數學炙手可熱的一類題型，求解時常用的基本方法有基底法、坐標法、圖形法等，這些方法的運用具有各自的特點和局限性.有時解答一些選擇或填空題，常常會因為投入過多時間和精力導致效率不高，造成得不償失的結果.選擇一些向量定理或二級結論解題，以極化恒等式為例，靈活運用公式AB·AC=14AB+AC2－AB－AC2解答向量數量積問題，不僅能快速找到解題的關鍵點，還能提高解題的效率.本文主要對極化恒等式解答兩類不同向量數量積問題的運用進行分析，加強對極化恒等式的認識和理解，從而幫助學生快速高效地解題.

【關鍵詞】極化恒等式；向量數量積；解題

面對向量數量積問題時，極化恒等式往往能為學生提供一種富有洞察力的解決方案.特別是在平面幾何、立體幾何，以及圓錐曲線等復雜的問題中的運用，極化恒等式可以引導學生理解如何以更直觀、更立體的方式思考這些問題.

1" 平面幾何類數量積問題

平面幾何中關于向量數量積問題的解答，運用極化恒等式時應將所求向量轉化成有公共點的向量乘積形式，進而對問題做出具體的解答.運用極化恒等式求解平面幾何類向量數量積問題時，常見的解答思路為：（1）根據矢量加法原則，將問題所求向量轉化為具有公共點的向量組乘積形式；（2）根據極化恒等式公式，得到具體的向量關系等式；（3）找出轉化后的向量在平面幾何中對應的具體位置，憑借幾何圖形性質和等量關系，代入具體值運算求出數量積大小.

例1" 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，點M是BC的中點，則MA·MD=（" ）

（A）1." （B）2." （C）3." （D）4.

圖1

分析" 由于問題所求向量組有公共點M，故直接結合極化恒等式，將其轉化為具體的向量關系等式4MA·MD=MA+MD2－MA－MD2，根據向量矢量原則，MA+MD和MA－MD都能找到具體對應的向量，最后結合梯形的圖形特點和所給條件，代入關系式中運算得到具體數量積大小.

解析" 如圖1所示，運用極化恒等式，

可得4MA·MD=MA+MD2－MA－MD2

=2MO2－DA2

=4×322－1=8.

所以MA·MD=2.

故正確答案為選項（B）.

2" 立體幾何類數量積問題

與立體幾何有關的向量數量積問題，極化恒等式的運用也是高效解題的手段之一，根據空間結構特點分析具體極化恒等式表達式的向量特點，結合已知條件求出具體值，進一步求出數量積的值.極化恒等式在立體幾何中對于向量數量積問題的解答，具體解題思路可表現為：（1）根據極化恒等式公式，將問題所求向量進行等價轉化，得到與另一組向量有關的表達式；（2）在幾何體空間結構基礎上，結合所給條件判斷轉化后的向量的對應值；（3）把所求值代入表達式中，運算得到數量積大小.

例2" 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是正方體的內切球面的任意線段，點P是正方體表面的動點，當線段MN最長時，PM·PN的最小值為.

圖2

分析" 首先根據極化恒等式，問題所求向量可等價轉化為PQ2－14MN2，其次在正方體和其內接球的空間基礎上，對向量PQ，MN作出具體分析，由題意易知MN等價于內接球直徑，則PQ的最小值情況需要推導判斷，只要求出PQ的最小值，問題所求數量積也將迎刃而解.

解析" 當線段MN最大時，等價于內接球的直徑，假設MN的中點為Q，由極化恒等式可得

PM·PN=PQ2－14MN2，

當PQ最小時，PM·PN有最小值，

因為點P在正方體表面，點Q是內接球球心，

所以PQmin=12×2=1，

PM·PN=PQ2－14MN2≥1－1=0，

故PM·PN的最小值為0.

圖3

變式" 如圖3，在三棱錐S－ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直且SA=SB=SC=2，點M為三棱錐S－ABC外接球上任意一點，則MA·MB的最大值為.

分析" 首先結合極化恒等式使MA·MB轉化為MO12－14AB2，AB是定值，問題所求轉化為求MO1的最大值.其次結合三棱錐的空間結構特點以及外接球性質，判斷MO1最大值成立的具體情況，并根據勾股定理求出對應值大小，即可得到問題所求向量數量積的最大值.

解" 取AB的中點O1，外接球球心為O，

因為SA⊥SB，SA=SB=2，

所以AB=SA2+SB2=22，

由極化恒等式可得

MA·MB=MO12－14AB2=MO12－2，

因為點M，A，B都在外接球上，當M，A，B共圓，球心O，O1，M點共線時MO1有最大值，

因為外接球半徑R=OM=3，

OO1=R2－12AB2=1，

所以MO1max=3+1，

所以MA·MB=MO12－14AB2=MO12－2≤23+2，

故MA·MB的最大值為23+2.

3" 結語

通過上述例題的分析，可以發現在平面幾何中，極化恒等式需要結合平面圖形性質對向量數量積作出分析；在立體幾何中，極化恒等式的運用離不開空間點、線、面之間位置的綜合分析極化恒等式是求解向量數量積問題的有效手段，在不同類型問題中需要結合相對應方面的知識做出分析，從而求解得到數量積的具體值.學生們應熟練掌握極化恒等式的公式與應用思路，今后更加高效地解答向量數量積問題.

參考文獻：

［1］楊蒼洲.例談極化恒等式的應用［J］.中小學數學（高中版），2016（10）：52-53.