淺談一元二次不等式的解法

【摘要】在講解一元二次不等式模塊的內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生反映雖然能夠聽懂課堂上教師所講授的知識(shí)要點(diǎn)，但在具體解題過程中卻存在問題，對(duì)難度較高的一元二次不等式習(xí)題感到無從下手.本文主要從該模塊的簡單解法入手，帶領(lǐng)學(xué)生共同分析高次不等式、分式不等式以及絕對(duì)值不等式的常見解答方式，并對(duì)如何解答含參的一元二次不等式試題進(jìn)行探究，以期能夠提高職業(yè)院校學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能.

【關(guān)鍵詞】不等式;二次函數(shù);一元二次方程

在職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，授課教師應(yīng)當(dāng)著重為學(xué)生講解一元二次不等式試題的不同解法，該模塊是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中的一大重難點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生需要緊密結(jié)合二次函數(shù)、二次方程與二次不等式等內(nèi)容進(jìn)行解答.必要時(shí)還需要充分運(yùn)用方程函數(shù)、分類轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想［1-3］.

1" 探析一元二次不等式與一元二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系

例1" 解答以下三道一元二次不等式：

（1）2x2+4x+3lt;0；

（2）－3x2－2x+8≤0；

（3）8x－1≥16x2.

解" （1）由于Δ=42－4×2×3=16－24=－8lt;0，

所以方程2x2+4x+3=0沒有實(shí)根.

因此2x2+4x+3lt;0的解集為.

（2）將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?x2+2x-8≥0，

即（x+2）（3x－4）≥0，

解得x≤-2或x≥43.

因此不等式－3x2－2x+8≤0的解集是

-∞，-2∪43，+∞.

（3）將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?6x2－8x+1≤0，

即（4x－1）2≤0，

因此當(dāng)且僅當(dāng)4x－1=0，即x=14時(shí)這一不等式才成立，

因此不等式8x－1≥16x2的解集是14.

注" 在解答ax2+bx+cgt;0（lt;0）（a≠0）這種類型的一元二次不等式時(shí)，可遵循四大解題流程：

（1）將不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)；

（2）判斷不等式中判別式Δ的符號(hào)是正是負(fù)；

（3）如果根存在，求出不等式相應(yīng)一元二次方程的根；

（4）最終結(jié)合一元二次方程的根和二次函數(shù)圖象求解不等式的解集.

2" 與一元二次不等式相關(guān)的其余類型不等式的解法

2.1" 如何解答含絕對(duì)值的不等式

例2" 解答以下兩道不等式：

（1）x2－3gt;2x；

（2）x+2gt;x－1－3.

（1）解法1" 運(yùn)用定義法將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

x2－3≥0，x2－3gt;2x，或x2－3lt;0，-（x2－3）gt;2x.

最終解得xgt;3或x≤－3或-3lt;xlt;1.

因此這一不等式的解集是{x|xgt;3或xlt;1}.

解法2" 運(yùn)用圖象法來進(jìn)行解答，

令y1=x2－3，y2=2x，能夠發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)處坐標(biāo)是1，2和3，6.

因此滿足y1gt;y2的不等式的解集是

xxgt;3

或xlt;1.

（2）令 x+2=0，x－1=0，

解得x=-2與x=1.

將這一不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

xlt;－2，－（x+2）gt;－（x－1）－3，

或－2≤xlt;1，x+2gt;－（x－1）－3，

或x≥1，x+2gt;x－1－3，

最終解得這一不等式解集是

x－2lt;xlt;1

或x≥1，

即xxgt;－2.

注" 在解答含有絕對(duì)值的不等式試題時(shí)，需要把握解題關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分析去掉絕對(duì)值后的符號(hào)，一般會(huì)用到零點(diǎn)分段、平方法以及定義法解答，還可能直接運(yùn)用函數(shù)圖像求出答案.

2.2" 如何解答分式不等式

例3" 解答不等式x2－4x+13x2－7x+2lt;1.

解" 我們能夠?qū)⑦@一不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

－2x2+3x－13x2－7x+2lt;0，

將不等式左邊進(jìn)行整合后能夠發(fā)現(xiàn)：

（2x－1）（x－1）（3x－1）（x－2）gt;0，

運(yùn)用數(shù)軸標(biāo)根法，能夠繪制出圖1.

圖1

因此這一不等式的解集是

xxlt;13或12lt;xlt;1或xlt;2.

注" 在解答分式不等式試題時(shí)，需要格外注意同解原理，且不能隨便去除分母，可先把不等式的一邊進(jìn)行化零，不等式的另一邊進(jìn)行因式分解，通過在數(shù)軸上標(biāo)出各因式為零的根，之后依據(jù)不同因式在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)情況來解出不等式的解集.如果不等式的分子或分母中含有公因式，需注意不能隨意約去.

3" 如何解答含參一元二次不等式

例4" 求解關(guān)于x的不等式ax2－（a+1）x+1lt;0（agt;0）.

解" 將這一不等式轉(zhuǎn)變?yōu)椋海▁－1）（ax－1）lt;0.

由于（x－1）（ax－1）=0的根為x1=1，x2=1a.

①當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，1agt;1，

可以得出1lt;xlt;1a.

②當(dāng)a=1時(shí)，1a=1，可以將原不等式轉(zhuǎn)變成：（x－1）2lt;0，最終發(fā)現(xiàn)該不等式無解.

③ 當(dāng)agt;1時(shí)，0lt;1alt;1，

可以得出1alt;xlt;1.

注" 不等式的解集形式會(huì)受到方程根大小的影響，因此我們?cè)诮獯鹬锌梢愿鶕?jù)方程根的大小來對(duì)問題進(jìn)行分類討論，換句話說，對(duì)應(yīng)方程的根就是一元二次不等式解集的臨界值.

參考文獻(xiàn)：

［1］嚴(yán)保靜.回歸教學(xué)起點(diǎn)，追尋高效課堂——以《一元二次不等式的解法》為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（01）：26-28.

［2］李建業(yè).數(shù)學(xué)問題式教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐探索——以“一元二次不等式的解法”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（18）：12-13.

［3］嚴(yán)曉春.教學(xué)轉(zhuǎn)型背景下一元二次不等式及其解法探析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（19）：154-155.