向量法解決立體幾何問題中的點坐標尋求

【摘要】向量法是解決立體幾何的一個有力工具，囿于利用向量法的起步——找點的坐標難，讓很多學生望而卻步.為突破這一難點，本文先介紹基礎知識，然后通過例子論述如何準確給點的坐標，呈現解題的過程，給師生提供教與學的參考.

【關鍵詞】立體幾何；向量法；坐標

立體幾何作為大題是數學高考必考題型之一，往往是兩問呈現，第一問比較簡單屬于基礎題，用傳統方法可解決，第二問難度較大用傳統方法難以解決.空間向量法是解決立體幾何的有效方法，能把空間問題代數化、具體化、簡單化.在解題過程中很多考生只停留在簡單的模仿與記憶階段，亂建系、給錯點的坐標等問題很多，導致考生卷面書寫很多而不得分，成績出來時出現極大的落差.為幫助考生突破亂建系、給錯點的坐標這一問題，本文結合兩個例題進行針對性的論述，指導考生正確建系和給點的坐標.

1" 相關基礎知識

（1）a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），如果a與b共線a=λbx1=λx2，y1=λy2，z1=λz2.

（2）向量法求線線垂直：求直線l1的方向向量a=（x1，y1，z1），直線l2的方向向量b=（x2，y2，z2），l1⊥l2x1x2+y1y2+z1z2=0.

（3）向量法求二面角：分別求出二面角α－l－β兩個半平面α與β的法向量n1、n2.

若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，

則cosθ=cos〈n1，n2〉=n1·n2n1·n2.

若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，

則cosθ=－cos〈n1，n2〉=－n1·n2n1·n2.

2" 例題闡述

例1" 如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點E是邊AD上的動點，沿BE將△ABE翻折至△A′BE，使二面角A′－BE－C為直二面角.

（1）當AE=3時，求證：A′B⊥CE；

（2）當AB=AE時，求二面角C－A′B－E的正弦值.

圖1

圖2

證明" （1）因為BE=AB2+AE2=23，

CE2=CD2+DE2=2.

在△BEC中，

因為BC2=BE2+CE2CE⊥BE，

又二面角A′－BE－C為直二面角，

所以平面A′BE⊥平面CBE且平面A′BE∩平面CBE=BE，

所以CE⊥平面A′BE，又A′B平面A′BE，

故A′B⊥CE.

（2）因為A′B=A′E，取BE中點FA′F⊥BE，

由（1）可知：A′F⊥平面BCE.

以點C為原點CD為x軸、CB為y軸、平行A′F為z軸建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），

圖3

B（0，4，0），E（3，4－3，0），

F（32，8－32，0），

A′（32，8－32，62），

CA′=（32，8－32，62），

CB=（0，4，0），

A′B=（－32，32，－62），

A′F=（0，0，－62），

設平面A′BC、平面A′BE的法向量分別為n1=（x1，y1，z1），n2=（x2，y2，z2），

32x1+8－32y1+62z1=04y1=0n1=（1，0，－22）；

－32x2+32y2－62z2=0－62z2=0n2=（1，1，0）

設二面角C－A′B－E的平面角為θ，

由cosθ=cos〈n1，n2gt;=33，

所以sinθ=63.

方法技巧

比較困難的點坐標可利用共線向量或中點坐標公式求助，也可借助如平行z軸上點的橫、縱坐標相等.本題從點C走到點F沒有最佳路徑，而點F是BE中點，可用中點坐標公式輔助求.

例2" （2021全國甲卷文）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.

（1）求三棱錐F－EBC的體積；

（2）已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.

解" （1）連接AF，BF=BC2+CF2=5，

在直角三角形ABF中，AF=AB2+BF2=3，

在直角三角形ACF中，AC=AF2+CF2=22，

在直角三角形BCE中，BE=BC2+CE2=2，

所以VF－EBC=13×12×2×2×1=13.

圖4

圖5

（2）以點E為原點，EB為x軸、EC為y軸，平行AA1為z軸建系如圖5，

E（0，0，0），F（0，2，1），

B（2，0，0），D（x，y，z），

A1（0，－2，2），B1（2，0，2），

所以BF=（－2，2，1），ED=（x，y，z）.

因為A1D=λDB1（x，y+2，0）=λ（2－x，－y，0），

x=2λ1+λ，y=－21+λ，

所以D（2λ1+λ，－21+λ，－2），

所以ED=（2λ1+λ，－21+λ，2）.

由BF·ED=0BF⊥DE.

方法技巧" 充分應用勾股定理求長度，建系時找到線面垂直、線線垂直能準確建系，遵循“最佳路徑”發現點E走到點D行不通，可向點A1，B1求助，利用共線向量可得D坐標表達式.

3" 結語

建系應遵循“兩找”：找線面垂直可得z軸，再在面內找線線垂直可得x，y軸.如不同點可平移，給點坐標時應遵循“最佳路徑”（與坐標軸同向或反向），比較困難的點坐標可利用共線向量或中點坐標公式，一些特殊如平行z軸上點的橫、縱坐標相等，準確建立空間直角坐標系、給對點的坐標，也能避免答而不得分現象.