解題教學培育學生數學思維能力的探索

潘妙妙

俗語有云：“授人以魚不如授人以漁.”數學教學是為了培養學生學習能力與生活能力的教學，教師的課堂引導對學生思維的發展具有深遠的影響.在新課標的引領下，以核心素養為導向的數學教學，學生才是課堂真正意義上的主人，所有的教學活動應基于“以生為本”的基礎開展[1].因此，高中數學教學不再是知識的傳授那么簡單，而應在充分理解課標要求與學情的基礎上，借助課堂教學激趣啟思、拓展學生的思維、挖掘潛能，促使每個學生都能形成良好的自主學習能力，為發展核心素養夯實基礎.

1 教學過程

例1?在數列{an}中，已知a1=1，且an+1=2an+1，則該數列的通項公式是什么？

問題的條件是解決問題的基礎.解題時，首先要讀題、審題，只有準確把握問題的條件，才能明確試題究竟涉及哪些知識點，該從何處下手進行分析.例題教學初始階段，教師可鼓勵學生自主審閱問題條件，并將條件內容進行合理轉化，盡可能“化未知為已知”，在模仿訓練中自主探尋知識規律，在及時反思中獲得解題感悟.對于本題，教師可鼓勵學生自主觀察遞推公式，并從它的結構特點出發，進行變形.

生1：由an+1=2an+1可得an+1+1=2（an+1），即an+1+1an+1=2，則數列{an+1}

以2為首項，2為公比的等比數列.

師：非常好！如何規范書寫？

生2：an+1=2n－1×2=2n，則an=2n－1.

在學生觀察與分析題設條件時，教師要做的是給足時間，適當留白，舍得放手，鼓勵學生獨立思考，開拓思路，多加嘗試，通過對數列的不同變形轉化，深刻理解等比數列概念的內涵.為了讓學生發現問題中隱藏的規律，教師還可在此基礎上把握好引導時機，設計模仿訓練.

師：在數列{an}中，已知a1=1，且an+1=2an+2，則該數列的通項公式是什么？

生3：在等式兩邊同時加上2，可得an+1+2an+2=2.

師：很好！思考至此，我們可將原問題如何轉化？

生4：若明確數列{an+2}是一個首項為3，公比為2的等比數列，則該數列的通項公式是什么？

顯然，學生的思維相當活躍，不論是解題還是轉化都體現出良好的知識基礎.為了進一步拔高學生的思維，教師可設計一些具有挑戰性的問題，以逐步啟迪學生的思維，提升學生的抽象與概括能力.

師：對比以上兩題，它們在結構上具有怎樣的共同點？關鍵性條件是什么？該怎樣靈活地將這種數列問題化歸成等比數列的問題？

生5：當數列的首項與遞推公式明確時，可將形如an+1=2an+q（q是常數）的式子變形，轉化成an+1+k=2（an+k）的結構，進而得到一個以2為公比的等比數列.

為了實現“深度學習”的目的，教師至此并沒有結束本題的教學，而是選擇趁熱打鐵，提出變式練習，以強化學生對知識的掌握與靈活應用程度.

變式?在數列{an}中，已知a1=1，an+1=pan+q，且p，q均為常數，則數列{an}的通項公式是什么？

設計意圖：變式具有不改變知識本質，只變化問題形式的特征.該變式與例1相比，難度稍有增加，但考查的核心點并沒有發生變化.如此設計意在進一步強化學生對數列通項公式的理解，為形成舉一反三的解題能力奠定基礎.

借鑒前面兩題的解題經驗，學生經過觀察與思考，從問題條件特征著手進行嘗試.巡視過程中發現有部分學生存在思維障礙，教師可適當作如下點撥：an+1=pan+qan+1+k=p（an+k），怎么從p，q著手求得k的值呢？

生6：將前后兩個式子進行對比，不難發現pk－k=q這個關系，因此，當p≠1時，k=qp－1，也就是an+1=pan+qqp－1+an+1qp－1+an=p.

生7：當p≠1時，數列{an+qp－1}是公比為p的等比數列.

師：當p=1時，則有an+1=an+q，那么數列{an}就是公差為q的等差數列，通項公式也自然可求.

學生的思維隨著探索的深入越發完善，無需教師過多的引導，學生就自主總結出結論.聯系以上幾個問題，已知條件都是數列的首項和遞推公式，當n≥1時，有an+1=pan+q，總結出解題步驟大致如下：①將原式設為an+1+k=p（an+k）.②將上式整理為an+1=pan+（p-1）k，用待定系數法，可求出未知數k.需要注意的是，當p未知時，需進行分類討論，若p≠1，數列可轉化成等比數列，且k=qp－1；若p=1，則數列{an}為等差數列.③利用構造的等比數列或直接應用等差數列的通項公式，得出原數列通項公式.

2 幾點思考

2.1 思維的重要性值得關注

日常工作中，筆者常會聽到一些教師發牢騷：“這些學生怎么了？講了一遍又一遍，怎么就不開竅呢？”然而，當教師在對學生有意見的同時，有沒有反省一下自己的教學方法呢？為什么講過的問題，學生不能靈活應用呢？究其主要原因還在于教師只傳授給了學生正確答案，而沒有讓學生獲得學習方法，學生因為缺乏良好的思維能力而導致理解障礙.

數學是思維的體操，培育學生的數學思維能力不僅是課標對教師提出的要求，更是時代賦予教師的重要責任.作為教師，不僅要關注學生客觀存在的差異性，還要利用課堂教學充分發揮學生的個性特征，促使每個認知水平層次的學生都能在課堂中獲得不同程度的發展，以從真正意義上拔高思維，提升學力[2].

如本節課，教師就借助由淺入深的問題引發學生的思考，巡視發現部分學生出現思維障礙時，則適時給予點撥.不論是由淺入深的問題，還是適當點撥，都為學生的思維搭建了“腳手架”，讓每個學生都在教學中獲得不同程度的發展.

2.2 多角度思考可拔高思維

一千個讀者就有一千個哈姆雷特.每個人看待問題的切入點與關注點都有所差異，數學解題亦不例外.同一道試題，若從不同的視角去分析，所用的解題方案也有著天壤之別.為了拓寬學生的視野，培養學生的自主學習能力，解題教學時，教師可引導學生從不同角度去審視問題，在溝通知識的基礎上，拓寬學生的思維，優化解題思路，提升數學核心素養.

在本題的教學引導中，教師不僅教會了學生解本題，還借助變式不斷拓展學生的思維，引導學生從不同的維度來思考與探索解決問題的辦法，促使學生通過解一道題，獲得解一類題的能力.這種教學方式，不僅凸顯了多角度思考可拔高數學思維，還借助教學過程滲透了分類討論、轉化與化歸等思想方法，從真正意義上實現了深度學習.

2.3 合作學習可活化思維

合作學習是當前課堂中的常見教學模式.合作學習可拉近師生、生生以及知識間的距離，每個學生將自己的想法與解題思路表達出來，可給其他小伙伴帶來啟迪，通過組內討論獲得獲得更優、更便捷的解題思路.

本節課教學的核心在于引導學生養成從問題條件所提供的信息中提取關鍵信息的習慣，獲得融會貫通的解題能力.這一類問題的解題關鍵在于“構造法”的應用，即將待求的原數列，轉化成學生所熟悉的等差數列或等比數列，最后求得通項公式.解題所涉及到的k值，無需機械性記憶，只要掌握其形成原理即可獲得.

縱覽本節課的教學流程，引導式與合作交流式的教學方式給學生的思維提供了更大的彈性空間，學生在自主思考與探索中，汲取同伴的優點，改正自己不當的地方，不斷獲得解題能力的提升.合作交流與良好的思維習慣一旦形成，對學習任何知識或學科都具有良好的促進作用.

總之，借助課堂教學發展學生的數學思維，值得每一位教師去探索、研究，它深刻反映了社會對教育發展的要求，揭示了教學過程與學生的成長具有辯證統一的關系.學生一旦獲得了良好的思維能力，在遇到問題時，就能靈活地舉一反三，從真正意義上實現學習能力的終身可持續性發展.

參考文獻：

[1]陶行知.陶行知文集[M].南京：江蘇人民出版社，1981.

[2]涂榮豹.數學解題學習中的元認知[J].數學教育學報，2002（4）：6-11.