基于數列知識，高三備考復習建議

阿麗米熱·艾尼

摘要：作為高考中的主干知識之一，“數列”模塊的復習備考是高考復習中的一個重要環節.通過把握復習方向，強調數學運算，加強解題教學，強化主題研究等層面展開，剖析復習備考建議，全面提升數學能力與培養核心素養，優化復習備考效益.

關鍵詞：數列；高考；備考；復習建議

近幾年的高考對數列知識的考查切實吻合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求.以數列的基本概念、基本類型、基本公式、基本性質以及基本應用等入手，堅持素養導向，重視數學基礎與數學本質，突出能力為重，是高考命題中專注學科素養培養、體現關鍵能力考查的一個主要載體.同時，數列知識可以很好回歸數列的函數屬性，巧妙聯系函數與方程、不等式等相關知識，起到很好的知識交匯與融合的作用；數列知識又可以合理聯系生活實際，對于實際應用與創新應用也有很好的導向作用.

基于此，數列成為高考命題中的主干知識點之一，也是高考重點考查的內容之一.為了更好地、更有針對性地對數列專題進行復習，筆者結合內容給出如下備考建議.

1 把握復習方向，科學精準研究

高考復習與備考，往往是基于對專題知識的精準研究，充分把握備考方向為根基.深入研究“課標”，回歸教材，研究歷年高考真題等，從中探尋一些高考命題的方向與特征，為更加有效的復習備考提供條件.

對于數列模塊的復習備考，必須基于數列基礎知識，通過“三靠”（靠知識、靠技能、靠思維）來解決數學能力問題，依托“三練”（練思路、練運算、練表達）來合理訓練與提升，實現復習教學的“三會”（會觀察、會聯想、會轉化）目的.基于此，巧妙將數列與函數、數列與不等式等加以綜合與交匯，有時還要將數列與概率等相關知識加以融合，實現創新與應用.

例1?已知數列{an}滿足an=an+1+an－1（n≥2），設數列{an}的前n項和為Sn，若S202=201，S201=202，則S203=[CD#3].

分析：根據題設條件，合理通過數列遞推關系式的變形與轉化，確定數列{an}是周期為6的周期數列，進而利用題設條件中的S202=201，S201=202，確定相應項的值，進而加以分析與求解.

解析：由an=an+1+an－1，可得an+1=an－an－1.

所以an+2=an+1－an=－an－1，an+3=an+2－an+1=－an，則有an+6=－an+3=an，

故數列{an}是周期為6的周期數列.

又由an+3=－an，得an+an+3=0，

從而an+an+1+an+2+an+3+an+4+an+5=0，即數列{an}中連續6項之和為0，

而a1+a4=0，a197+a198+a199+a200+a201+a202=0，a3=a2－a1，

所以S202=a1+a2+a3+a4+33（a197+a198+a199+a200+a201+a202）=a2+a3=201，

S201=a1+a2+a3+33（a196+a197+a198+a199+a200+a201）=a1+a2+a3=2a2=202.

解得a2=101，a3=100.

又a1+a4=0，a2+a5=0，

所以S203=a1+a2+a3+a4+a5+33（a198+a199+a200+a201+a202+a203）=a3=100.

點評：涉及陌生的數列問題，特別涉及數列的遞推關系式問題，往往可以通過多個式子，合理觀察相應式子之間的關系，加以合理化歸與轉化，巧妙變形應用，從而歸納與總結其基本規律，確定相應的性質，為進一步的分析與求解提供條件.

2 強化數學運算，貫穿復習始終

數列試題，對數學運算的要求是最為直接的，也是數學運算能力與素養最常用的一種考查方式.

強化數列專題中基本量的運算，優化數學運算方法，提升數學運算效益等，都是復習備考中必須加以重點強調的一個基本點.

在數列專題復習備考過程中，專注于數列模塊知識的“通性通法”的理解與掌握，合理優化數學運算，可以進行“一題多解”和“多題一解”等的訓練與反思，這對強化與優化數學運算等都有很大的益處.

例2?已知數列{an}對任意k∈[WTHZ]N[WTBX]*滿足ak+1+ak=4k+3，則a1+a2 024=[CD#3].（4 051）

分析：根據數列的遞推關系式合理配湊處理（常用待定系數法）構建結構相似的遞推式，利用迭代處理來構建數列的通項公式，從而實現問題的分析與求解.

點評：[JP4]這里要注意的是，不能說數列[JB（{]ak－2k－12[JB）}]是一個等比數列，因為其首項a1－2×1－12=a1－52不能確定其非零，這是容易出錯的地方.借助題設條件，合理結合相關的技巧方法來化歸與轉化，合理數學運算，從而實現數列問題的破解.

3 加強解題教學，滲透思想方法

數列作為一類離散型的函數模型，知識點中蘊含著豐富的數學思想與方法，除了函數中自身包含的函數與方程思想、分類與整合思想外，還有一些轉化與化歸思想、數形結合思想等，在命題設置中往往都會有所體現.

因而，在數列專題的復習備考過程中，以基礎知識為背景，合理依托解題技巧與方法，融入基本的數學思想與方法，可以更加合理優化邏輯推理，減少數學運算，這些對于提升解題效益等都是非常有幫助的.特別是對于一些創新型應用問題，回歸數列的本質與內涵，結合對應的數學思想方法來處理，可以更加有效地展示數學思維過程，體現解題技巧的思想化，達到最佳解題效益.

例3?已知數列{an}中，a2=1，設Sn為{an}前n項和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通項公式；（an=n-1）

（2）令cn=an+3an+1an+2×2an+1，求滿足c1+c2+……+cn－1+cn>2 0222 023的最小正整數n的值.（8）

分析：（1）根據數列通項an與前n項和Sn共存的問題場景，從特殊情況出發確定數列的前若干項，利用2Sn=nan以及an=Sn－Sn－1的關系，合理進行消參并化歸轉化，再結合連續兩項之間的比值關系，借助累乘法加以化歸與運算；（2）利用cn的表達式的變形與轉化，合理裂項相消求和，通過數列不等式的求解來確定最小正整數n的值.

點評：求解數列綜合應用問題的基本策略在于“歸”——化歸與歸納，“算”——基本量的運算.特別是涉及數列的通項公式、數列求和以及數列與不等式等相關知識的交匯與綜合應用，合理加以化歸與轉化，結合數列運算來分析與處理.

4 強調主題研究，提升創新應用

數列是體現“重思維、重應用、重創新”數學命題理念的重要載體，基于數列自身的基本特性，經常以數列為場景設置一些創新應用問題，更加契合生活實際，對于深化學生的數學建模、創新應用等方面都是有益處的.

因此，在數列模塊的復習備考過程中，引導學生全面理解與掌握數列的基礎知識，進而結合實例加以創新與應用，突出數列的應用性、創新性等方面，更加吻合試題對學生基礎知識與關鍵能力的考查，培養學生的創新意識與創新應用.

例4?小王準備在單位附近的某小區買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（20≤n≤30，n∈[WTHZ]N[WTBX]*），設第1層的“環境滿意度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈[WTHZ]N[WTBX]*）比第（k－1）層的“環境滿意度”多出3k2－3k+1；又已知小王有“恐高癥”，設第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈[WTHZ]N[WTBX]*）比第（k－1）層的“高層恐懼度”高出13倍.在上述條件下，若第k層“環境滿意度”與“高層恐懼度”分別為ak，bk，記小王對第k層“購買滿意度”為ck，且ck=akbk，則小王最想買第[CD#3]層住宅.（10）

（參考公式及數據：12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）6，ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，343≈1.100 6.）

分析：根據題設中的場景合理構建數列{an}{bn}的遞推關系式，通過累加法和等差數列的求和公式來確定數列{an}的通項，并結合等比數列的定義等來確定數列{bn}的通項，再利用作商比較法，結合不等式的基本性質來確定最值問題，實現合理的決策與判斷.

點評：在利用不等式性質判斷數列{cn}的單調性時，要注意這里的變量是正整數這一隱含條件.此類問題結合現實生活實際，以實際決策問題來創新設置，巧妙融入等差數列與等比數列、數列及其基本性質、不等式、函數與導數的應用等基本知識.借助數學建模，通過數學模型的構建與解模，合理分析與求解，提供決策依據與判斷.

正確關注數列的基本概念、數列的本質與性質等，科學精準研究基本考點，貫穿高三復習教學的整個過程，合理滲透數學思想方法并把握技巧方法，提升數列知識的應用性與創新性等方面的研究，從而不斷強化“四基”，提升數學能力，培養數學核心素養.