以史為鑒，重構課堂

王保紅 梁詩晗

1 問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在課程結構中明晰了“數學文化融入課程內容”的要求，闡明了“數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展”是數學文化的重要內容.

“指數函數與對數函數”是高中數學教學的核心內容之一.課標要求“收集、閱讀對數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述對數發明的過程以及對數對簡化運算的作用”等不作為考試內容的要求.人教A版高中數學新教材必修第一冊“對數的概念”兩處融入了數學史.“閱讀與思考”中，“對數的發明”在于培養學生創新思維，使學生通過數學閱讀加深對數學知識的深層次理解.“文獻閱讀與數學寫作”中，“對數概念的形成與發展”是新增設的版塊，目的是希望學生自主了解數學知識形成與發展的脈絡，感受數學文化.本文中以“對數的概念”教學為例，力求在教學中適當融入數學史，以期為高中數學教學提供參考.

2 梳理對數的發展歷史

2.1 對數思想的萌芽

約公元前1700年巴比倫泥版上出現了類似解指數方程的題目.15世紀法國數學家許凱（N.Chuquet）在《算術三部》提出了解指數方程的問題，還列出了等比和等差數列，即1，2，4，8，16，……，1 048 576和0，1，2，3，4，……，20，指出數列對應關系：上一列數的乘除運算結果對應下一列數的加減運算結果.

16世紀涌現出了許多研究等比數列乘法法則的數學家.德國數學家斯蒂菲爾（M.Stifel）提出了四條乘法法則，即幾何級數中的乘法、除法、乘方、開方與算術級數的加法、減法、乘法、除法對應，還將法則推廣到負指數，形成雙數列對應關系.

天文、航海等領域要求大數運算.而想要算出一個復雜的數據，需長達幾年的時間.因此，迫切需要改進數字計算方法，以提高計算速度和準確度.

2.2 對數方法和思想的產生

蘇格蘭數學家納皮爾（J.Napier）研究大數運算，最終發明了對數，并將對數（logarithm）意為“比的數”.1614年出版的《奇妙的對數定律說明書》標志著對數的誕生.英國數學家布里格斯（H.Briggs）與納皮爾商定了“曠世之約”：1的對數為0，10的對數為1.布里格斯制作

的常用對數表更容易算出數值，將底數為10的對數稱其為常用對數，底數概念也由此誕生.法國數學家拉普拉斯（P.S.Laplace）評價道：“因為省時省力，對數倍增了天文學家的壽命.”

瑞士儀器制造者比爾吉（J.Burgi）也獨立發現了對數并用它來造表.1620年他出版了《等差數列和等比數列》，盡管那時納皮爾發明的對數已聞名歐洲.18世紀瑞士數學家歐拉發現指數與對數的互逆關系，指出“對數源于指數”.

2.3 自然對數的由來

使用常用對數時發現N與其對數并非同時均勻增長，為了尋求能使兩邊對稱的底數，讓式子化繁為簡，發現若以e作底數最“自然”，符合數學的對稱美和簡潔美.故以e為底的對數叫“自然對數”，亦定義logeN=ln N，在科技、經濟中有廣泛應用.

3 基于數學史的對數概念教學

3.1 教學思路

依據對數歷史，整體采用重構式的設計（如圖1），借鑒對數歷史，追溯思想起源，呈現知識自然發生的過程.

3.2 重構對數概念的數學課堂

3.2.1 天文學發展的需要

例1?隨著科技的發展，人類對宇宙的探索愈加深入.天文學定義，光在真空中的速度為299 792.468 km/s，一年的總秒數是31 536 000 s，能否動筆求出一光年的值？

（列式為299 792.468×31 536 000=？）

師：介紹對數產生的原因.該如何簡化運算？

設計意圖：利用生活實例創設情境，使學生感受大數運算的不易，由此產生探究簡化大數運算的想法.

3.2.2 感受表之便利，發現表之局限

例2?展示斯蒂菲爾雙數表（表1），讓學生觀察規律.

師：第二行中后一個數是前一個數的兩倍.若第1行表示2的指數，則第2行表示其對應的冪.16世紀數學家斯蒂菲爾在研究上表時，把第一行的各項稱為“指數”.他還發現第一行指數相加得到其乘積的指數，指數相減得到其商的指數.

師：求32×512，先找到32和512在數表中對應的第一行的數.即32對應5，512對應9；將二者相加，即5+9=14；再找到14對應的下一行數為16 384.

師：按照規律，能否快速求出下列各式子的值？

16×1 024；8 192÷32；643；81×729.

上面有些數并不能從數表中查到，該如何解決？發現81與729兩個數都能變成以3為底的冪的形式，但查不到.法國數學家許凱也曾遇到這樣的問題，而且是在斯蒂菲爾之前.相對于自然數列而言，他研究的雙數表可表示2或3的指數.

例3?請大家根據許凱雙數表（表2）完成計算.

師：如果算式是其他數呢？由于第二行相鄰兩項的差值越來越大，數便難以找到.當時的天文學家對此非常苦惱.于是數學家開始制作更加詳細的數表.其中貢獻最大的是納皮爾（可介紹納皮爾與對數）.例1該怎么解決？

找到299 792.468和31 536 000分別對應的數，先求和再查表.令2x=299 792.468，2y=31 536 000.

追問：整數可以通過查表得到，小數點后幾位怎么算？如何得到精確值？

設計意圖：根據乘法法則，讓學生經歷簡化運算的過程，感受查表的便利.講述納皮爾貢獻，培養學生科學精神和探究意識.利用提示語啟示學生發現對數表的局限性，引出新知識.

3.2.3 引入對數符號，彌補表之遺憾

師：之前是否遇到過類似的難題？初中是如何計算x2=2的？在學習“[YY（]1[YY）]”后，我們解決了非完全平方數的平方根問題.同理，當現有知識不足以解決問題時，需要創造新的符號來表示.數學家將對數“logarithm”簡寫為“log”.這樣就解決了像例1中這種“天文數字”的計算.引用數學家對對數的評價.

設計意圖：借助舊知，引入新知.體會引入符號的必要性，彌補數表局限的遺憾.

3.2.4 形成對數概念，拓展對數應用

師：觀察對數，思考它與指數有何關系？

追問：二者可以互相轉化，即對數logaN與指數互逆.對數中a的取值范圍是什么？

回顧指數概念.得到對數概念：一般地，若ax=N（a>0，且a≠1），那么數x稱為以a為底N的對數，記作x=logaN，其中a叫作底數，N叫作真數.當a>0且a≠1時，ax=Nx=logaN，這是互化公式.計算方便，又能比較大小.0和負數沒有對數.

利用數學家軼事講解常用對數.把常用對數log10N記作lg N.總結：logaa=1，loga1=0，log10N=lgN.由常用對數引出自然對數.

設計意圖：暗示學生指數與對數存在互逆關系；滲透數學史，將知識自然呈現；強調一般對數與常用對數、自然對數之間的轉化.

3.2.5 鞏固練習，總結課堂

（1）在巴比倫泥版上有一道復利題目1.2x=2，請求解.

（2）將指數式化為對數式，對數式化為指數式（教材例題）.

設計意圖：幫助學生整理思路，感受對數在簡化運算方面的作用，總結現實應用.

4 總結與反思

數學史對于數學教育有重要意義.數學史可以幫助學生清除認知障礙，同時數學史也是一面鏡子，把當時思想的碰撞反映到數學知識的學習中.對教師而言，將數學史融入數學教學，可以幫助教師根據學生認知障礙設計教學，提升教書育人的能力，提升數學素養.對學生而言，可以幫助他們了解知識的由來與發展，理解數學知識，體會其中蘊含的思想，提升科學精神，培養數學核心素養.