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王保弟 杜江濤

1 教學內容分析

1.1 內容分析

本節課是由學生作業中的一道大題出發，追溯題目背景，是人教A版普通高中課程標準試驗教科書數學21（選修）第73頁A組第6題，第81頁B組第3題.

通過圓錐曲線知識的學習，發現解決解析幾何問題的通法——坐標法，偏重于相關量的數量關系的研究，由于代數運算復雜，對運算能力要求較高，往往使很多學生對解析幾何望而生畏.事實上，解析幾何問題的本質仍是幾何問題，若能充分把握解析幾何中圖形的特征，挖掘圖形的相應幾何性質，恰當地運用平面幾何的相關知識求解，往往能簡化運算，優化解題過程.

1.2 學情分析

本節課之前，學生在必修二第三章圓的知識的基礎上，學習了圓錐曲線，有一定的類比轉化與分析問題的能力，以及代數運算能力.學生思維活躍，求知欲強.但面對繁難的代數運算，學生難免會有畏難情緒，所以挖掘試題背后的有關幾何性質是關鍵.這需要熟練掌握一些常見的平面幾何圖形的性質，而此挖掘過程仍需要教師重點指導.通過“一題一課”微專題的形式，以點帶面，聚焦關鍵內容，幫助學生感悟數學思想方法，實現從“解題”到“解決問題”的轉變.

1.3 學習目標

（1）回顧三角形內角平分線定理，感受解圓錐曲線題目的方法，即坐標法和幾何法；

（2）利用不同的設點、設直線的方式解決圓錐曲線問題，探索并感悟外角平分線定理的妙用；

（3）在解決典例的過程中，總結解決問題的方法和技巧，并能用外角平分線性質快速得到變式問題的答案.

1.4 評價目標

（1）通過課前自測（要求學生自主完成），感受解析幾何通法（坐標法）與解析結合本質（幾何法）.

（2）通過典例分析，探究不同的設點、設線方式帶來的不同解題方法，并通過幾何背景的挖掘感悟幾何法在解題中對計算的簡化作用.

（3）通過運算化簡，提升運算能力；通過挖掘幾何性質，體會數形結合的思想.

師：上述例題的求解過程表明，坐標法會導致圓錐曲線問題求解復雜，運算量較大.但是，通過深入探索和挖掘圓錐曲線的幾何性質，則能巧妙求解問題.由學生5的啟發得到下面結論，請同學們課后探究.

引理：若圓錐曲線C的離心率為e，焦點F所對應的準線為l，曲線C的弦AB所在的直線交準線l于點P;當點P在弦AB內時，FP平分∠AFB;當點P在弦AB外時，FP平分∠AFB的外角［1］.

設計意圖：[HTK]通過自主探究，學生分享交流，師生一起探究典例的解法，充分發揮學生的主觀能動性，體現學生的主體地位，引導學生從不同的角度認識問題，實現一題多解，培養學生發散思維的能力，提升學生分析問題、解決問題的能力，同時在學生分享過程中鍛煉他們的語言表達能力.

環節3：類比遷移，感悟思想.

根據以上條件，我們還可以研究哪些問題？寫下你想研究的問題并思考如何解決.

變式1?已知點P（9，-6），求證：MF⊥NF.

變式2?已知點P（6，3），求證：MF⊥NF.

變式3?已知點P（0，0），求證：MF⊥NF.

變式4?已知點P（x0，y0），求證：MF⊥NF.

變式5?C：y2=2px（p>0），求證：MF⊥NF.

變式6?以MN為直徑的圓，是否經過定點？若是，請找出定點；若不是，請說明理由.

設計意圖：[HTK]設置變式訓練的目的，是讓學生現學現用，通過方法的選擇提升解題能力，促進學生對知識和方法的遷移，通過“一題多解”再到“多題一解”，使學生實現從解題到解決問題的提升.

環節4：深化拓展，形成模型.

推廣：已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，已知點P（x0，y0），若過點F的直線交拋物線于不同兩點A，B（均與點P不重合），直線PA，PB分別交l于M，N，求證：MF⊥NF.

師：我們用幾何畫板演示上述結論.

師：在拋物線中有這樣優美的平面幾何性質，那在橢圓、雙曲線中此結論是否也成立？請同學們課后探索.

設計意圖：[HTK]通過例題教學，學生從不同的角度思考獲得不同的解法，也復習了不同的知識點，真是“橫看成嶺側成峰”.通過比較不同解法計算量的大小，發現解答這類問題的通法與妙法，為后續優化算法積累經驗.通過“一題多變”對某個問題進行多層次、多角度、多方位的探索.培養學生發散思維，是學生創新思維的必備前提.此題不僅鍛煉了學生用類比的方法進行思考和學習，而且使學生對解決問題的思路理解得更透徹.每問一變都層層遞進，步步深入，環環相扣的密切聯系.同樣可以從一種研究對象的結論出發，通過類比得出另一種研究對象的許多意想不到的結論.創造的喜悅難以想象.

環節5：歸納小結，課外拓展.

本課從一道解析幾何題目出發，探究并分享了各種不同的解題方法，最容易想到的是通法——設點、設線，但同樣是設線也有講究，不同的設法計算量有差異；利用平面幾何結論可獲得簡捷解法.

課后作業：（限于篇幅題目略去.）

2 教學反思

這節課以教師為主導、學生為主體、問題為主軸、練習為主線，以“一題一課”的形式，讓學生自主探究例題的解法，其中滲透了數形結合、化歸轉化、分類討論等數學思想，提升了學生解答圓錐曲線問題的能力.在專題復習中，實現了知識結構化、方法系統化、思想實質化［2］.

在教學活動中，先讓學生獨立思考，再自主探究，體會方法，相互分享，給予學生充分的時間去探究、思考、表達，使學生經歷和體驗解決問題的全過程，感悟通法與妙法.通過一題多解、多題一解，實現“做一題，得一法，會一類，通一片”，實現從“解題”到“解決問題”.

但本節課仍然留有遺憾，為了讓學生更直觀地感受隨著點P的運動，結論依然沒有發生變化，我們都是用幾何法證得結論，并用幾何畫板演示結論，沒有充足的時間讓學生感受利用通法——坐標法來證明，后續還需通過坐標法提高學生的數學運算能力.

小結只強調了知識方面，對育人方面做得不到位，課后總結一首打油詩：

一題多解思維闊，學生主體來開拓，

一題多變問題活，定能擴展有收獲.

解析幾何形態多，開動腦筋去探索，

想要數學學得好，自我學習不能少！

如果能在課堂上這樣小結，文化氛圍更濃，教學效果和育人效果會更好，以后會不斷改進，自覺做到教書育人.

參考文獻：

［1］林國紅.巧用平面幾何性質 妙解圓錐曲線問題[J].數理化解題研究，2022（16）：1417.

[2]張文海.“一題一課”：讓高三數學復習走向素養落實[J].數學通報，2020（7）：3034.