揭示2023年上海卷第21題本質

胡曉潔

1 題目：2023年上海卷第21題

已知f（x）=ln x，取點（a1，f（a1））過其作曲線y=f（x）的切線交y軸于點（0，a2），取點（a2，f（a2））過其作曲線y=f（x）的切線交y軸于點（0，a3），若an≤0則停止，以此類推，得到數列{an}.

（1）若正整數m≥2，證明：am=ln am－1－1；

（2）[JP3]若正整數m≥2，試比較am與am－1－2的大小；

（3）若正整數k≥3，是否存在k使得a1，a2，……，ak依次成等差數列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，試說明理由.

2 分析與思維導圖

2.1 思維分析

本題從導數與數列的綜合運用出發，考查學生求切線方程、構造函數證明不等式、等差數列性質的應用以及方程有解問題的解決能力，體現了數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.本題的題干是由函數圖象的切線與y軸相交，交點的縱坐標經過遞推得到一個數列.遞推的過程和利用牛頓法求方程的解類似.數列在題目中更多是起到背景和提示作用，[JP3]本質上還是解決函數與導數的問題.本題作為上海卷的壓軸題，有較大的思維量，突出考查了數學抽象和邏輯推理核心素養.

第（1）問證明數列的遞推關系，本質上考查求函數的切線方程，要求學生理解題目中的遞推關系.本題對學生在給定情境下分析數學問題的能力有較高的要求.

第（2）問比較大小，常用辦法是將要比較的對象化成同一變量后作差.結合第（1）問的結論，可以發現本質上是考查常用不等式ln x≤x－1（ex≥x+1）的證明.本題要求學生能夠結合已知結論解決問題，熟練掌握構造法證明不等式.

第（3）問分析k的取值是難點，結合等差數列的性質，可以將分析k的取值轉化為方程有解的問題.不同的性質可以轉化出不同的方程，此問主要利用公差和等差中項來解決.本題要求學生能深刻地理解方程有解和函數有零點的等價關系.