圓錐曲線上定點定值子弦性質的另證與應用

江浩

摘 要：研究了圓錐曲線上定點關于定值λ的斜率等和與等積子弦的性質，通過利用平移齊次化方法證明了更一般化的結論.結合具體實例，體現了所給的性質以及證法能夠解決解析幾何中一類斜率之和或積為定值的問題，旨在幫助學生能夠迅速找到解決此類問題的突破口.

關鍵詞：圓錐曲線；定點；定值；子弦；應用

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0085-03

2013年刊發的文[1]給出了圓錐曲線上定點定值子弦的定義[1]，利用聯立方程組的方法證明了斜率等和與等積子弦的相關性質.文章研究內容是近幾年高考考查的熱點問題，比如2020年新高考Ⅰ卷第22題，2022年新高考Ⅰ卷第21題，2022年全國高考理科乙卷第20題均涉及此類問題，這是廣大考生感覺到非常困難的問題.文[2]提出平移齊次化方法是處理這類問題的一種非常有效的手段[2].本文將基于一般化的圓錐曲線形式，利用平移齊次化方法證明定點定值子弦的相關性質，結論形式更加統一，證明過程更加簡潔.

1 圓錐曲線上定點定值子弦的定義

設點P是圓錐曲線上的一個定點，PA，PB是該曲線過定點P的兩條弦，當直線PA，PB的斜率之積為定值λ時，稱線段AB為該曲線上定點P的關于定值λ的斜率等積子弦；當直線PA，PB的斜率之和為定值λ時，稱線段AB為該曲線上定點P的關于定值λ的斜率等和子弦.

2 定點定值子弦的性質及其證明

2.1 橢圓與雙曲線上定點定值子弦的性質

過曲線（橢圓或雙曲線）Γ：ax2+by2=1ab≠0上一個定點Px0，y0分別作兩條不同直線l1，l2與曲線Γ相交，另外兩個交點分別為A，B，設直線l1，l2的斜率均存在且均不為0，將其分別記為k1，k2.

證明 將平面直角坐標系xOy進行平移，使得坐標原點與點Px0，y0重合，則曲線Γ的方程變成ax+x02+by+y02=1.展開可得

ax2+2ax0x+ax20+by2+2by0y+by20=1.

又ax20+by20=1，則ax2+2ax0x+by2+2by0y=1.

設直線AB：mx+ny=1，所以

ax2+2ax0xmx+ny+by2+2by0ymx+ny=1.

結合圖形可知，k1，k2就是該方程的兩個不相等的實數根，于是有

則2by0m=-2ax0n-2by0nλ-bλ.

直線AB方程兩邊同時乘以2by0，將上式代入，整理可得

-2ax0x-2by0λx+2by0yn-2by0-bλx=0.

則2ax0m=λb-a+2bλy0n.

同理可將AB方程整理成

2bλy0x+2ax0yn+xλb-a-2ax0=0.

注1 從證明過程可以看出，當曲線Γ表示圓時，上述結論已成立.

2.2 拋物線上定點定值子弦的性質

過拋物線Γ：y2=2pxp>0上一個定點P（x0，y0）分別作兩條不同直線l1，l2與曲線Γ相交，另外兩個交點分別為A，B，設直線l1，l2的斜率均存在且均不為0，將其分別記為k1，k2.

上述性質的證明與性質1、2的證明方法類似，這里不再贅述.

3 應用舉例

又AD⊥MN，所以點D在以AB為直徑的圓上，

記直線AB，AC斜率分別為k3，k4，

設AM：y=k3x+2，可得M0，2k3.

注3 當不能確定某條線段是否是曲線上定點的關于某個定值λ的斜率等和或等積子弦時，可以利用證明性質1，2的方法去探究.

4 結束語

圓錐曲線中的定點與定值問題是歷年高考必考內容之一，也是廣大師生處理起來比較棘手的問題.本文研究了圓錐曲線上定點定值的斜率等和與等積的子弦問題，揭示了過圓錐曲線上一個定點的兩條直線斜率之和或者之積為定值時，兩交點構成的第三條直線恒過定點的重要特征，也可以逆向使用這些性質特征，即已知直線恒過定點，可以推斷另外兩條直線斜率之和或之積為定值，這可以為研究圓錐曲線問題提供一個重要線索，為解決問題找到突破口.“授人以魚，不如授人以漁”，平移齊次化方法更加值得我們關注，它是處理此類問題的一個非常奏效的方法.

參考文獻：

［1］曹軍.圓錐曲線上的定點定值子弦的性質：圓錐曲線頂點定值子弦性質的推廣[J].中學數學研究，2013（19）：19-21.

[2] 李斯喬，蔡明，李寧.齊次化聯立解決涉及斜率和或積的定點定值問題[J].數學通訊：2020（17）：60-62.