一道三角形面積最值問題的探究與思考

［摘" 要］ 如果學生能夠將數學問題中，代數形式的表象和幾何直觀的深層次含義建立起聯系，就能夠加深對所求問題的認識和理解，達到用“直觀”的眼光看問題的目的.文章通過探究一道三角形面積最值問題的解法，來分析一類最值問題的簡解方法和命制手法.

［關鍵詞］ 三角形；最值；直觀想象

試題及解法探究

原題展示 已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c·cosB+b·cos（A+C）=0，BD是AC邊上的中線，BD=3，求△ABC面積的最大值. （為方便分析，設S△ABC=S）

考查意圖 本題以中線長為定值的等腰三角形為載體，研究解三角形中的面積最值問題，考查三角形的邊、角、面積之間的關系等基礎知識，以及學生邏輯分析、數學抽象和數學運算等核心素養. 本題簡潔而內涵豐富，給解題者數學美的感受.

命題思考

方法4揭示了命制本題的幾何模型，即以斜邊已知的直角三角形和外接圓為載體命制本題. 從構造隱形圓出發，本題可按照以下方式進行變式.

變式題1 利用圓的定義，構造隱形圓.

教學反思

數學是一門高度抽象的學科，幾何特征往往被抽象的代數所掩蓋，幾何圖形中的數量關系常常處于分散狀態，很難直接看到，需要用想象、抽象、組織和聯系的思維方式去觀察、發現和概括.

史寧中先生提出：“數學教育的終極目標是會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界.”這樣的目標不是哪個教師能在短時間內教出來的，而是學生在探究一個個數學問題的過程中逐漸領悟出來的，是長期活動經驗的積累.

基金項目：廈門市教育科學“十四五”規劃2022年度立項課題“基于核心素養提升的數學高考試題測評研究”（22163）.

作者簡介：徐云龍（1996—），本科學歷，中學二級教師，從事高中數學教學工作.