基于弗賴登塔爾教育思想的“雙曲線定義”教學(xué)探究

［摘" 要］ 數(shù)學(xué)概念是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是課堂教學(xué)的重要目標(biāo). 研究者基于弗賴登塔爾教育思想探討數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)應(yīng)“立足學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，創(chuàng)新課堂導(dǎo)入”“搭建學(xué)生再創(chuàng)造的平臺(tái)，開展課堂探究”“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)化的探究條件，提升思維認(rèn)識(shí)”“建構(gòu)反思性認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)行課堂拓展”，以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

［關(guān)鍵詞］ 弗賴登塔爾教育思想；數(shù)學(xué)化；雙曲線

數(shù)學(xué)概念是用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言對(duì)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性的高度概括，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)分析、推理想象、邏輯思考的基礎(chǔ)和前提. 因此，教師要加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的理解，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)化. 弗賴登塔爾是20世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)教育學(xué)家之一，他提出的教育思想所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造等思想對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用. 本文以“雙曲線的定義”為例，基于弗賴登塔爾的教育思想探討數(shù)學(xué)概念教學(xué)，以提高教學(xué)的有效性，落實(shí)課程教育目標(biāo).

闡釋弗賴登塔爾教育思想

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)不是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，而是讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用知識(shí). 課堂教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中增強(qiáng)信心，體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程. 為此，教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”“數(shù)學(xué)化”以及“再創(chuàng)造”.

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是指學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu). 新知的學(xué)習(xí)是以學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)為基本前提的. 基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)展開教學(xué)活動(dòng)，就必然密切聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容與生活實(shí)際. 教師連接教學(xué)內(nèi)容邏輯的起點(diǎn)與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的起點(diǎn)，從而創(chuàng)新設(shè)計(jì)情境，找到新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，在現(xiàn)實(shí)情境中開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際.

“數(shù)學(xué)化”是指學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去思考現(xiàn)實(shí)世界中的各種現(xiàn)象，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化、組織和思考的過程. 由此教師要引導(dǎo)學(xué)生從具象的現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，進(jìn)入數(shù)學(xué)世界，形成數(shù)學(xué)概念或定理，并通過問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中，落實(shí)課程目標(biāo). 同時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部進(jìn)行知識(shí)的分類與整合、遷移與深化，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾教育思想的核心. 有效教學(xué)的過程就是引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造的過程，因此教學(xué)目標(biāo)不僅僅是傳授知識(shí)，還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上互動(dòng)交流與反思，經(jīng)歷分析思考、推理判斷和總結(jié)歸納，以及知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，最終形成新的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).

基于弗賴登塔爾教育思想的教學(xué)案例

1. 立足學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，創(chuàng)新課堂導(dǎo)入

弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則，立足學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)的有效性. 因此，在教學(xué)“雙曲線的定義”這節(jié)課時(shí)，筆者結(jié)合學(xué)生學(xué)過的有關(guān)橢圓的定義知識(shí)導(dǎo)入新課，從新舊知識(shí)的銜接點(diǎn)出發(fā)，在已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)上探尋思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生積極開放地投入新知的學(xué)習(xí)活動(dòng)中.

師：很好，根據(jù)生1的解析，我們可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為+=1. 今天我們將要學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——雙曲線，它具有怎樣的特點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖 弗賴登塔爾教育思想認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)離不開學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，教師采取相應(yīng)的教學(xué)方法豐富和拓展學(xué)生的認(rèn)識(shí)，從而提升學(xué)生的認(rèn)知水平，擴(kuò)大學(xué)生的認(rèn)知范圍. 在學(xué)生具備橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)橢圓的知識(shí)點(diǎn)，又引導(dǎo)學(xué)生拓展和應(yīng)用數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，提高學(xué)生的認(rèn)知水平，為學(xué)生學(xué)習(xí)新課做好鋪墊，實(shí)現(xiàn)有效的課堂導(dǎo)入.

2. 搭建學(xué)生再創(chuàng)造的平臺(tái)，開展課堂探究

弗賴登塔爾教育思想強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)再創(chuàng)造原則，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)不是簡(jiǎn)單地傳授已有知識(shí)，而是創(chuàng)造條件引導(dǎo)學(xué)生在思維活動(dòng)中再創(chuàng)造相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí). 因此，在課堂導(dǎo)入的情境設(shè)計(jì)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生觀察問題、思考問題，通過數(shù)學(xué)化的思考，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從而歸納數(shù)學(xué)結(jié)論，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的過程. 在深度的思維活動(dòng)中，學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善和思維的再創(chuàng)造，從而發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)新性，幫助學(xué)生建構(gòu)新的知識(shí)體系.

設(shè)計(jì)意圖 教學(xué)過程是在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的拓展和應(yīng)用. 通過原有問題的變式練習(xí)，在學(xué)生原有知識(shí)的基礎(chǔ)上引發(fā)認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生探究的好奇心，為進(jìn)一步的深入探究做好準(zhǔn)備.

3. 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)化的探究條件，提升思維認(rèn)識(shí)

師：根據(jù)剛才的探求，我們由點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)C，C的距離之和與距離之差可知點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡不是橢圓，那么它運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么圖形呢？

生3：根據(jù)幾何畫板的演示，我們可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡靠近點(diǎn)C，并且關(guān)于x軸對(duì)稱，是一條曲線.

問題3 如圖3所示，將問題2中的“動(dòng)圓M與圓C內(nèi)切，與圓C外切”改為“動(dòng)圓M與C外切，與C內(nèi)切”，其余條件不變，則動(dòng)圓M圓心運(yùn)動(dòng)的軌跡方程又是什么？

生4：根據(jù)題干條件我們可以求出動(dòng)圓圓心M與點(diǎn)C，C的距離，通過作差法可知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)C，C的距離之差是一個(gè)定值，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡和問題2中的軌跡是同樣一條曲線嗎？讓我們通過幾何畫板繼續(xù)演示一下.

生5：根據(jù)幾何畫板我們看到，問題3中的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與問題2中的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不同，這是一條相對(duì)靠近點(diǎn)C的關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線.

師：同學(xué)們觀察一下這兩條曲線，它們有什么共同特征呢？

生6：動(dòng)點(diǎn)M的這兩條軌跡關(guān)于y軸以及原點(diǎn)O對(duì)稱.

師：觀察得非常仔細(xì)，我們將這樣的曲線稱為“雙曲線”.

設(shè)計(jì)意圖 弗賴登塔爾教育思想強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)化”的原則，即將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類組織，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在頭腦中形成數(shù)學(xué)概念的知識(shí)結(jié)構(gòu). 問題2和問題3在問題1的基礎(chǔ)上通過改變已知條件進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. 根據(jù)學(xué)生已有的關(guān)于圓和橢圓的知識(shí)進(jìn)行探究，由動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而不斷深化學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 在本例的教學(xué)中，充分借助幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，使得學(xué)生不僅從數(shù)據(jù)和圖形分析中了解了雙曲線的定義，還從直觀上感受到了雙曲線的結(jié)構(gòu)，為下一步進(jìn)行抽象的探究做好了準(zhǔn)備.

師：根據(jù)問題2和問題3的探究，你能得到什么結(jié)論？

生7：若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)C，C的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)定值，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線.

師：很好，我們能否與橢圓的定義進(jìn)行類比，嘗試將雙曲線的定義概括得更一般化呢？

學(xué)生通過討論交流，并在筆者的指導(dǎo)下完善定義.

生8：若平面內(nèi)的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之差的絕對(duì)值為一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)F，F(xiàn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的焦距.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師要為學(xué)生的再創(chuàng)造搭建平臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 筆者通過連續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生概括結(jié)論，并與橢圓的定義進(jìn)行類比，將動(dòng)點(diǎn)M的軌跡引申為一般性的雙曲線概念，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4. 建構(gòu)反思性認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)行課堂拓展

弗賴登塔爾教育思想認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是反思，提升反思能力是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要環(huán)節(jié). 學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)由淺入深、逐層遞進(jìn)的過程，教師需要設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的問題才能引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力和反思能力的提升，從而發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、發(fā)散性，并引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì). 因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，明確教學(xué)的重難點(diǎn)，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展的過程，真正理解數(shù)學(xué)概念背后的邏輯和規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖 當(dāng)學(xué)生掌握了雙曲線的本質(zhì)屬性后引導(dǎo)學(xué)生反思自己給出的雙曲線的定義，最終完善雙曲線的定義. 此過程不僅幫助學(xué)生形成了反思性認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還引導(dǎo)學(xué)生完整和準(zhǔn)確地表達(dá)了數(shù)學(xué)概念.

綜上所述，在弗賴登塔爾教育思想的指導(dǎo)下開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)，要依托學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上自然地展開新知的學(xué)習(xí)和探索. 教師要注重搭建知識(shí)“再創(chuàng)造”的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生建構(gòu)和完善知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升，真正落實(shí)課程目標(biāo)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.